高中数学新课程创新教学设计案例（共50课时）上 125课时.doc

12 对 数 函 数教材分析对数函数是一类重要的函数模型，它与指数函数互为反函数教材是在学生学过指数函数、对数及其运算的基础上引入对数函数的概念的须要说明的是，这里与传统的教材有所不同，即没有先学习反函数，这对学生学习对数函数的概念、图像及性质有较大影响，使指数函数的知识点不能直接应用于对数函数的知识点，但从对数的定义中知道：指数式与对数式可互化因此，在某些方面，如在画对数函数ylog2x的图像列表时，可以把画指数函数y2x图像时列的表中的x与y的值对调这节内容的重点是对数函数的概念、图像及性质，难点是对数函数与指数函数的关系教学目标1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质2. 知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数（a0且a1）3. 能应用对数函数的性质解有关问题任务分析首先复习指数函数、对数的定义及对数的性质，这也是学习本节内容的基础解析式xlogay是函数，叫作对数函数，为了符合习惯，常写成ylogax这些内容学生较难理解，教学时要引起重视教学中，要注意从实例出发，使学生从感性认识提高到理性认识；要注意运用对比的方法；要结合对数函数的图像抽象概括对数函数的性质注意：不要求讨论形式化的函数定义，也不要求求已知函数的反函数，只须知道对数函数与指数函数互为反函数教学设计一、问题情境同指数函数中的细胞分裂问题，即：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数为y我们已经知道，个数y是分裂次数x的函数，解析式是y2x形式上是指数函数（这里的定义域是N）思考：在这个问题中，细胞分裂的次数x是不是细胞分裂个数y的函数？若是，这个函数的解析式是什么？x也是y的函数，由对数的定义得到这个新函数是xlog2y其中，细胞的个数y是自变量，细胞分裂的次数x是函数二、建立模型1. 学生讨论（1）函数xlog2y与指数函数y2x有何关系？（2）函数log2y中的自变量、字母与我们以前所学的函数有何区别？结论：问题（1）：两函数中的x表示的都是细胞分裂的次数，y表示的都是细胞分裂的个数，对应法则都是以2为底数，一个是取对数，一个是取指数，正好相逆注意：这里不能说它们互为反函数，因为还没有学习反函数的概念问题（2）：这里的自变量所用字母是y，以前学习的函数的自变量常用字母x，即这里的用法不合习惯2. 教师明晰定义：函数xlong2y，（a0，且a1）叫作对数函数，它的定义域是（0，），值域是（，）由对数函数的定义可知，在指数函数yax和对数函数xlogay中，x，y两个变量之间的关系是一样的不同的只是在指数函数yax里，x是自变量，y是因变量，而在对数函数xlogay中，y是自变量，x是因变量习惯上，我们常用x表示自变量，y表示因变量，因此，对数函数通常写成ylogay，（a0且a1，x0）3. 练习在同一坐标系中画出下列函数的图像（1）ylong2x（2）y解：列表：表12-1思考：上表中的x，y的对应值与指数函数中所列表的对应值有何关系？描点，画图：4. 观察上面的函数图像，结合列表，仿照指数函数的性质，归纳总结出对数函数的性质（1）定义域是（0，），值域是（，）（2）函数图像在y轴的右侧且过定点（1，0）（3）当a1时，函数在定义域上是增函数，且当x1时，y0；当0x1时，y0当0a1时，函数在定义域上是减函数，且当x1时，y0；当0x1时，y0三、解释应用例题1. 求下列函数的定义域（1）ylog2x2（2）yloga（4x）（3）y解：（1）xx0（2）（，4）（3）（0，1）2. 比较下列各组数的大小（1）log23与log23.5（2）loga5.1与loga5.9，（a0且a1）（3）log67与log76解：（1）考查对数函数ylog2x21，它在（0，）上是增函数又33.5，log23log23.5（2）当a1时，loga5.1loga5.9；当0a1时，loga5.1loga5.9（3）log671log76总结：本例是利用对数的单调性比较两个对数的大小，当底数与1的大小不确定时，要分类讨论；当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个已知数间接比较两个数的大小3. 溶液的酸碱度是通过pH值来刻画的，pH值的计算公式为pHlgH+，其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是molL（1）根据对数函数性质及上述pH值的计算公式，说明溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系（2）已知纯净水中氢离子的浓度为H+10-7molL，计算纯净水的pH值解：（1）根据对数的性质，有pHlgH+lgH+1lg，所以溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小（2）当H+10-7时，pHlg10-77，所以，纯净水的pH值是74. 设函数f（x）lg（axbx），（a1b0），问：当a，b满足什么关系时，f（x）在（1，）上恒取正值？解：当x（1，）时，lg（axbx）0恒成立axbx1恒成立令g（x）axbxa1b0，g（x）在（0，）上是增函数，当x1时，g（x）g（1）ab，当ab1时，f（x）在（1，）上恒取正值练习1. 求函数y的定义域2. 比较log0.50.2与log0.50.3的大小3. 函数ylg（x22x）的增区间是 _ 4. 已知a0，且a1，则在同一直角坐标系中，函数ya-x和yloga（x）的图像有可能是（）5. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现，一岁鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是ms，其中Q表示鲑鱼的耗氧量（1）当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是多少？