数学思想方法在解题中的应用.doc

齐齐哈尔大学毕业（设计）论文题 目 数学思想方法在解题中的应用学 院 理学院专业班级 数学学生姓名 指导教师 成 绩 2010年6月30日摘 要人们在探索发现过程中获得了一些重要的思维结果，便形成了数学思想. 把数学思想作为解决数学问题或实际问题的工具或手段就产生了数学思想方法. 数学思想方法在问题的处理、解答中常常起到评估、决策的作用，进而就确定了思想方向和方法. 如果不了解数学思想方法，缺乏数学思想方法的引导，解题中会无从下手走弯路. 数学思想方法是数学的精髓，用这种思想方法去解决问题，就要求我们对各种知识所表现出来的数学思想做出归纳概括. 在解答数学问题时，可以应用的思想方法有很多，本文主要介绍常见的几种数学方法，如：构造方法、换元法、待定系数法、定义法；常见的几种数学思想，如：函数与方程的思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化思想等. 了解了数学思想方法，分析了数学问题的特点，就可以做到快速有效地解决数学问题.关键词： 数学思想；数学方法；解题AbstractPeople have gained some important mathematical thinkings in the process of discovering the world. When we use mathematical thinking to solve mathematical problems, then rise to mathematical thinkings. Mathematical thinkings often play assessment and decision-making role when handling them in the solution. If you do not understand the mathematical way of thinking and lack of mathematical thinking to guide, it will be hard to solving problems. Mathematical ways and thinking is the essence of mathematics. To solve the problem with way and thinking requires that we have shown a variety of mathematical thinkings to make the induction. There are lots of mathematical thinkings and mathematical methods to solve problems. This article describes several common mathematical methods, such as: construction method, substitution method, undetermined coefficients method, definition method and several mathematical thinkings, such as: function and equation thinkings, classified discuss thinkings, the combination of mathematics and figure thought, conversion thinkings. By understanding of the mathematical thinkings, analyses of the characteristics of mathematical problems, it can be done to solve mathematical problems quickly and efficiently. Keywords: Mathematical thinkings; Mathematical method; Problem solving目 录摘要IAbstractII绪论1第1章 数学思想方法概述31. 1 数学思想方法及其作用31. 1. 1 数学思想方法的含义31. 1. 2 数学思想方法的作用41. 2 数学思想与数学方法的层次分类4第2章 常用的数学方法62. 1 配方法62. 2 换元法72. 3 待定系数法92. 4 定义法102. 5 数学归纳法112. 6 参数法132. 7 反证法132. 8 类比与联想法152. 9 构造法16第3章 常用的数学思想183. 1 函数与方程思想183. 2 分类讨论思想193. 3 数形结合思想203. 4 等价转化思想213. 5 逆反思想223. 6 整体思想233. 6. 1 整体转化思想233. 6. 2 整体换算思想243. 6. 