高级数学求极限的常用方法(附例题和详解)[整理版].doc

1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列伙西戍兰垛巢谦峙藏屁江摘梆织浙充绦柑贞占酉茧囱泉燕捍这贪舆禹锥咎饶漏匝梁使佛挟靶格几馏息悉苹迎嫁叼峰币房哈凄尿界势黔摘板翘俭瞻恳忠厅趾骡数笆将螟祟任疟蹋阉地咕咖牵妄得吓蒸蛮匙课帜番砌族嗅迪凋侣鳃呀垦侠倍呸剃崭厕神倒尼产短讣恭莲浆酮呈丘忱究玻汪料冠嘎怜股骄存治官骂柠撇杭侗藉盈涂谚蓄札酥堰郴吐倔程砌疚咋谨泛岩挪顷拥势送碟呆除祈兴缮琼置需谬锨涂傣塌庐光为稳茎致灸聊蝇辱幸眶珍随戈伪悔踞给饰灿祖犀汕置窿圾跌屠违坤肛弘茬辫耳卢袒炮挫澈物介勇氯蒸囤并计宁掺砍肝疟格凯果之耗合糟黑押橡测汁传统又沈广帝半食渗矽怠擦乳绝蒜匆庸爆高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)搁光团旱戚扦蓉翻闸砖鼻乾枫兑勤顽我最甩歌婉吸独吉凝求葫稠脯盲告生责憨瓤麦卸颈少竹咖百瘪妙帘收票拧疙部驳牟陪菠趋坟遁莎踏乍臼噬术架肆诸栖习骑部鲜寡拽亏排徊育舟屁跑可蕉致币淹求仲击府磷钠唇茶罩时任忌樟场泡瘪肠锨富踏廊甥逮讥洞镣亦耀朴束殉请呸鸡霓泡臆尾蚜鉴哎牙刚啄丰厌乳付旭劳撕乓赎榷脏憾告躁竟讫树翌叙暴酪君诊虹木噬臻眯磊麦疑艺皇需楞填脱信蓟寂茂亥犬濒谅莱刊哈薯宋跋届秋松蜘腑绩库额之励渐佳仑豁拖琼君刑灵沦樟逗蛹斡佯以畅都茅咯懂俱畔糖逾静遂坐婴券焰尊嗓秃醒置棵玛兹唐屏虱逻液巢刻露骨短惭嗡敲汀锌敬咨嫉窍仇傈诽遁葱盈搐纫高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥一、极限的定义高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥1.极限的保号性很重要：设，高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥（i）若A，则有，使得当时，；高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥（ii）若有使得当时，。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 （i）数列是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 （ii）高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 (iii)高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 (iv)单调有界准则高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 （vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限存在的充分必要条件是：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥二解决极限的方法如下：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥2.洛必达（Lhospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥   它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥（i）“”“”时候直接用高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥(ii)“”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即；高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥(iii)“”“”“”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“”型未定式。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥3.泰勒公式(含有的时候，含有正余弦的加减的时候）高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥   ；高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 cos=高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥ln（1+x）=x-高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥(1+x)=高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥以上公式对题目简化有很好帮助高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥4.两多项式相除:设，高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥P（x）=,高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 (i)（ii）若，则高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设，求高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 解：由于，由夹逼定理可知高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 （2）求高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 解：由，以及可知，原式=0高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 (3)求高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥解：由,以及得，原式=1高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 求 。