北京市东城区高三下学期综合练习（二）文科数学试题及答案.doc

东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学（文科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：n个数据，的平均数是，这组数据的方差，由以下公式计算： 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合，集合，则=（A） （B） （C） （D）（2）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限开始输入是否输入结束（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的值为（A）或 （B）或 （C）或 （D）或 （4）设等差数列的前项和为，若，则的值是 （A） （B） （C） （D）（5）已知，那么的值是（A） （B） （C） （D）（6）已知函数在0，+上是增函数，若则的取值范围是（A） （B） （C） （D）（7）已知点，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是（A） （B） （C） （D）（8）对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）函数的定义域是 （10）已知平面向量，且，则 （11）在区间上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_（12）已知数列的前项和为,且对任意,有，则 ； （13）过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是 （14）在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），若，则满足条件的点的个数为_；若满足的点的个数为，则的取值范围是_ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数.（）求的值；（）当时，求函数的最大值和最小值（16）（本小题共13分）汽车的碳排放量比较大，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km） 经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为() 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？() 求表中的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性（17）（本小题共14分）EADACABAPAA如图，在三棱锥中，°，平面平面，分别为，中点（）求证：平面；（）求证：；（）求三棱锥的体积.（18）（本小题共13分）已知，函数，（）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；（）设，若对任意的，且，都有，求的取值范围（19）（本小题共13分）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为 （）求椭圆方程；（）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，求面积的最大值. （20）（本小题共14分）设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）（）求，；（）若，求证：；（）求证：存在，使得东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （3）C （4）C（5）B （6）D （7）A （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13） （14） 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分 三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（） 所以 7分（）当时，所以，当时，即时，函数取得最小值；当时，即时，函数取得最大值13分（16）（共13分）解：（）从被检测的辆甲品牌的轻型汽车中任取辆，共有种不同的二氧化碳排放量结果：，设“至少有一辆二氧化碳排放量超过”为事件，则事件包含以下种不同的结果：，所以 即至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率为6分（）由题可知，所以，解得 ，因为 所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好13分EADACABAPAA（17）（共14分）解：（）因为，分别为，中点，所以，又平面，平面， 所以平面. 4分（）连结，因为，又°，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 9分 （）因为平面平面， 有， 所以平面，所以. 14分 （18）（共13分）解：（），依题意有， 可得，解得，或 分（）不妨设，则等价于，即设，则对任意的，且，都有，等价于在是增函数，可得，依题意有，对任意，有由，可得13分（19）（共13分）解（）依题意有， 可得，故椭圆方程为 分（）直线的方程为联立方程组消去并整理得 （*）设，故，不妨设，显然均小于则， 等号成立时，可得，此时方程（*）为 ，满足所以面积的最大值为 13分（20）（共14分）解：（）； 5分（）假设是一个位数（），那么可以设，其中且（），且由可得， 所以因为，所以而，所以，即 9分（）由（）可知当时， 同理当时， 若不存在，使得则对任意的，有，总有则，可得取，则，与矛盾存在，使得 14分