3 整体思型思想25结论26参考文献27致谢28绪 论数学思想方法既是数学思维能力的产物，又是数学思维能力的基础. 数学深刻的智力价值、应用价值都体现在数学知识和数学思想方法之中. 数学知识的认识积累为数学素养的形成创造条件，而数学思想与数学方法的应用是数学素养进一步完善的可靠保证.数学思想方法是数学的精髓，用这种思想方法去解决问题，就要求我们对各种知识所表现出来的数学思想做出归纳概括.数学思想是解题的指导思想，数学方法是解题的具体操作过程；数学思想方法在问题的处理、解答中常常起到评估、决策的作用，进而就确定了解题的思想方向和方法. 如果不了解数学思想方法，缺乏数学思想方法的引导，解题中会无从下手走弯路.数学思想方法作为数学中的一般性原理具有高度的概括性，它不仅有助于学习的迁移，也更有利于长久保持. 掌握了数学思想方法，就能更快捷地获取知识，更透彻地理解知识，从而有效地解决问题. 数学思想方法在解答数学问题中有指导思想和基本策略的意义，因此领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学与运用数学的重要保证. 研究数学思想方法在解题中的应用，不但加强了数学思想与数学方法的理解与实施的能力，更是培养从数学问题中提炼获取数学思想方法的基本途径. 人们对数学思想方法的研究，从未停歇过，但是缺少系统性，发展较缓慢，尚未形成一个独立的研究领域和完整的理论体系. 目前由于数学基础学科之中重大思想方法的出现，特别是数学基础论研究的深入开展，人们对数学各个分支间的内在联系的研究更加关心，开始注重对数学思想方法本身产生、发展的探讨. 近些年来，我国数学家徐利治发表了浅谈数学思想方法论、数学方法论选讲和数学抽象度概念与抽象度分析法等著作，并提出许多独到见解，引起了国内外数学界与哲学界的关注. 解恩泽与赵树智合作编著的数学思想方法纵横论，从纵横两个方面分析了数学思想方法的形成与发展，其中既阐述了数学本身的思想方法，也探讨了人们对数学本质与规律的认识. 王文省与陈德新发表的浅谈数学思想方法的应用中阐述了数学思想方法在当今科技领域中的广泛应用，并首先指出了在解题中应用数学思想方法的重要性. 王永发表的浅谈数学思想方法在解题中的应用中列举了常见的数学思想与数学方法，说明了在学习数学的过程中必须要把数学思想方法的学习作为重点，通过运用来培养、提高学生的数学思维. 本文将数学思想与数学方法在解题中的应用作为核心，首先介绍数学思想与数学方法的含义、关系以及它们在整个数学学习中的地位. 然后，列举了几种在解题中常见、常用的数学思想与数学方法，在介绍每种思想方法之后，都挑选了典型的例题对各种思想方法怎样应用做出简单的说明. 第1章 数学思想方法概述1.1 数学思想方法及其作用1.1.1 数学思想方法的含义数学思想是指从某些具体的数学认识过程之中提取出来的正确观点，并且在后继认识活动中被反复运用和证实，带有普遍意义和相对稳定的特征. 也就是说，数学思想方法是对数学概念、方法和理论的本质认识. 正是因为如此，数学思想是建立数学理论和解决问题的指导思想. 任何数学知识的理解，数学概念的掌握，数学方法的应用，数学理论的建立，都是数学思想的体现与运用.数学思想不同于数学思维. 数学思维是指大脑和数学对象交互作用的过程，是人们按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动，包括应用数学工具解决各种理论或应用问题的思考过程. 在此之中，理性活动的本质是人脑的逻辑推演. 数学思想的产生必须经过数学思维，但是数学思维的结果未必产生数学思想.数学方法是处理数学问题过程之中所运用的各种实际手段、途径和方式. 因此，数学思想也不同于数学方法. 尽管人们常常把数学思想和方法合为一体，称之为“数学思想方法”，这只不过是因为两者的关系密切，常常不易区别开来. 事实上，方法是实现思想的手段，任何方法的实施，无不体现某种或多种数学思想；而数学思想往往是通过数学方法的实施才得以体现的. 严格说来，思想是理论性的，方法是实践性的，是理论用于实践的中介，方法要以思想为依据，在思想理论的指导下实施. 例如，伽罗瓦将方程问题转化为群论的问题来解决，创造了群论方法，可以说是一种很伟大的创造. 在这过程中除了运用转化思想，其实还用了群论的思想. 更确切地说，是他用群论的观点来看待方程的根的整体结构，才导致把方程问题转化为群的问题而不是转化成别的问题.因此，如果说是群论的方法还是群论的思想起作用了，应该说，是在群论的思想的指导下，用群论的方法导出结果，所以这两者都是原因.总的来说，谈到数学思想方法时，若强调的是指导思想，则指数学思想；强调的是操作过程，则指数学方法；当二者得兼难以区分的时候就不做区分，统称之为“思想方法”. 而实际上，通常谈及思想时也蕴涵着相应的方法，谈及方法时也同时指对该方法起指导作用的思想.1.1.2 数学思想方法的作用数学思想方法是数学创造和发展的动力. 几千年的数学发展史告诉我们数学思想方法存在并活跃在整个数学发展的进程之中. 