线性代数教学案例编写及实例研究毕业论文.doc

线性代数教学案例编写及实例研究摘 要线性代数是高等院校理工科及经济学科各专业均开设的一门重要的基础课程，随着计算机技术的迅速发展，线性代数在理论和应用层面上越来越显示其重要作用；它也是学习力学、运筹学、计算数学、离散数学、数学建模等后续课程的必要基础。由于该课程的抽象性，在该课程的教学实践中，需要通过精心编写课堂中的教学案例与现实生活中的实例来提炼相关概念，并用理论解决实际问题。本文首先对线性代数的历史追溯，阐明线性代数主要由三个基本计算单元构成的，即：向量（组）、矩阵、行列式。其次，研究线性代数在各学科领域以及在学习研究中的作用。再者，就是编写课堂教学案例和线性代数的实际运用，对所编写的教学案例进行分析，阐明编写的缘由。最后，是探讨案例教学与能力的培养的关系，以及积极关注教学案例研究对教与学的促进作用。 关键词：线性代数；教学案例；实例研究；行列式；矩阵Teaching case writing and living examples study of Linear Algebra Abstract Linear Algebra and economic disciplines of science and engineering institutions of higher learning are the professional opened an important foundation courses, with the rapid development of computer technology, linear algebra in the theory and application level has increasingly shown its important role; it is also learn mechanics, operations research, computational mathematics, discrete mathematics, mathematical modeling and other necessary basis for follow-up courses. Since the course abstraction, in the course of teaching practice, need well-written classroom teaching cases and real life examples to refine the concepts and use theory to solve practical problems. This article first traced the history of linear algebra, linear algebra consists of three main clarify basic computational unit consisting of, namely: vector (group), matrix, determinant. Secondly, the study of linear algebra in various subject areas as well as the role of research in the study. Furthermore, is the preparation of teaching cases and the practical application of linear algebra, for the preparation of teaching case analysis to clarify the reason for writing. Finally, the case study is to explore the relationship and ability, as well as an active interest in teaching case studies on teaching and learning role in promoting.Keywords linear algebra;teaching case;study examples;matrix;determinant 目 录第1章 绪论11.1本论文的背景和意义11.2 本论文的主要方法和研究进展11.2本论文的主要研究内容与预期目标2第2章 线性代数的发展历程32.1线性代数概述32.2 行列式的发展32.3矩阵的发展4第3章 线性代数的作用53.1线性代数在各学科领域中的作用53.2线性代数在学习研究中的作用5第4章 线性代数的教学案例与实例研究74.1线性代数课堂教学中的案例74.1.1解线性方程组74.1.2矩阵的逆9 4.1.3 行列式的性质.10 4.1.4 特征方程.11 4.1.5 最小二乘问题.144.2线性代数在生活中的实例154.1.6Euler的四面体问题154.1.7企业投入产出分析模型17 4.1.8 生物上基因间“距离”的表示.19 4.1.9 剑桥食谱.20 第5章 教学案例编写的方法思路235.1学会利用初等数学的知识编写教学案例23 5.2 利用趣味性案例教学.235.3利用应用型案例教学24结 论25致 谢26参 考 文 献27附录A 译文28附录B 外文原文30第1章 绪论1.1 本论文的背景和意义背景：线性代数是高等院校理工科及经济学科各专业均开设的一门重要的基础课程，随着计算机技术的迅速发展，线性代数在理论和应用层面上越来越显示其重要作用；它也是学习力学、运筹学、计算数学、离散数学、数学建模等后续课程的必要基础。在教学改革后，由于授课时间的减少，加之该课程本身具有较强的抽象性、逻辑性，很多学生陷入了“上课似懂非懂，课后解题却不知如何让下手，考试更是无所适从”的困境。抽象的理论与繁琐的计算让学生感觉不到线性代数的理论体系存在的实际意义，也就激发不了学生学习这门课程的兴趣。而数学原本源于实际问题，何不从实际问题讲起，因此在教学中我们必须考虑到这种因素，尽可能地列举一些典型的应用实例，让学生感觉到学有所用，同时有助于强化学生的应用意识，培养学生的应用能力。为了让学生能够更好地理解线性代数中的各类题型，帮助学生更好的学习后续课程，对于教学方面进行研究，主要涉及如何编写高效的教学案例，分析已有的教学案例，提出改进措施。意义：无论解决哪一个数学难题，在其过程中都必将推动数学的发展，以至于可能导致新的数学门类或分支的创立。本课题的最直接的研究意义是提高线性代数的教学质量，帮助学生掌握并达到线性代数课程的教学基本要求，更轻松的学习数学，让教师更好地教，学生更易接受，达到“知其然，更知其所以然”。当然，也会存在其它的研究意义，例如，顺利拿到学位、继续深造、考研、提高自己的科研能力、毕业后找个好工作等等，这些都需要学好线性代数的相关知识。1.2 本论文的主要方法和研究进展 1. 查阅有关资料；（3月4日3月15日） 主要是借阅图书馆的相关书籍，外加指导老师以及任课教师的相关资 料，还有在电子图书馆下载相关文档。2. 