东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测(二)数学(理科)试题及答案.doc

2016年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数 学（理科）沈阳命题：沈阳市第四中学 吴 哲 沈阳市第二十中学 何运亮沈阳市第二十七中学李刚 沈阳市第五十六中学高文珍沈阳市第二十中学 王 艳 沈阳市第三十一中学李曙光沈阳主审：沈阳市教育研究院 周善富 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第22题第24题为选考题，其它题为必考题 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第卷一选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则=（ ） A. B. C. 2 D. 44. 已知函数，则=（  ） A4 B C-4 D5. 已知，且，则的概率（ ） A. B C D. 6. 已知，为第一象限角，则的值为（ ）A. B. C. D.7. 如图，在长方体中，点P是棱上一点，则三棱锥的左视图可能为（） 否是i=i+1把a的右数第i位的数字赋给ti=1b=0开始输出b输入a i>6结束 A B C D 主视方向8. 将函数的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称，则函数在上的最小值为（ ）A. B. C. D. 9. 见右侧程序框图，若输入，则输出结果是（ ）A. 51 B. 49 C. 47 D. 4510. 已知点是双曲线： 的右焦点，以为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为，且与双曲线的实轴垂直，则双曲线离心率是（） A. B. C. D. 211. 在中，是中点，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形12.偶函数定义在上，且，当时，总有 恒成立，则不等式 的解集为（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上）13. 已知实数满足，则的最大值为 .14. 在椭圆上有两个动点，若为定点，且，则的最小值为 .15. 已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为 .16.设是一个非空集合，是定义在上的一个运算.如果同时满足下述四个条件：（）对于，都有；（）对于，都有；（iii）对于，使得；（iv）对于，使得（注：“”同（iii）中的“”）.则称关于运算构成一个群.现给出下列集合和运算：是整数集合，为加法；是奇数集合，为乘法；是平面向量集合，为数量积运算；是非零复数集合，为乘法. 其中关于运算构成群的序号是_（将你认为正确的序号都写上）.三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)已知数列满足.（I）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（II）令，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：男女7155789998161845298356170275461241801119男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”（I）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；（II）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；（III）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用表示其中男生的人数，写出的分布列，并求的数学期望19、（本小题满分12分）如图（1），在等腰梯形中，分别为和的中点，且，为中点，现将梯形沿所在直线折起，使平面平面，如图（2）所示，是线段上一动点，且.（）当时，求证：平面；（）当时，求二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设. （I）求点的轨迹的方程； （II）设点，过的直线交轨迹于两点，设直线的斜率分别为，求的最小值.21. (本小题满分12分)已知函数，.（I）若函数存在单调减区间，求实数的取值范围；（II）若，证明：，总有.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲已知四边形为的内接四边形且，其对角线与相交于点，过点作的切线交的延长线于点.（）求证：；（）若，求证：. 23.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上. （I）若直线与曲线交于两点，求的值； （）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值.24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知使得关于的不等式成立(I)求满足条件的实数的集合；()若，且对于，不等式恒成立，试求的最小值.2016年沈阳市高三教学质量监测（二） 数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一选择题1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.B一选择题1.解：集合B化简为，依题可见选B.2.解：依题，从而，于是，选C.3.解：由，或用坐标法直接计算，选B.4.解：由题，选B. 5.解：由题基本事件空间中的元素有：，满足题意的有，所以选B.6.解：由题，所以，所以选C.7.解：在长方体中, 三棱锥的左视图中，、的射影分别是、.所以选D.8.解：由题依题，所以.这样又，所以，选D .9.解：A.10.解：由题，所以，即离心率为，选C.11.解：如图，因为，所以，ABCD在与中，由正弦定理得，所以，即，所以，从而或，于是或.选D.12解：因为是偶函数，它的图象关于纵轴对称，所以不等式的解集也应是对称的，所以D排除；当时，总有恒成立，即成立，也就是恒成立，又因为，所以，所以即是恒成立，可见函数在上单调递增，又因为函数是偶函数，所以函数是偶函数，所以在上单调递减。又，所以，所以的图象如下：xyo-11所以在时，而，所以成立而在时，而，所以,又由函数的图象对称性可知，选B.二.填空题:13. 4 14. 15. 16.13.解析：14. 解：因为，所以由向量数量积的几何意义可知：，又因为点M在椭圆上，则，带入上式，得，当时，取得最小值.15. 解：如图所示，设为外接球球心，三棱柱的高为，则由题意可知， ，此时三棱柱的体积为，其中. 令，则，令，则，当时，函数增，当时，函数减.故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为.16.解： 若是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（）整数加法满足结合律；（iii） ,则；（iv），在整数集合中存在唯一一个，使；故整数集合关于运算构成一个群；是奇数集合，为乘法，则,不满足（iv）；是平面向量集合，为数量积运算, 则不满足（i）;是非零复数集合，为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（）非零复数相乘符合结合律；（iii） ,则；（iv），在中存在唯一一个，使.三.解答题17.解：(I)由知，2分所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 4分则，. 6分（II）， 设数列的前项和为，则， 10分当时，；当时，；所以. 12分18.解：（I）五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为cm2分（II）设 “仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率为P，则PP（A）+P（B），又男生共12人，其中有8人合格，从而， .4分，所以. 6分（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，的取值为0,1,2.则，(每项1分)10分因此，的分布列如下：012P（人）（未化简不扣分）12分（或是，因为服从超几何分布，所以（人）19.解：（）过点作于点，过点作于点，连接. 由题意， ，2分且，4分又，则，即，可知且平面，则平面. 6分（）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系. 由题意，平面的法向量为平面的法向量，即，8分在平面中，即，10分则，又由图可知二面角的平面角是锐角，所以二面角的大小的余弦值为.12分20.解：（I）设点，则由，得，因为点在抛物线上，所以，. 4分（II）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，则联立，得，由韦达定理，得. 6分当直线经过点即或时， 当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率， 则 ，此时；同理，当点与点重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）直线不经过点即且时， 8分， 10分故，所以的最小值为1. 12分方法二：同上，8分 10分所以的最小值为1. 12分方法三：设点，由直线过交轨迹于两点得:,化简整理得:8分. 10分而 12分21.解：（I）由已知，得2分因为函数存在单调减区间，所以方程有解.而恒成立，即有解， 所以.又，所以，. 5分(II)因为，所以，所以.因为，所以又对于任意，.6分要证原不等式成立，只要证，只要证，对于任意上恒成立. 8分设函数，则，当时，即在上是减函数，当时，即在上是增函数，所以,在上，所以.所以，（当且仅当时上式取等号）10分设函数，则，当时，即在上是减函数，当时，即在上是增函数，所以在上，所以，即，（当且仅当时上式取等号）.综上所述，因为不可能同时取等号所以，在上恒成立，所以，总有成立. 12分22. 解：（）由可知，2分由角分线定理可知，即得证. 5分（）由，可知，又，所以，所以. 8分所以（内错角），又（线切角），所以，所以. 10分23.解：(I)直线的参数方程是（），3分代入椭圆方程得，所以=2. 5分()设椭圆的内接矩形的顶点为，8分所以椭圆的内接矩形的周长为=当时，即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值16.10分24.解：(I), 3分所以，所以的取值范围为.5分()由(I)知，对于，不等式恒成立，只需,所以，7分又因为，所以.又，所以，所以，所以，即的最小值为6.10分