例如：古希腊的亚里士多德与欧几里得提出公理化方法，把大量的、零散的几何知识系统化，最后综合成欧式几何，是最早形成的演绎体系；中国古代数学家刘徽提出“割圆术”，以解决长期存在的圆周率计算不准确的问题，其中包含着极限思想方法的萌芽；笛卡尔采用了变量的思想方法来看几何曲线，引进了坐标系，创立了代数方法研究几何问题的新数学分支解析几何；牛顿、莱布尼茨提出无穷小量方法，创立了微积分；高斯、罗巴切夫斯基等人运用了逆向与反常规思想、想象等方法，创立了非欧几何理论，并解决了两千年来几十代数学家为之奋斗但未能解决的欧式几何第五公设问题；伽罗瓦采用群论的思想方法彻底解决了五次及五次以上方程求根的问题，并为现代抽象数学奠定了基础；康托尔提出了集合思想不仅解决了许多实际的数学问题，而且为微积分的理论奠定稳固的基础，对数学基础的研究也产生了深刻影响；希尔伯特重视思想方法的研究与应用，不仅成功地运用了公理化的思想方法把欧式几何完善化，而且为多个数学领域的发展做出重要贡献，被称为“一代数学领袖和全才” 1. 希尔伯特在1900年巴黎国际数学家大会上做了题为数学问题的演讲，阐述了重大数学问题的特点及其本身对数学发展的作用，并举出23个重大数学问题. 人们普遍认为这个演讲本身就是一篇数学思想方法的重要著作.数学思想方法是培养数学能力与数学人才的需要. 数学教育的根本目的就在于培养数学能力. 数学能力就是数学素质，即运用数学认识世界、解决实际问题和进行发明创造的本领，这种能力不仅要求掌握数学知识，对一般理论有正确的理解，而且最重要地需要对数学思想方法的掌握和运用. 在培养数学研究人才的角度上说，学习与掌握数学思想方法有利于深刻认识数学本质，掌握数学发展的规律.数学的知识可以记忆一时，而数学的思想方法却永远发挥作用，可以终生受益，这就是数学的力量所在，数学学习的根本目的所在.1.2 数学思想与数学方法的层次分类可以把数学思想按其深度分为三个层次： 第一层是处于中心的数学核心思想，把序化思想与量化模式的构建列为核心思想，它是对数学研究对象的基本属性的本质认识和把握，是数学思想系统中起统领作用的核心要素；第二层是一般数学思想，它是数学各个分支所共有的，反映数学一般规律和特点的思想，它受到数学核心思想的支配，体现核心思想在数学各个科学领域活动的共性，如：符号思想、分类思想、转换思想； 第三层是具体的数学思想，是与若干个学科分支或某个学科分支特性和结构紧密结合的思想或思想方法，如：集合思想、方程思想、逼近思想、随机思想、模式模型思想2. 它们直接反应核心思想在每个具体学科分支活动中的具体属性，是进一步理解和掌握各个数学分支的导引和钥匙.数学方法是在数学思想指导下的方法，按其主要功能分为数学发现、数学论证和数学应用三个方面. 数学发现、论证的基本方法有：归纳、类比等合情推理，以演绎法为主的逻辑推理，一般化与特殊化的辩证方法，分析与综合的思想方法，以及转换思想的具体化. 这些方法一直以来被人们列为数学方法论的主要内容，研究数学中的发现、发明以及创造性活动的规律和方法3.第2章 常用的数学方法2.1 配方法配方法是对数学等式进行一种定向变形的技巧，通过配方法找到已知和未知之间的联系，从而化繁为简. 什么时候配方，需要我们在读题时做适当的预测，并且合理运用配与凑的技巧，从而完成配方，有时候也称之为“配凑法”4. 最常用的配方法是进行恒等变形，使数学等式出现完全平方. 它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论和求解，或者二次曲线的平移变换等问题. 在配方法使用中最基本的配方依据是二项完全平方公式 (2-1)灵活运用这个公式，可以得到各种基本的配方形式. 如： (2-2) (2-3) (2-4) (2-5)结合其他数学知识和性质，可以得到另外一些配方形式，如： (2-6) (2-7)例 2. 1 设方程的两个实根为. 若成立，求实数的取值范围. 解 方程的两个实根为，由韦达定理得，解得或.综合起来，的取值范围是 或 .关于实系数一元二次方程的问题，必须先考虑根的判别式；已知方程有两个根时，可以恰当运用韦达定理. 本题由韦达定理得到、后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成与的组合形式，从而进行解题. 2.2 换元法在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使原来的问题得到简化，这种方法就叫做换元法. 换元的指导思想是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的就是将问题移到新对象的知识背景中再研究，从而使问题标准化，复杂问题简单化. 换元法又被称辅助元素法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，将隐含的条件变得明显，或者把条件和结论联系起来变为熟悉的形式，或者把复杂的计算和推证简化. 可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式. 