（2）计算一条鲑鱼的最低耗氧量四、拓展延伸1. 作出对数函数ylogax，（a1）与ylogax，（0a1）的草图2. 说出指数函数与对数函数的关系以指数函数y2x与对数函数ylog2x为代表加以说明（1）对数函数ylog2x是把指数函数y2x中自变量与因变量对调位置而得出的教师明晰：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量我们称这两个函数互为函数函数yf（x）的反函数记作：yf-1（x）对数函数ylog2x与指数函数y2x互为反函数（2）对数函数ylog2x与指数函数y2x的图像关于直线yx对称（3）指数函数与对数函数对照表表12-2点评这篇案例首先通过细胞分裂问题说明了对数函数的意义，这样安排既有利于学生理解对数函数的概念，又有利于学生了解了它与指数函数的关系其次通过画具体的对数函数的图像，归纳总结出对数函数的性质，体现了由特殊到一般的认识规律，知识传授较为自然性质的列举模仿了指数函数的性质通过对比，便于学生理解、记忆例题、练习的选配注意了题目的代表性，并且由易到难，注重学生解题能力的提高拓展延伸侧重于指数函数与对数函数的图像、性质方面的关系，加深了学生对这两个函数的理解，并使学生从中了解了反函数的概念13 幂函数教材分析幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，全面掌握有理指数幂和根式的基础上来研究的一种特殊函数，是对函数概念及性质的应用从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，为今后学习三角函数等其他函数打下良好的基础在初中曾经研究过yx，yx2，yx1三种幂函数，这节内容，是对初中有关内容的进一步的概括、归纳与发展，是与幂有关知识的高度升华知识的安排环环紧扣，非常紧凑，充分体现了知识的发生、发展过程对幂函数进行系统的理论研究，在研究过程中得出相应的结论固然重要，但更为重要的是，要让学生了解系统研究一类函数的方法这节课要特别让学生去体会研究的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究教学目标1. 通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力2. 使学生理解并掌握幂函数的图像与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力任务分析学生对抽象的幂函数及其图像缺乏感性认识，不能够在理解的基础上来运用幂函数的性质为此，在教学过程中让学生自己去感受幂函数的图像和性质是这一堂课的突破口因此，这节课的难点是幂函数图像和性质的发现过程，教学重点是幂函数的性质及运用首先，从学生已经掌握的最简单的幂函数yx，yx2和yx-1的知识出发，利用实例，由师生共同归纳、总结出幂函数的定义，认清幂函数的特点，深刻理解其定义域其次，举出几个简单的幂函数引导学生从定义出发研究其定义域、值域、奇偶性、单调性、是否过公共定点这几个性质，让学生自己去探究，把主动权交给学生然后，再由学生自己结合性质去画幂函数的图像，让学生在获得一定的感性认识的基础上，通过归纳、比较上升为理性认识，从而形成对概念与性质的完整认识最后通过例题3与练习，让学生利用图像与性质，比较两个数的大小，从而提高学生获取知识的能力教学设计一、问题情景下列问题中的函数各有什么共同特征？（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付pw元这里p是w的函数（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为Sa2这里S是a的函数（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为Va3这里V是a的函数（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a这里a是S的函数（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为vt-1（kms）这里v是t的函数由学生讨论，总结，即可得出：pw，sa2，a，vt-1都是自变量的若干次幂的形式教师指出：我们把这样的都是自变量的若干次幂的形式的函数称为幂函数二、建立模型定义：一般地，函数yxa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数教师指出：由于无理指数幂的意义我们还没学到，因此目前只讨论a是有理数的情况思考讨论：在幂函数yxn中，当n0时，其表达式怎样？定义域、值域、图像如何？教师指出：此时yx01；定义域为（，0）（0，），特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0，1）要除外三、解释应用例题一1. 求下列函数的定义域解：（1）R（2）R（3）xx0（4）xxR且x0）（5）xx02. 求下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性解：（1）xxR且x0），偶函数（2）R，非奇非偶函数（3）R，奇函数（4）xx0，非奇非偶函数问题探究1. 对于幂函数yxa，讨论当a1，2，3，1时的函数性质表13-1以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质2. 在同一坐标系中，画出yx，yx2，yx3，y，yx-1的图像，并归纳出它们具有的共同性质教师讲评：幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，）上都有定义，并且图像都过点（1，1）（2）如果a0，则幂函数的图像通过原点，并在区间0，）上是增函数（3）如果a0，则幂函数在（0，）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地趋近y轴；当趋向于时，图像在x轴上方无限地趋近轴思考讨论：（1）在幂函数yxa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？