广东省汕头市高一下期末数学试卷含答案解析.doc

2015-2016学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合A=x|0x2，B=x|x2+x20，则AB=（）A（0，1B1，2）C2，2）D（0，2）2sin160°cos10°+cos20°sin10°=（）ABCD3下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）Ay=x3，xRBy=sinx，xRCy=x，xRDy=（）x，xR4已知，并且=（3，x），=（7，12），则x=（）ABCD5若tan=，则cos2等于（）ABC1D6某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A10B11C12D137已知0xya1，则有（）Aloga（xy）0B0loga（xy）1C1loga（xy）2Dloga（xy）28要得到y=sin（2x+）的图象，只需将y=sin（2x）的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位9已知平面向量、满足：2|=|=|2|0，则与的夹角为（）ABCD10如果执行如图所示的框图，输入N=5，则输出的数等于（）ABCD11已知a，b均为正数，且a+b=1，则+的最小值为（）A24B25C26D2712已知xR，用A（x）表示不小于x的最小整数，如A（）=2，A（1，2）=1，若A（2x+1）=3，则x的取值范围是（）A1，）B（1，C，1）D（，1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。13高一（4）班有5位同学参加夏令营植树活动，其中男生2人，女生3人，从这5人中任意选出2人去浇水，选出的2人都是男生的概率是14已知x，y满足不等式，且函数z=2x+ya的最大值为8，则常数a的值为15已知函数f（x）=asinxcosxsin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为16定义一种运算ab=，令f（x）=（3x2+6x）（2x+3x2），则函数f（x）的最大值是三、解答题（共6小题，满分70分）17已知Sn为等差数列an的前n项和，且a1=15，S5=55（1）求数列an的通项公式；（2）若不等式Snt对于任意的nN*恒成立，求实数t的取值范围18在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足csinAacosC=0（1）求角C的大小；（2）若c=2，求ABC的面积S的最大值19从某大学一年级女生中，选取身高分别是150cm、155cm、160cm、165cm、170cm的学生各一名，其身高和体重数据如表所示：身高/cm（x）150155160165170体重/kg（y）4346495156（1）求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，计算身高为168cm时，体重的估计值为多少？ 参考公式：线性回归方程 =x+，其中=， =20设函数f（x）=ax2（a+1）x+1（1）若不等式f（x）mx的解集为x|1x2，求实数a、m的值；（2）解不等式f（x）021已知 Sn是数列an的前n项和，且Sn=2an+n4（1）求a1的值；（2）若bn=an1，试证明数列bn为等比数列；（3）求数列an的通项公式，并证明： +122对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一阶不动点，若x0满足ff（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的二阶不动点，（1）设f（x）=2x+3，求f（x）的二阶不动点（2）若f（x）是定义在区间D上的增函数，且x0为函数f（x）的二阶不动点，求证：x0也必是函数f（x）的一阶不动点；（3）设f（x）=ex+x+a，aR，若f（x）在0，1上存在二阶不动点x0，求实数a的取值范围2015-2016学年广东省汕头市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合A=x|0x2，B=x|x2+x20，则AB=（）A（0，1B1，2）C2，2）D（0，2）【考点】交集及其运算【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中不等式变形得：（x1）（x+2）0，解得：x2或x1，即B=（，21，+），A=（0，2），AB=1，2），故选：B2sin160°cos10°+cos20°sin10°=（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数；运用诱导公式化简求值【分析】由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得所给式子的值【解答】解：sin160°cos10°+cos20°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故选：C3下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）Ay=x3，xRBy=sinx，xRCy=x，xRDy=（）x，xR【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】根据奇函数的定义，幂函数和一次函数，正弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：Ay=x3在定义域R上是增函数，该选项错误；By=sinx在定义域上没有单调性，该选项错误；Cy=x是奇函数，且在定义域上为减函数，该选项错误；D.