此方法在解方程、不等式、函数、数列、三角型等问题中有广泛的应用. 换元的具体方法有：局部换元、三角换元. 局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，但是有时候需要通过变形才能发现可以换元的位置. 三角换元主要应用于去根号，或者为了便于求解变换为三角形式，主要利用已知代数式中与三角知识中的某种联系进行换元. 例如：求函数的值域时，容易发现，设，问题变成了熟悉的求三角函数的值域问题. 在使用换元法解题时，要遵循有利于运算，有利于标准化的原则，换元后要重新对变量的范围做选取，要使新变量对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大. 例 2. 2 设，求的最大值和最小值. 解 设，则，由，得到 ，当时，最小值得当时，时，最大值得当时，时，最大值为. 的最小值为，最大值为.此题属于局部换元法，设后，利用与的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使原题变得容易求解. 换元过程中要注意新的参数的范围与对应. 另外在解答本题中还包含了分类讨论的数学思想，即由对称轴与闭区间的位置关系确定参数，分两种情况进行讨论. 2.3 待定系数法要确定变量之间的函数关系，设出某些未知系数，将一个多项式表示成另一种含有系数的新的形式，这样就得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，最后通过解方程或方程组便可求出系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法就叫做待定系数法. 待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出等式或方程. 使用待定系数法，解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：1、利用对应系数相等列方程；2、由恒等的概念用数值代入法列方程；3、利用定义本身的属性列方程；4、利用几何条件列方程. 例如：在求解圆锥曲线的方程时候，可以利用待定系数法求解. 首先设出含有待定系数的所求方程的形式，再把几何条件转化为含有所求方程未知系数的方程或者方程组，最后求解列出的方程，求出系数，然后把系数代入已经明确的方程形式，最后得到所求圆锥曲线的方程. 例 2. 3 有矩形的铁皮，其长为，宽为，要从四角上剪掉边长为的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？解 根据题意，矩形盒子底边边长为，底边宽为，高为. 盒子容积为15x>0，7x>0，x>0设，其中.使用均值不等式，则解得， ，从而所以当时，矩形盒子的容积最大，最大容积是. 在实际问题中最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究. 均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求解. 2.4 定义法数学中的定理、公式、性质和法则等都由定义及公理推演而来，定义是揭示概念内涵的逻辑方法，通过指出概念反映的事物的本质属性来明确概念. 所谓定义法就是直接运用数学定义解题. 定义是千百次实践后的必然结论，定义是基本概念对数学实体的高度抽象概括. 因此，定义法是最直接的解题方法. 例 2. 4 已知，求的定义域，判定其在上的单调性. 解 由条件联立与有方程 解之得 解得设则=，即在上是减函数；在上是增函数. 关于函数的：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题. 另外在本题求、过程中还运用了待定系数法与换元法. 2.5 数学归纳法归纳是一种由特殊事例导出一般原理的思维方法. 归纳推理分为完全归纳推理与不完全归纳推理两种. 不完全归纳推理根据一类事物中的部分对象具有的共同性质推断该类事物全体都具有该性质. 这种推理方法在数学论证中是不被认可的，必须经过再次证明. 完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后得出的结论. 数学归纳法是一种用于判断一个命题是否对所有自然数成立的演绎推理方法，它常用如下形式表达：设是一个关于自然数的命题，如果下面两个条件成立，则对所有自然数成立：条件1：成立，即当时成立. 条件2：假设对任意自然数，成立，证明成立. 也可以将条件2换成它的等价命题，即下面的：条件：对任意自然数，若对所有成立，则成立. 由上面的两个条件可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳. 运用归纳法证明问题时，关键是时命题成立的推证. 