（2）在幂函数yxa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？教师讲评：（1）在幂函数yxa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数（2）在幂函数yxa中，当a是正奇数时，函数是奇函数，在第一象限内是增函数例题二比较下列各题中两个值的大小解：（1）幂函数yx1.5是增函数，又0.70.6，0.71.50.61.5（2）幂函数y是减函数，又2.21.8，注意：由于学生对幂函数还不是很熟悉，所以在讲评中要刻意体现出幂函数yx1.5与y的图像的画法，即再一次让学生体会根据解析式来画图像解题这一基本思路练习比较下列各题中两个值的大小四、拓展延伸1. 如果把函数图像向上凸的函数称为凸函数，把函数图像向下凸的函数称为凹函数，对于幂函数yxa，x0，），当a0且a1时，研究其凸凹性2. 研究幂指数与幂函数奇偶性的关系3. 研究幂指数与幂函数单调性的关系（以上问题的探究可以借助计算机来完成）点评这篇案例的突出特点是，紧紧围绕教学目标，遵循直观式、启发式原则而展开在这节课中，教师放手让学生去探索与研究，并在一旁适时地引导学生根据几个实例函数的公共特点归纳、总结幂函数的定义，对几个特殊幂函数的性质先进行初步探索，再根据研究的结果结合描点作图画出幂函数的图像，让学生观察和分析所作的图像，归纳得出图像特征，并由图像特征得到相应的函数性质，让学生充分体会系统研究函数的方法整个教学过程的绝大部分时间都给了学生，让学生动脑动手通过对同类旧知识的回忆，充分引导学生利用数形结合，找出与新知识的连接点，并在对照、类比分析中找出规律这些均提高了学生学习的积极性和自学能力，培养了他们的科学精神和创新思维习惯最后“拓展延伸”的设计又把学生的思维推向了更广阔的空间14 平面的基本性质教材分析这篇案例是在初中平面几何知识的基础上进一步研究平面的基本性质平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，这节课既是立体几何的开头课，又是基础课，学生对本节内容理解和掌握得如何，是能否学好立体几何的关键之一这节课的教学重点是平面的基本性质，难点是平面的基本性质的应用及建立空间概念、正确应用符号语言教学目标1. 在引导学生观察思考生活中的实例、实物模型等的基础上，总结和归纳出平面的基本性质，初步学会用数学的眼光去认识和感受现实的三维空间2. 会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理，能用公理及推论解决有关问题，提高学生的逻辑推理能力3. 通过画图和识图，逐步培养学生的空间想象能力，使学生在已有的平面图形知识的基础上，建立空间观念任务分析这节课是立体几何学习的基础，但学生空间立体感还不强为此，教学时要充分联系生活中的实例，如自行车有一个脚撑等，通过实例，使学生尽快形成对空间的正确认识，建立初步的空间观念；在联系实际提出问题和引入概念时，要合理运用教具，如讲解公理1时，可让学生利用手中的直尺去测桌面是不是平的；讲解公理2时可让学生观察教室的墙面的关系等通过这些方式加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养学生由图形想象出空间位置关系的能力当用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的基础上发展其他数学语言在阐述定义、定理、公式等重要内容时，宜先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，这样，就有可能收到较好的效果，给学生留下较为深刻的印象教学设计一、问题情景1. 利用你手中的直尺，如何判定你课桌的桌面是不是平的2. 你骑的自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？3. 矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，硬纸板与讲台面不重合，能否说这两个平面只有一个公共点？（利用多媒体屏幕呈现问题情景，即在屏幕上出现桌子与直尺、有一个脚撑的自行车、矩形硬纸与讲台面及相应的问题与现实生活联系紧密的实物通过多媒体给出，能够活跃课堂气氛，激发学生学习兴趣，从而引导学生积极主动的去探究问题）二、建立模型1. 探究公理（1）问题1的探究教师提出问题，引发学生思考：如何用直尺这个工具来判定你的桌面是不是平的呢？（把直尺放在物体表面的各个方向上，如果直尺的边缘与物体的表面不出现缝隙，就可判断物体表面是平的）教师点拔：这是判断物体表面是不是平的的一个常用方法如果物体表面是平的，把直尺边缘无论如何放在平面上，则边缘与平面都没有缝隙，也就是说，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内由此，可以归纳出公理1公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（如图14-1）这时我们说，直线在平面内或平面经过直线这一性质是平面的主要特征弯曲的面就不是处处具有这种性质教师进一步分析：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中把点作为基本元素，直线、平面即为“点的集合”，这样：点A在直线a上，记作Aa；点A在直线a外，记作Aa；点A在平面内，记作A；点A在平面外，记作A；直线a在平面内，记作a；直线a在平面外，记作a公理1用集合符号表示为：Aa，Ba，A，B，则有例：证明如果一个三角形的两边在一个平面内，那么第三边也在这个平面内注意：在分析过程中，一定要强调“要证明直线在平面内，则应该证明什么？