四级奥数讲义299学子教案库第02讲数表规律与数列综合.doc

第二讲 数表规律与数列综合1.观察一下数表，请问最右下角的数字是什么。 2 ，4 ，6 ，8 ，10， 2004 4 ，6 ，8 ，10，12， 6 ，8 ，10，12，14， 8 ，10，12，14，16， 2004， 解：仔细观察数表，第一行是从2至2004的偶数数列，第一列也是如此，因此可以判断，这是一个1002行1002列的方形数表，关系非常简单，最右下角的数字为以2004为首项，2为公差的等差数列的第1002项是2004（10021）×24006。2.设有数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4问20在此数列中排第几项。 解：首先观察数列，很显然，从1开始，每个数字重复出现它本身数次，因此对于从1开始每个数出现的次数得到如下数列：1，2，3，4，这是一个自然数列，在20出现前，会有19个19出现，因此计算第一个20的位置就需要计算，以上数列的19项的和是多少。对于这个等差数列，19项的和为（119）×19/2190，所以20出现在第191到210项。3.按照右图表中的规律，回答第一行第10列的数是几？ 14916252381524567142310111213221718192021解：以左上角的1为中心，做逆时针扫描发现如下数列1，（2，3，4），（5，6，7，8，9）这就是本题中的自然数列的分布规律。每一组所含有的数字的个数等于（组数×21），同时组数反映了第一个数字的行数，于是得到每组数字个数的数列： 1，3，5，7 根据以上分析，第一行第10列的数字是位于第10组的最后一个数字。则所得数列的第10项为 2×10119 按照自然数列可以推断出 （119）×10/21004.仔细观察下数列，回答出现在第19个位置上的是什么数字。1，1，2，1，1，2，3，1，2，2，1，3，解：考虑将数列按照位置的奇偶性不同分成两个数列奇数列：1，2，1，3，2，1，偶数列：1，1，2，1，2，3，这样排布来看就非常清楚了，奇数列分组为（1）（2，1）（3，2，1）偶数列为（1）（1，2）（1，2，3）对于每一组，到每组结束前都有（组数1）×组数/2个数字。 19201 确定第19个位置是偶数列第4组的倒数第二项 所以，第19个位置为3。5.自然数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，连续排列形成如下数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2，1，3，请回答第1990个数位上的数字是几。解：这是一个重排数列的问题，我们这样考虑，1位数有9个，2位数有2×90180个，3位数有3×9002700，第1995个数位显然在3位数中存在。对于3位数，还剩余199091801801个数字1801除以3的商600余1，所以第1990个数位为700的第一个数字7。6.观察如下数表，回答第10行中第7个数字是几。 1，3，6，10，15 2，5，9，14， 4，8，13， 7，12， 11，解：按照斜线位置关系，将数字分为如下几组（1）（2，3）（4，5，6） （7，8，9，10）每一组中数字得所在行和所在列的和相同。例如第2组，2是2行1列，3是1行2列，和为3。且组数与和相差1，所以第10行的第7个数字行列和为17，所以是第16组的数字。通过如上分析可知，前15组共有（115）×15/290个数字，所以第16组第一个数字，即位于第1列的数字为91，那么第10行第7个数字为97。7.将自然数1，2，3，按图排列，在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，问哪个数转第20个弯？解：从图中抽象出拐弯的数字组成的数列如下：2，3，5，7，10，13，17，21可以看出相邻两项的差有如下关系1，2，2，3，3，4，4，从第二项起是一个重复两次的等差数列。 通过以上分析可以确定，转第20个弯的时候， 数字是得到数列的前19项之和，即（110）×101498.有一列数： 3，1000，997，3，994，991，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么在这列数中最小的数是几？它第一次出现在这列数的第几个？解：我们把这个数列延伸一下3，1000，997，3，994，991，3，988，985，3，982，979，33间隔两项出现，大数以3为公差减小，每两个为一组，每组前两个数字差为6，1000/6商144 余4，即在第145组中出现第一个数字为4，第二个数字为431，这就是最小的数字。 经过上面的分析，最小的数字是1，它的位置是3×14424359.把下面的等差数列按一项、两项、三项、四项循环的方式进行分组：（11），（13，15），（17，19，21），（23，25，27，29），（31），（33，35），（37，39，41），（43，45，47，49），那么，第2007组中有几个数？