此步的证明要有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调节解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题. 例 2. 5 设数列的前项和为，若对于所有的自然数，都有，证明是等差数列.解 设，猜测当时， 当时猜测正确. 当时，当时猜测正确. 假设当时，猜测正确，即.当时，即将代入上式， 得整理后得，因为，所以，即时的猜测正确. 综上所述，对所有的自然数，都有，从而是等差数列. 2.6 参数法参数法就是在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量，这个新变量即是参数. 以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题. 参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系. 参数体现了近代数学中运动与变化的思想，参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题. 例 2. 6 实数、满足，求的最小值. 解 由abc1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数.设， ，其中，所以可得所以的最小值为. 2.7 反证法反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，进而导出结论与题设相互矛盾而得证. 具体地说，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使其得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，从而得出假设不成立，进而肯定了命题的结论，从而使命题得到证明. 反证法在证题时的模式可以概括为“否定推理否定”. 即是从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思路就是“否定之否定”. 应用反证法证明的主要三步是：第一步，作出与求证结论相反的假设；第二步，将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，说明反设不成立，从而肯定原命题成立. 用反证法证题时，如果要证明的命题只有一种反面情况，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又被叫做“归谬法”；如果结论的反面情况有多种，那么必须将所有的反面情况都驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫做“穷举法”. 反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的或否定结论更明显的命题. 还有一些具体、简单的命题从反面入手可能会更简单些. 例 2. 7 给定实数，且，设函数 (其中且)，证明：(1) 经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于轴；(2) 这个函数的图像关于直线成轴对称图像. 证明 “不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾，从而推翻假设. (1) 设、是函数图像上任意两个不同的点，则，假设直线平行于轴，则必有，即，整理后得 ， 这与已知条件矛盾， 假设不成立，即直线不平行于轴. (2) 由得，即，所以，即原函数的反函数为y，与原函数图像一致. 由互为反函数的两个图像关于直线对称可以得到，函数的图像关于直线成轴对称图像. 2.8 类比与联想法类比法就是根据两种不同的数学对象之间在某些方面相似或者相同，从而推出它们在其他方面也可能相似或者相同的推理方法. 类比的结论可能对也可能错，由于类比属于合情推理，而不属于演绎推理，类比导出错误的现象也常发生. 因此，类比的结论一定要经过严格论证才能确定其正确性9. 联想是一种思维跳跃的形式，指的是由此及彼的思考问题的一种方法，它和类比一样都是由对已知的事物特性迁移到未知事物之上. 例 2. 8 求数列的通项公式. 解 首先考察其简化的类似对象的通项公式，进而联想到数列1，0，1，0，1，0的通项公式，1，2，3利用归纳猜想发现数列的通项公式就是，1，2，3类比后，猜想本题所求数列的通项公式应该有如下形式其中1，2，3再寻找合适的，使的第一项中的系数为1，当且仅当，同时要使的第二项中的系数当时为1，其余为0，还要使的第三项中的系数当时为1，其余为0. 这时联想到的性质，适当调整的指数就可以得到本题的解为. 2.9 构造法构造法的主要思想在于构造函数、构造方程、构造数学关系式、构造辅助命题、等价命题、图形等. 应用构造法解题关键有两点：第一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；第二是必须弄清条件的本质是什么，需要怎样进行构造，从而达到解题的目的. 