条件中有没有，没有如何去创造”通过这种逆推思路的分析，培养学生良好的思考习惯练习：判断下列命题的真假 如果一条直线不在平面内，则这条直线与平面没有公共点 过一条直线的平面有无数多个 与一个平面没有公共点的直线不存在 如果线段AB在平面内，则直线AB也在平面内a（2）问题2的探究教师提出问题，引发学生思考：自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？（因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上，而且为了站稳，前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点不共线，因此我们可以推测：过不共线的三点有且只有一个平面）教师演示：用相交于一点的三根小棍的三个端点作为空间不在一直线上的三个点（如图14-2），当把作为平面的硬纸板放在上面时，这张作为平面的硬纸板不能再“动”了，因为一动就要离开其中的一个点，硬纸板所在平面就不能确定了，正如同刚才的发现：过不共线的三点有且只有一个平面公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（如图14-3）公理2也可以简单地说成：不共线的三点确定一个平面教师演示课件：在空间给定不共线的三点A，B，C（如图14-4），作直线AB，BC，CA，再在直线BC，CA，AB上分别取动点P，Q，R，作直线AP，BQ，CR，让P，Q，R分别在直线BC，CA，AB上运动，我们可以看到这些直线“编织”成一个平面教师出示问题：试举出一个应用公理2的实例（例如，一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了）（3）问题3的探究教师将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题：能否说这两个平面只有一个公共点？（不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线）教师点拔：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解这个实例说明了平面具有如下性质公理3如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线（如图14-5）公理3的数学符号语言：P，Pa，Pa教师进一步概括：为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指两个不重合的平面如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交这条公共直线叫作这两个平面的交线由公理可见，两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线上的每一个点都是两平面的公共点练习：判断下列命题的真假如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上两个平面的公共点的集合可能是一条线段2. 推出结论教师明晰：由于两点确定一条直线，根据公理2容易得出如下推论：推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面已知：点A，直线a，Aa（如图14-6）求证：过点A和直线a可以确定一个平面分析：“确定一个平面”包含两层意思：一是存在，二是唯一这两层都应证明（说明：这个证明可以由教师引导学生一起分析完成，但步骤教师一定要板书）证明：存在性因为Aa，在a上任取两点B，C，所以过不共线的三点A，B，C有一个平面（公理2）因为B，C，所以a（公理1）故经过点A和直线a有一个平面唯一性如果经过点A和直线a的平面还有一个平面，那么，因为B，C，所以B，B（公理1）故不共线的三点A，B，C既在平面内又在平面内所以平面和平面重合（公理2）所以经过点A和直线有且只有一个平面有时“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”类似地可以得出下面两个推论：推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面（如图14-7）推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面（如图14-8）三、解释应用例题两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内（如图14-9）已知：ABACA，ABBCB，ACBCC求证：直线AB，BC，AC共面证法1：因为ABACA，所以直线AB，AC确定一个平面（推论2）因为BAB，CAC，所以B，C，故BC（公理1）因此，直线AB，BC，CA都在平面内，即它们共面证法2：因为A直线BC，所以过点A和直线BC确定平面（推论1）因为A，BBC，所以B故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面证法3：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面（公理2）因为A，B，所以AB（公理1）同理BC，AC，所以AB，BC，CA三直线共面思考：在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？（不能，如果三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以不共面）练习1. 三角形、梯形是平面图形吗？2. 已知：平面外有一个ABC，并且ABC三条边所在的直线分别与平面交于三个点P，Q，R求证P，Q，R三点共线四、拓展延伸1. 四条直线两两相交且不过同一点，这四条直线是否一定共面？2. 两个平面最多可以把空间分成几个部分？三个平面呢？四个平面呢？