的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误故选：C4已知，并且=（3，x），=（7，12），则x=（）ABCD【考点】平面向量的坐标运算【分析】根据向量垂直得到关于x的方程，解出即可【解答】解：， =（3，x），=（7，12），21+12x=0，解得：x=，故选：A5若tan=，则cos2等于（）ABC1D【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得cos2的值【解答】解：tan=，则cos2=，故选：B6某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A10B11C12D13【考点】茎叶图【分析】利用平均数求出m的值，中位数求出n的值，解答即可【解答】解：甲组学生成绩的平均数是88，由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，m=3又乙组学生成绩的中位数是89，n=9，m+n=12故选：C7已知0xya1，则有（）Aloga（xy）0B0loga（xy）1C1loga（xy）2Dloga（xy）2【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数的性质，比较logay、logax与1的大小，可得结论【解答】解：0xya1logaxlogaa=1，logaylogaa=1loga（xy）=logax+logay2故选D8要得到y=sin（2x+）的图象，只需将y=sin（2x）的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，诱导公式，得出结论【解答】解：y=sin（2x+）=sin2（x），将y=sin（2x）的图象向右平移个单位，可得y=sin2（x）=sin（2x+）的图象，故选：D9已知平面向量、满足：2|=|=|2|0，则与的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】对条件的两边平方即可得出，这样即可求出的值，从而得出向量的夹角【解答】解：根据条件，且；与的夹角为故选：A10如果执行如图所示的框图，输入N=5，则输出的数等于（）ABCD【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出S=的值【解答】解：n=5时，k=1，S=0，第一次运行：S=0+=，k=15，第二次运行：k=1+1=2，S=，k=25，第三次运行：k=2+1=3， =，k=35，第四次运行：k=3+1=4，S=，k=45，第五次运行：k=4+1=5，S=，k=5，结束运行，输出S=故选：D11已知a，b均为正数，且a+b=1，则+的最小值为（）A24B25C26D27【考点】基本不等式【分析】运用1的代换和基本不等式即可求得+的最小值【解答】解：已知a，b均为正数，且a+b=1，+=（+）（a+b）=4+913+2=13+12=25，当且仅当2b=3a时取得等号，故+的最小值为25故选：B12已知xR，用A（x）表示不小于x的最小整数，如A（）=2，A（1，2）=1，若A（2x+1）=3，则x的取值范围是（）A1，）B（1，C，1）D（，1【考点】进行简单的合情推理【分析】由A（2x+1）=3可得22x+13，从而解得x的取值范围【解答】解：A（2x+1）=3，22x+13，解得，x（，1，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。13高一（4）班有5位同学参加夏令营植树活动，其中男生2人，女生3人，从这5人中任意选出2人去浇水，选出的2人都是男生的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求得所有的取法总数为，再求出选出的2人中都是男生的取法数是，从而求得选出的2人都是男生的概率【解答】解：由题意得，选出的2人都是男生的概率是： =；故答案为：14已知x，y满足不等式，且函数z=2x+ya的最大值为8，则常数a的值为4【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+ya得y=2x+z+a，平移直线y=2x+z+a，由图象可知当直线y=2x+z+a经过点C时，直线y=2x+z+a的截距最大，此时z最大由，解得，即C（5，2），代入目标函数z=2x+ya得z=2×5+2a=8得12a=8，则a=4，故答案为：415已知函数f（x）=asinxcosxsin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为1【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性【分析】本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a值，再求三角函数的最值【解答】解：f（x）=，是对称轴，f（0）=f（），最大值为1故答案为116定义一种运算ab=，令f（x）=（3x2+6x）（2x+3x2），则函数f（x）的最大值是4【考点】函数的最值及其几何意义【分析】运用分段函数的形式，求得f（x）的解析式，分别求得f（x）在两段上的最大值，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系【解答】解：ab=，f（x）=（3x2+6x）（2x+3x2）=，当x时，f（x）=3x2+6x=3（x+1）23，可得f（x）在x=1处取得最小值3；在x=处取得最大值；当x或x时，f（x）=x2+2x+3=（x1）2+4，当x=1时，f（x）取得最大值4综上可得，f（x）的最大值为4故答案为：4三、解答题（共6小题，满分70分）17已知Sn为等差数列an的前n项和，且a1=15，S5=55（1）求数列an的通项公式；（2）若不等式Snt对于任意的nN*恒成立，求实数t的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出（2）利用等差数列的求和公式、二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则由a1=15，得15×5+10d=55，解得d=2，an=15+（n1）2=2n17，数列an的通项公式为an=2n17（2）由（1）得，对于任意的nN*，Sn64恒成立，若不等式Snt对于任意的nN*恒成立，则只需t64，因此所求实数t的取值范围为（，64）18在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足csinAacosC=0（1）求角C的大小；（2）若c=2，求ABC的面积S的最大值【考点】正弦定理【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合sinA0，可求，结合范围0C，即可求得C的值（2）由已知及余弦定理得4=a2+b2ab，结合基本不等式可求ab4，根据三角形的面积公式即可得解【解答】解：（1），由正弦定理得，0A，sinA0，0C， （2）由余弦定理得c2=a2+b22abcosC，又c=2，4=a2+b2ab，a0，b0，ab+4=a2+b22ab，ab4，当且仅当a=b=2时等号成立，当且仅当a=b=2时等号成立，ABC的面积S的最大值为 