林省长市高三质量监测（一）理科数学试题及答案.doc

吉林省长春市2017届高三质量监测（一）理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.已知集合，则（为自然数集）为（ ）A B C D3. 是边长为1的等比三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是（ ）A B C D4.我国南宋数学家秦九韶所著数学九章中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）A164石 B178石 C189石 D196石5.命题：“，使”，这个命题的否定是（ ）A，使 B，使C，使 D，使6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是（ ）A B C D7.已知递减等差数列中，成等比，若为数列的前项和，则的值为（ ）A-14 B-9 C-5 D-18某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ）A B C D9.已知原点到直线的距离为1，圆与直线相切，则满足条件的直线有多少条？A1条 B2条 C3条 D4条10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（ ）11.双曲线的左右焦点分别为，为右支上一点，且，则双曲线的渐近线方程是（ ）A B C D12.已知实数满足，实数满足，则的最小值为（ ）A1 B2 C3 D4第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 展开式中的常数项是 .14.动点满足，则的最小值为 .15.已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .16.如图，直角中，作的内接正方形，再做的内接正方形，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列，其前项和为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知.（1）求的单调增区间；（2）在中，为锐角且，求.18. （本小题满分12分）某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455，已知当年产量低于350时，单位售价为20元/，若当年产量不低于350而低于550时，单位售价为15元/，当年产量不低于550时，单位售价为10元/.（1）求图中的值；（2）试估计年销售额的期望是多少？19. （本小题满分12分）已知四棱锥中，底面为矩形，底面，为上一点，且平面.（1）求的长度；（2）求与平面所成角的余弦值.20. （本小题满分12分）以边长为4的等比三角形的顶点以及边的中点为左、右焦点的椭圆过两点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点且轴不垂直的直线交椭圆于两点，求证直线与的交点在一条直线上.21. （本小题满分12分）已知函数，当时，与的图象在处的切线相同.（1）求的值；（2）令，若存在零点，求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，为圆上一点，点在直线的延长线上，过点作圆的切线交的延长线于点，.（1）证明：；（2）若，求圆的半径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）曲线的极坐标方程为，求与的公共点的极坐标.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若，求的最大值.长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. D4. C5. B6. C7. A 8. C9. C10. D11. B12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的实部和虚部运算与复数与平面内点的对应关系. 【试题解析】B题意可知，则，对应的点在第二象限. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】C 由已知，则，故选C. 3. 【命题意图】本题考查平面向量的几何表示中的加、减、数乘、数量积运算.【试题解析】D由已知，的边长为1，所以，则，因为，故选D.4. 【命题意图】本题主要抽样中的用样本去估计总体.【试题解析】C 由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为，则由此估计总体中谷的含量约为石. 故选C.5. 【命题意图】本题是对逻辑问题中的特称命题的否定进行考察. 【试题解析】B由已知，命题的否定为，故选B. 6. 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【试题解析】C有已知，符合条件输出，故选C. 7. 【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的基本量的求取. 【试题解析】A由已知，即，且为递减数列，则.有，故选A. 8. 【命题意图】本题主要考查三视图的还原，还涉及体积的求取. 【试题解析】C由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为，故选C. 9. 【命题意图】本题主要考查相离两圆的公切线的相关知识. 【试题解析】C由已知，直线满足到原点的距离为，到点的距离为，满足条件的直线即为圆和圆的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线. 故选C. 10. 【命题意图】本题背景基于经典国学故事，考查图像对函数特点的描述. 【试题解析】D 由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的定义及渐近线的相关知识. 【试题解析】B由已知，则.又因为，则，即.则渐近线方程为，故选B. 12. 【命题意图】本题是考查导数的几何意义，但因为函数隐含在里面，不容易分离出来. 【试题解析】A因为，则，即因为，则，即. 要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值. 因为，则，有，即过原点的切线方程为. 最短距离为. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题. 【试题解析】常数项为. 14. 【命题意图】本题考查线性可行域的画法及线性目标函数的最值求法. 【试题解析】由已知可得，线性可行域如图所示，则线性目标函数在点取最小值3. 15. 【命题意图】本题考查三棱锥的外接球问题，特别涉及到了三棱锥和长方体的外接球之间的关系. 【试题解析】由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则. 则到面距离的最大值为.16. 【命题意图】本题通过三角形为背景考查归纳推理及数列的相关知识，对学生的逻辑推理能力提出很高要求，是一道较难题. 【试题解析】数列an构成以为首项,以为公比的等比数列,故.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的化简以及恒等变换公式的应用，还有解三角形的内容，如正弦定理等. 【试题解析】(1) 由题可知，令，即函数的单调递增区间为，. （6分）(2) 由，所以，解得或（舍）因此. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1)由已知，即，有.（6分）（2） 由（1）结合直方图可知 当年产量为时，其年销售额为元； 当年产量为时，其年销售额为元； 当年产量为时，其年销售额为元； 当年产量为时，其年销售额为元；则估计年销售额的期望为（元）.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了线面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）如图所示建立空间直角坐标系，由已知，.令，因为，所以，则. 因为且.所以，则. 即的长为.（6分）(2)因为，则， 因为面的一个法向量，令与面成角为，则，故.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的几何意义以及标准方程，直线和椭圆的位置关系及定值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 由题意可知两焦点为与，且，因此椭圆的方程为. （4分）(2) 当不与轴重合时，设的方程为，且，联立椭圆与直线消去可得，即，设，则： ： -得则，即. 当与轴重合时，即的方程为，即，.即： ： 联立和消去可得.综上与的交点在直线上. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) 当时，则，又，所以在处的切线方程为，又因为和的图像在处的切线相同，所以. （4分）(2) 因为有零点所以即有实根. 令令则恒成立，而，所以当时，当时，. 所以当时，当时，.故在上为减函数，在上为增函数，即. 当时，当时，.根据函数的大致图像可知. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】 (1) 由已知连接，因为且公用，所以即 （5分）(2) 因为，所以因为，所以，即，则，故，所以半径是. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 曲线的普通方程为 （5分）(2)由已知，即，因为，有，则，故交点的极坐标为 （10分）24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 由于，所以. （5分）(2)由已知，有，因为（当取等号），（当取等号），所以，即，故 （10分）