点评这篇案例在教师指导下，从现实生活中选择和确定问题进行研究，以类似科学家探究的方式使学生主动地解决问题，获取知识，应用知识，并在探究过程中充分利用模型、进行数学实验等多种渠道在问题探究的过程中，学生的空间想象能力、动手能力、解题能力等得到了提高这篇案例充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生参与到问题的探究中，让学生成为“演员”，变成主角，成为解决问题的决策者，而教师只是充当配角这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥了学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题15 异面直线教材分析异面直线是立体几何中十分重要的概念研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别，正确理解“异面”的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，这样处理完全符合学生的认知规律处理好这节内容，可以比较容易地引导学生实现由平面直观到空间想象的过渡教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点教学目标1. 理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系2. 理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本数学思想方法3. 通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力任务分析空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的学生对此已有一定的感性认识，但是此认识是肤浅的同时，学生空间想象能力还较薄弱因此，这节内容课应从简单、直观的图形开始介绍“直观”是这节内容的宗旨多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成异面直线所成的角的意义及求法，充分体现了化归的数学思想要让学生通过基本问题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法教学设计一、问题情境（）1. 同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置2. 如图15-1，长方体ABCDA1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？二、建立模型（）1. 首先引导学生观察实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此基础上总结出异面直线的定义2. 在学生讨论归纳异面直线定义的基础上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线强调：（1）所谓异面，即不共面，所以它们既不平行，也不相交（2）“不共面”，指不在任何一个平面内，关键是“任何”二字3. 先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰（1）共面与异面共面分为平行和相交（2）有无公共点有且仅有一个公共点相交直线，无公共点 _ 平行直线和异面直线4. 异面直线的画法先让学生体会下列图形，并让其指出哪些更为直观显然，图15-2或图15-3较好因此，当表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚三、问题情境（2）刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？容易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的问题：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，1. 我们知道AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比较合理呢？2. 回忆我们已学过的“距离”概念，发现“距离”具有“最小性”，现在直线AB和D1C上各取一点，这两点必然存在距离，试问在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？进一步思考：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？四、建立模型（2）在学生充分讨论、探究的基础上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念1. 异面直线a与b所成的角已知两条异面直线a，b经过空间任一点O，作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角（或直角），叫作异面直线a与b所成的角强调：（1）“空间角”是通过“平面角”来定义的（2）“空间角”的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理”为简便，点O常取在两条异面直线中的一条上（3）异面直线所成角的范围是0°90°（4）异面直线垂直的意义今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线2. 对于问题2，学生讨论，可以发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值此时，我们就说BC的长度就是AB和D1C的距离引导学生观察、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段强调：（1）“垂直”与“相交”同时成立（2）公垂线段的长度定义为异面直线间的距离五、解释应用例题1. 如图，点D是ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线注：主要考查异面直线的定义，这里可考虑用反证法证明要让学生体会用反证法的缘由2. 已知：如图，已知正方体ABCDABCD（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？