19从某大学一年级女生中，选取身高分别是150cm、155cm、160cm、165cm、170cm的学生各一名，其身高和体重数据如表所示：身高/cm（x）150155160165170体重/kg（y）4346495156（1）求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，计算身高为168cm时，体重的估计值为多少？ 参考公式：线性回归方程 =x+，其中=， =【考点】线性回归方程【分析】（1）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；（2）由回归直线方程，计算当x=168cm时，即可求得体重的估计值【解答】解：（1）由已知数据，可得，（5149）+（5649）=155，y关于x的线性回归方程为y=0.62x50.2，（2）由（1）知，当x=168时，（kg）因此，当身高为168cm时，体重的估计值为53.96kg 20设函数f（x）=ax2（a+1）x+1（1）若不等式f（x）mx的解集为x|1x2，求实数a、m的值；（2）解不等式f（x）0【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求出实数a、m的值；（2）不等式化为（ax1）（x1）0，讨论a=0和a0、a0时，求出不等式f（x）0的解集即可【解答】解：（1）f（x）=ax2（a+1）x+1，不等式f（x）mx等价于ax2（a+m+1）x+10，依题意知不等式ax2（a+m+1）x+10的解集为x|1x2，a0且1和2为方程ax2（a+m+1）x+1=0的两根，解得，实数a、m的值分别为a=1、m=0，（2）不等式f（x）0可化为（ax1）（x1）0，（）当a=0时，不等式f（x）0等价于x+10，解得x1，故原不等式的解集为x|x1，（）当a0时，不等式f（x）0等价于，当0a1时，不等式的解集为，即原不等式的解集为，当a=1时，不等式的解集为，即原不等式的解集为，当a1时，不等式的解集为，即原不等式的解集为，（）当a0时，不等式f（x）0等价于，a0，不等式的解集为x|x或x1，即原不等式的解集为x|x或x1，综上所述，当a1时不等式f（x）0的解集为，当a=1时不等式f（x）0的解集为，当0a1时不等式f（x）0的解集为，当a=0时不等式f（x）0的解集为x|x1，当a0时不等式f（x）0的解集为为x|x或x1 21已知 Sn是数列an的前n项和，且Sn=2an+n4（1）求a1的值；（2）若bn=an1，试证明数列bn为等比数列；（3）求数列an的通项公式，并证明： +1【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定【分析】（1）直接令n=1代入计算即可；（2）通过Sn=2an+n4与Sn1=2an1+n5作差、变形可知an=2an1，进而整理即得结论；（3）通过（2）放缩可知，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论【解答】（1）解：Sn=2an+n4，a1=S1=2a1+14，即a1=3；（2）证明：Sn=2an+n4，当n2时，Sn1=2an1+n5，两式相减得：an=2an2an1+1，即an=2an1，变形，得：an1=2（an11），由（1）可知b1=a11=2，故数列bn是首项、公比均为2的等比数列；（3）证明：由（2）可知an=2n+1，=，+=122对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一阶不动点，若x0满足ff（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的二阶不动点，（1）设f（x）=2x+3，求f（x）的二阶不动点（2）若f（x）是定义在区间D上的增函数，且x0为函数f（x）的二阶不动点，求证：x0也必是函数f（x）的一阶不动点；（3）设f（x）=ex+x+a，aR，若f（x）在0，1上存在二阶不动点x0，求实数a的取值范围【考点】函数与方程的综合运用；函数的值【分析】（1）若f（x）=2x+3，则ff（x）=4x+9，由ff（x）=x，能求出函数f（x）=2x+3的二阶不动点（2）由题意ff（x0=x0，记f（x0）=t，则f（t）=x0，若tx0，与假设tx0相矛盾；若tx0，与假设tx0相矛盾；从而f（x0）=x0，由此能证明x0也必是函数f（x）的一阶不动点（3）函数f（x）=ex+x+a在R上单调递增，若f（x）在0，1上存在二阶不动点x0，则f（x）在0，1上也必存在一阶不动点x0；推导出方程ex+x+a=x在0，1上有解，由此能出a的取值范围【解答】解：（1）若f（x）=2x+3，则ff（x）=2（2x+3）+3=4x+9，由ff（x）=x，得4x+9=x，解得x=3，函数f（x）=2x+3的二阶不动点为x=3，证明：（2）x0是函数f（x）的二阶不动点，ff（x0=x0，记f（x0）=t，则f（t）=x0，若tx0，则由f（x）在区间D上为增函数，有f（t）f（x0），即x0t，这与假设tx0相矛盾；若tx0，则由f（x）在区间D上为增函数，有f（t）f（x0），即x0t，这与假设tx0相矛盾；t=x0，即f（x0）=x0，x0是函数f（x）的一阶不动点，命题得证； 解：（3）函数f（x）=ex+x+a在R上单调递增，则由（2）可知，若f（x）在0，1上存在二阶不动点x0，则f（x）在0，1上也必存在一阶不动点x0；反之，若f（x）在0，1上存在一阶不动点x0，即f（x0）=x0，那么ff（x0=f（x0）=x0，故f（x）在0，1上也存在二阶不动点x0所以函数f（x）在0，1上存在二阶不动点x0等价于f（x）=x在0，1上有解，即方程ex+x+a=x在0，1上有解，a=ex在0，1上有解，由x0，1可得ex1，e，exe，1，a的取值范围是e，1 2016年8月1日