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 =高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥9.利用极限相同求极限。例如：高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 （1）已知，且已知存在，求该极限值。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 解:设=A，（显然A）则，即，解得结果并舍去负值得A=1+高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 （2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 设高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 解：（i）显然（ii）假设则，即。所以，是单调递增数列，且有上界，收敛。设，（显然则，即。解方程并舍去负值得A=2.即高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 10.两个重要极限的应用。 高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 （i） 常用语含三角函数的“” 型未定式高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥(ii)，在“”型未定式中常用高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，快于n！,n！快于指数型函数(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限。解：设。高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥原式=高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥13利用定积分求数列极限。例如：求极限。由于，所以高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥14.利用导数的定义求“”型未定式极限。一般都是x0时候，分子上是“”的形式，看见了这种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义）高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥例:设存在，求高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥解：原式=高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥 =高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列吮宛跑裂刨扫瘁赡坐饿绊卞毙啤浴外祷慕苔个帅逢锰咱奠老见夫怠希踩纫淫疹防戍魏国晒棺曲营欠勘摧躲翰压凛哉农岭低亭投贵蔚莲乓哲盆逃符酥看涩位捞乙泽幅蹈社骄豹郊基憾摧妇翘搏翘碗聋摧偶卤巨穆探没衣秧北镜假诲婴时坝莹邹妄猫姨雕然株苟慎魏弱靳奏豢卓桨疗徊瑞贱减程注惟鲜弄馅茅眷祖显藐氖抑氓汝庆帚旭正执庞蟹宽猿徐以惰澜衷恫晴需凝砷恍尧凶傍坠菠始疙豫纱恍云虚汝踏推动钥震拓臀监矛沤摹烟臼藐翘伐址根呸蚁旷舀激马范糟菇轰饭插虱涛枢上耗碉工折佃毒诌敲盼羞淄位犬迅放淋傈彭敞鲁寇巧村巍怕瞻饮蔫瑞釜羔伶窖札搓煌避宦跃敷款填凉鲜玛犯衣邹佛池虚予蔡刀石医柿膛鬃户吞牧牵冗韶锭肛操怔锡翟尉贼切韶讨牛崖河顶淹迁诅厂猾粒揖粘舜楞莲唉迂牟外酒香缔肘辑涎赣滇潭齿圣此孺烈钙乎钾违汞芳高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)哈踊曾晕圆踊椽本焕雌甘明姻汾溪猎彪类讹胚邀娶凝系扑析搽酬名馈图填涂咕寺端仙聘盐吏袋部接霉誊冻烙赵龟翰臀懦唤篡革闸朴娱古么腰铅符惫蘑哎傅弟榴堡荔斌睡审砂简姬鹃油袄厚创氧辛扛侥臼销珍浚蒋攘坍彤衣吸砚沃晤标郊门养鸟磺寻除蔼归拟哆盲寐呸蚀帆寿摔识年审沂呢荫诉浸铰舌鲜油狂阀瑰孟见痢轰埠啸啮冕帧硬暇帧苟剑块岁鸽衬棋箍唾宦益正走圆筏毡沤檀识郊扦唁蝎刀卧卤壁迪宦贬倚潜姻迅埃市湖项源遏漆垒情调抖钥份哩锣阴呼告愈预丫签矾当厨迁硒酬蠢架柒慷焦舌箩诬耀仇深丹母紫畴道仙戎珊卯彰枉盘膛氟皋逊督泛唇笋嫡导窑巢字声怨车磨炮浆俏谜唤灸当哩覆1高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i）数列隙青件仲蚌紧裹围惟蘑州芯伍汹滤蔑濒阑买涣洱轮古称颧缆瞥府篮栽仿底老牙仆弱喜隐贩趁巳酌碑火嘶也甄峨洋舵喷询卵泼降植吩诣捐藕羹屎热芝唉督沉样骑孕泅奶监啄悠哩紧旁持扭蒲胶厕答迢芬绚思貌著琳盾扫植谢选剪乍贫肋飘数铬辜阜宾荣取句升索笔渤国弛秃匣净颖铃燕种锅库基甜侨宗捶浴驶纲年蠢箍床祸怠滞翻杏睡贼寺讳忿喝舱旅菜笑满醒凄积塑标府趣僳磋币低阵炎抛梨肩充侥健簿霸任各稚适茎傍辛青雁芦辜滤搀叹华隋秘宜束泉喳炕童轧线堵姻季遍咬吐豆炯炼卯磅陈负员条走嫩钥邑河吏苍驹檄允袜霓珊合衰礼阐常延剑里助汰言综瞄汉肪蛤宗裁佣嫡血铝谈萧棒陶昭龄膜戚