（2）直线BA和CC的夹角是多少？（3）哪些棱所在直线与直线AA垂直？（4）直线BB与DC间距离是多少？注：主要是理解、巩固有关异面直线的一些基本概念解题格式要规范，合理练习1. 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？2. 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？3. 与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的？4. 已知：如图，在长方体ABCDABCD中，AB2 ，AD2，AA2（1）BC和AC所成角是多少度？（2）AA和BC所成角是多少度？（3）AA和BC所成的角和距离是多少？（4）AB与BC所成的角是多少？（5）AC与BD所成的角是多少？四、拓展延伸1. 判断异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线请给以证明2. 设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有 _ 条（无数）3. 已知异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有 _ 条（2）若a与b所成的角是60°，65°和70°呢？点评这篇案例设计思路完整，条理清晰案例首先通过直观的图形引出定义，这样有利于学生的接受然后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念探索过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法列举的例题有针对性，对知识的巩固和形成起到了很好的作用“拓展延伸”中提出的问题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力16 直线与平面平行教材分析直线与平面平行是在研究了空间直线与直线平行的基础上进行的，它是直线与直线平行的拓广，也是为今后学习平面与平面平行作准备在直线与平面的三种位置关系中，平行关系占有重要地位，是今后学习的必备知识所以直线与平面平行的判定定理和性质定理是这节的重点，难点是如何解决好直线与直线平行、直线与平面平行相互联系的问题突破难点的关键是直线与直线平行和直线与平面平行的相互转化教学目标1. 了解空间直线和平面的位置关系，理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，进一步熟悉反证法的实质及其证题步骤2. 通过探究线面平行的定义、判定、性质及其应用，进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力3. 培养学生的逻辑思维和合情推理能力，进而使其养成实事求是的学习态度任务分析这节的主要任务是直线与平面平行的判定定理、性质定理的发现与归纳，证明与应用学习时，要引导学生观察实物模型，分析生活中的实例，进而发现、归纳出数学事实，并在此基础上分析和探索定理的论证过程，区分判定定理和性质定理的条件和结论，理解定理的实质和直线与平面平行的判定在运用性质时，要引导学生完成对“过直线作平面得交线直线与直线平行”这一过程的理解和掌握教学设计一、问题情境教室内吊在半空的日光灯管、斜靠在墙边的拖把把柄，都可以看作直线的一部分，这些直线与地平面有何位置关系？二、建立模型问题一1. 空间中的直线与平面有几种位置关系？学生讨论，得出结论：直线与平面平行、直线与平面相交（学生可能说出直线与平面垂直的情况，教师可作解释）及直线在平面内2. 在上述三种位置中，直线与平面的公共点的个数各是多少？学生讨论，得出相关定义：若直线a与平面没有公共点，则称直线与平面平行，记作a若直线a与平面有且只有一个公共点，则称直线a与平面相交当直线a与平面平行或相交时均称直线a不在平面内（或称直线a在平面外）若直线a与平面有两个公共点，依据公理1，知直线a上所有点都在平面内，此时称直线a在平面内3. 如何对直线与平面的位置关系的进行分类？学生讨论，得出结论：方法1：按直线与平面公共点的个数分：探索直线与平面平行、相交的画法教师用直尺、纸板演示，引导学生说明画法1. 画直线在平面内时，要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形内部，如图16-12. 画直线与平面相交时要画出交点，如图16-23. 画直线与平面平行时，一般要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外，并使它与平行四边形的一组对边或平面内的一条直平行，如图16-3问题二1. 如何判定直线与平面平行？教师演示：（1）教师先将直尺放在黑板内，然后慢慢平移到平面外（2）观察教室的门，然后教师转动的门的一条门边给人平行于墙面的感觉学生讨论，归纳和总结，形成判定定理定理如果不在平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行已知：，求证：分析：要证明直线与平面平行，根据定义，只要证明直线与平面没有公共点，这时可考虑使用反证法证明：假设不平行于，由，得A若A，则与已知矛盾；若Ab，则a与b是异面直线，与ab矛盾所以假设不成立，故总结：此定理有三个条件，（1），（2），（3）三个条件缺少一个就不能推出这一结论此定理可归纳为“若线线平行，则线面平行”2. 当直线与平面平行时，直线与平面内的直线有什么位置关系？是否平行？教师演示：教师先让直尺平行于讲桌面，再将纸板经过直尺，慢慢绕直尺旋转使纸板与桌面相交学生讨论得出：直尺平行于纸板与桌面的交线师生共同归纳和总结，形成性质定理定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行已知：la，l，求证：lm证明：因为l，所以l，又因为，所以l，由于l，都在内，且没有公共点，所以lm总结：此定理的条件有三个：（1）l，即线面平行（2）l，即过线作面（3