仔细观察问题特点与已知的数学知识联想对比，可以发现一些问题经过构造变形后会更易于解答. 例 2. 9 已知，是实数，且，求证：中必有一个大于. 证明 由已知中“和”与“积”联想到韦达定理，而且又有“实数”这个条件，想到用判别式来得到不等式关系. 由可知，必定有两个负数，一个正数，由，的对称性，可设正数，因而，可以构造方程,，是方程的两根. ，为实数，故有. 第3章 常用的数学思想3.1 函数与方程思想函数思想就是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题并解决问题. 方程思想就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学表达式，如：方程、不等式、或方程与不等式的混合组等，然后通过解方程或不等式来使问题获解. 有时，还能实现函数与方程的相互转化，最后达到解决问题的目的. 函数可以描述自然界中数量之间的关系，函数思想通过发现问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行解决问题. 函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，常常利用的性质有：函数、的单调性、奇偶性、周期性、最大值与最小值、图像变换等. 在解题中，善于发掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键. 另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题. 例 3. 1 设集合，且，若，求实数的取值范围. 解 集合的取值范围是函数表达式，联立可以消元. 联立得到.根据题意，方程在有解，所以设方程两根为与且，则. 或，且，当时，,即，且，有当时，即又，则，不合题意综上所述，实数的取值范围为.3.2 分类讨论思想在解答一些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对多种情况分类求解. 将问题分为几种情况，使条件具体化，难点分散，然后再对每种情况分别讨论，最后各个击破，再进行归纳总结，使原问题获得解答. 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：1、问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的. 如：的定义分为，三种情况，这种分类讨论可以称为概念型分类. 2、问题中涉及到数量定理、公式、运算性质和法则有范围或者是有条件限制，或者是分类给出的. 如：等比数列的前项和的公式，分和两种情况. 这种分类讨论题型称为性质型分类. 3、解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论. 如：解不等式时，分，三种情况. 这种题型称为含参型分类. 在这之外，一些不确定的数量、不确定的图形的形状或者位置、不确定的结论等都需要通过分类讨论进行解答. 在进行分类讨论时，要遵循的原则有：分类的对象的标准是统一的；分类必须不重复、不遗漏；分类必须按照一定层次逐级进行，不能越级分类. 例 3. 2 设函数，对于满足的一切值有. 求实数的取值范围. 解 当时，或或或，即；当时，无解；当时，不合题意.综合以上情况得到实数的取值范围是. 本题在解答过程中，对决定图像开口方向的二次项系数进行了三种情况讨论. 3.3 数形结合思想数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，其关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以把代数问题几何化，几何问题代数化，以形助数，以数助形. 数形结合的基本思想是根据数或者式的结构特征构造出与之相适应的几何图形，利用几何图形的直观特性解题，或者将图形信息转化为代数的数量关系进行讨论，在这个过程中也应用了转化构造的数学方法. 常见的数形结合题型有：1、实数与数轴上的点的对应关系；2、函数与图像的对应关系；3、曲线与方程的对应关系；4、以几何元素和几何条件为背景概念，如复数、三角函数等；5、所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一是要明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参建立关系，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围14. 例 3. 3 求函数的最小值. 解 原式若标记，如图(3-1)所示，由的两边之和大于第三边得当且仅当，三个点共线时取等号. 3-2图 3-1.3.4 等价转化思想等价转化思想是处理问题时，把那些待解决或是一些较难解决的问题，通过某种转化过程，归纳到一类已经解决或者比较容易解决的问题，最终求得原问题的解. 