第2008组中各数之和是多少？解:等差数列按一项、两项、三项、四项循环的方式进行分组，可以将四组数分为一个周期，2007÷4=5013,则第2007组数为502个周期的第三组数，故第2007组数应该有3个数； 2008÷4=502，第2008组数正好是502个周期的最后一组数，共有4个数。每一个周期共有10个数，所以前2008组数共有5020个数，等差数列的第5020项是：11+（5020-1）×2=10049。故第2008组数的四个数为：10043，10045，10047，10049，四个数之和为：10043+10045+10047+10049=40184。13571513119171921233129272510.将奇数1、3、5、7、按右图中格式排列，那么2007出现在表格中第几行，第几列？求第2007行第3列的数是多少？解：首先我们求2007是等差数列的第几项，（2007-1）÷2+1=1004。然后，数表的规律是每四个数一个周期，1004÷4=251，因此，2007是第251个周期的最后一个数，奇数个周期的四个数是左边空出一列，偶数个周期的四个数是右边空出一列。因此，251个周期的最后一个数是第251行，第4列。即，2007出现在第251行，第4列。 从第1行到2007行共有2007×4=8028个数，第2007行第3列应该是第2007行的2个数，所以，第2007行第3个数是这个等差数列的第8026个数，是1+（8026-1）×2=16051。11.将1，3，6，10，15排列起来13610152128的第60个数字是多少？解：第1个数是1第2个数是1+2第3个数是1+2+3第13个数是1+2+3+13=91（到第13个数一共有13×2-3=23个数字）第14个数是1+2+3+14=105（从第14个数开始，还剩下37个数字）第25个数是1+2+3+25=325(一共有36个数字)第26个数是1+2+3+26=351 故第60个数字应该是第26个数的第一个数字3。作业:1. 有一列由三个数组成的数组,它们依次是(1,5,10);(2,10,20);(3,15,30);第99个数组内三个数的和是_.解：这串数组,各组数的和是16,32,48,.各组数的和分别是按16的1倍,2倍,3倍,的规律递增.因此,第99个数组的和是16×99=16×(100-1)=1600-16=1584.2. 有数组:(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),第100组的三个数之和是_.解：通过观察可以发现,每一组括号中三个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数自乘的积,第三个数是第一、二两数的乘积,因此,第100组中的三个数应分别是:第一个数是100;第二个数是100×100=10000;第三个数是100×10000=1000000,所以,第100组的三个数的和为:100+10000+1000000=1010100.3. 有数组1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12,那么第100个数组的四个数的和是_.解：通过观察可以发现,每一组数括号中四个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数的2倍,第三个数是第一个的3倍,第四个数是第一个数的4倍.因此,第100个数组内的四个数分别是:(100,200,300,400).所以,第100个数组的四个数的和是:100+200+300+400=1000.4. 将自然数按下面的规律分组:(1,2),(3,4,5,6),(7,8,9,10,11,12),(13, 14,15,16,17,18,19,20),第1991组的第一个数和最后一个数各是_.解：仔细观察找出这些自然数分组的规律,再找出每一组的第一个数与该组的序数之间的关系.第1组的第1个数是:1=(1-1)×1+1;第2组的第1个数是:3=(2-1)×2+1;第3组的第1个数是:7=(3-1)×3+1;第4组的第1个数是:13=(4-1)×4+1;根据这一规律,可求出第1991组的第1个数是:(1991-1)×1991+1=3962091.第1992组的第一个数是: (1992-1)×1992+1=3966073.因此,第1991组的最后一个数是:3966073-1=3966072.5. 设自然数按下图的格式排列: 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 (1) 200所在的位置是第_行,第_列;(2) 第10行第10个数是_.解:注意到第一列是完全平方数: 1,4,9,16,25,.按(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),分组,则200在196与225之间,属第15组,倒数第4个数,在第4行、第15列上.第10行第10个数是位于第10行第10列上的数91.