当问题从一种模式转换到另一种模式时，这两种模式可能处于不同的范围，也可能有交叉或者有包含的关系，既可以转化成更特殊的,也可以转化为更一般的问题. 对问题进行转换时，既可变换已知条件，也可以变换问题的结论. 只要变换所得的新问题比原问题容易解决并且最终使原问题获得解决，这样的变换方法是可行的. 等价转化思想的特点就是具有灵活性和多样性. 在应用等价转化的思想去解决数学问题时，没有统一的方法. 它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换，也可以在符号系统内部实施转换,即恒等变形. 消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了转化思想，常见的是在函数、方程、不等式之间进行转化. 例 3. 4 若、且，求的最小值. 解 在本题中，由已知而联想到，只有将所求式变形为含代数式，或含的形式才易于解题. 所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化. 3.5 逆反思想数学上有许多公式、定理、定义是可逆的，比如函数的单调性. 适当在解题过程中应用可逆思想有易于解题，它是深刻认识数学问题的实质. 例 3. 5 (1)已知，如果，求的取值范围；(2)已知是定义在的增函数，满足，求的取值范围. 解 函数的单调性具有可逆性，即(1) 在区间内单调递增任意，若则或. 由，得，由得.(2) 在区间内单调递增任意，若则，原不等式可以化为，又在上是增函数 解得 . 3.6 整体思想对事物的认识，既要注意“微观”,又要把握“宏观”，这样才能避免片面性，全面地认识问题. 因此，对某些“局部”性的问题，扩展到“整体”之后解决，往往可以更好地利用整体的调控作用优化解题方法，化繁为简. 3.6.1 整体转化思想例 3. 6 射线，的方程分别为和，线段的两端分别在，上滑动，若，求在的中点轨迹方程. 解 由题意可以设，又设，则，且.由，得，即因此所求的轨迹方程为.3.6.2 整体换算思想在解复数题时，可以用整体思想，避繁就简. 如充分利用“”，“”的性质，等，将题中式子重新组合，看作一个整体对待，灵活地进行等量代换. 例 3. 7 已知复数，复数，在复数平面上所对应的点分别是，. 证明是等腰三角形(其中为原点). 证明 ，由此得，所以为等腰三角形. 3.6.3 整体思型思想有些问题有着丰富的几何背景，在解决这类问题时，充分利用问题的特点，以数构形，整体运作能使问题的解决既简单又简洁. 与数形结合思想一样，需要首先了解几何模型的特点，然后通过整体转化，得出易于解题的形态. 例 3. 8设且，求方程的实根. 分析 三角函数运算起来较复杂，考虑关于的判别式难以判断正负，注意到，即的一部分，则一定存在一个，使，于是可以做为某一个三角形的三个内角，其对边分别是，从而由正弦定理知道原问题等价于：“已知为三角形的三边长，求证方程没有实根”. 证 由三角形三边关系有：故原方程无实根. 结 论各种数学思想方法都是在解决数学问题与应用数学知识的过程中提炼出来的，而它们又可以再次融入解题的过程之中进行深化. 数学思想方法与其应用于解题是两个共同成长的相辅相成的要素，失去哪一个都会使数学失去实际意义. 本文通过查阅前人研究的思想方法，加以整理、分类总结，对数学思想方法在解题中的作用有了系统的认识. 解题的过程就是在数学思想的指导下，合理地联想到相关的知识，调用正确的数学方法来加工问题. 本文主要研究几种常见的数学思想与数学方法，结合在解题中的应用，可以体会到数学的核心思想与基础知识是紧密联系的. 想要在解题中运用数学思想方法，就要熟练掌握数学基础知识，透彻理解定理、定义，并且积极思考. 在做题时自主地进行归纳，总结不同问题的特点、难点，同时需要了解已有的思想方法，分析思想方法的来历、应用的规律，做好应用的准备，这在解题时是非常有帮助的. 总之，数学思想方法是数学思想与数学方法的结合，通过正确的理解思想并且通过正确的数学方法才能快速有效的解决问题. 参考文献1 吴炯圻. 数学思想方法：创新与应用能力的培养M. 厦门：厦门大学出版社，2009:345-350. 2 朱成志. 数学思想方法教学研究导论M. 上海：文匯出版社，1998:32-35. 3 赵多彪. 加强数学思想方法教学 培养学生的创新能力J. 数学教学研究，2001，11.40-45.4 王文省. 谈数学思想方法的的应用J. 高等理科教育，2003，1. 28-29.5 陈静仁. 数学思想方法J. 边疆经济与文化，2009，3. 22-27.6 夏绍云. 浅谈数学思想方法在解题中的应用J. 和田师范专科学校学报（汉文综合版），2008，28(1). 9-11.7 张民欢. 用高等数学的思想方法研究中学数学问题J. 山西广播电视大学学报，2009，3. 23-25.8 王永. 浅谈数学思想方法在解题中的应用J. 山西广播电视大学学报，2005