分析并整理资料；（3月18日 4月8日） 首先挑选出有利用价值的资料，删除用不到的书籍，以减少干扰，并 进一步寻找相关资料以充实自己的资料库。 3. 对资料进行汇总；（4月10日 4月22日） 把挑选出的资料进行分类处理，因为本文框架主要有三个部分，线性 代数在工科中作用、经典教学案例与能力培养，所以主要把资料分成两类， 一是案例方面的，二是作用与意义方面的。 4. 开始写论文；（4月25日 5月24日） 开始论文写作，并定期向指导老师汇报论文进程，交流论文相关事宜。 5. 修改论文。（5月27日 6月7日）1.3 主要研究内容与预期目标本课题通过对线性代数案例教学的历史回顾和进展追索，加深对所研究问题的了解，更好的将大课题分几个成子课题进行研究。研究内容：首先，通过分析线性代数在工科中的作用，以积极关注如何进行线性代数的教与学的问题，激发数学教学与学习研究兴趣。再者，通过对历史回顾，寻求线性代数的经典教学案例，分析教学案例编写的原则以及案例教学的效果。列举出一些典型的教学案例，并对每个列举的教学案例进行分析，分析案例是如何进行教课，学生如何理解去学习的，以及这样的案例教学与普通教学的差异性。在列举了若干前人经验总结的教学案例之后，自己结合自己的学习情境，或分析现实生活中他人的学习情境，编写一个切合实际并能对教与学产生积极作用的教学案例。我们知道，教学旨在教学生学会学习的技能，也就是教会学生如何去学，所以在教学中我们会十分重视学生的能力培养。所以，最后，将探讨案例教学与能力的培养的关系，以及积极关注教学案例研究对教与学的促进作用。第2章 线性代数的发展历程2.1 线性代数概述代数起源于人们对未知量的探索，由于我们要研究的事物是关联着多个因素的量所引起的，那我们需要考虑多元函数。如果我们所研究的关联性是线性的，那么我们就称这个问题是线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。了解线性代数的人都知道，线性代数由三个基本计算单元构成的，即：向量（组）、矩阵、行列式。线性代数是研究它们的性质和相关定理，能够求解线性方程组，实现行列式与矩阵计算，构建向量空间和欧式空间。线性代数常用的研究方法是构造法和代数法，基本思想是化简（降解）和同构变换。经过不断地探索与研究，我们知道线性代数可以分为几个分支，其中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪就受到很大的注意，而且学者们留下了成千篇关于这两个课题的文章。2.2 行列式的发展行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家莱布尼茨，他是微积分学奠基人之一。1750年克莱姆（Cramer）在他的线性代数分析导言一书中发表了求解线性系统方程的重要公式，即人们所熟悉的Cramer克莱姆法则。1764年，Bezout把确定行列式展开后每一项的符号系统化了。对所给的含有n个未知量的n次线性方程组，Bezout证明了行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde第一个对行列式理论（行列式理论与线性方程组求解相分离）进行系统的阐述，并且给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式，他是行列式理论研究的奠基人。Laplace在1772年的论文对积分和世界体系的探讨中，证明了Vandermonde的一些规则，并将他展开行列式的方法加以推广。德国数学家雅可比（Jacobi）在1841年总结出行列式的系统理论。另外，法国最伟大的数学大家柯西（Cauchy），在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，同时还发现了两行列式相乘的公式以及改进并证明了Laplace的展开定理。2.3 矩阵的发展相对而言，最早利用矩阵概念的拉格朗日（Lagrange）在1700年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法是著名的拉格朗日迭代法。高斯（Gauss）大约在1800年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。1848年英格兰的J.J.Sylvester首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。1855年Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换ST的系数矩阵变为S和矩阵T的乘积，他还研究了包括矩阵的逆在内的代数问题。著名的Cayley-Hamilton理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是有Cayley在1858年在他的矩阵理论文集中提出的。数学家Cauchy首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；研究了代换理论，数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。Hermann Grassmann在他的线性扩张论一书中提出不可交换向量积的向量代数，1844年他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是简单矩阵。在19世纪末美国数学物理学家Willard Gibbs发表了关于向量分析基础的著名论述。我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生物的概念能对新的思想领域提供钥匙，并且这两个概念是物理上高度有用的工具。第3章 线性代数的作用线性代数是大学最重要的数学基础课之一。随着计算机技术的迅速发展，线性代数在理论和应用层面上越来越显示其重要作用，对于学习其他后续课程的有着不可或缺的作用。3.1 线性代数在各学科领域中的应用1、 线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有着各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。2、 向量空间是现代数学的一个重要课题，因而线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中，通过解析几何，线性代数得以被具体表示。3、 线性代数的理论已被泛化为算子理论，由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数广泛地应用于自然科学和社会科学中。4、 在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算进辅助设计、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。5、 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及线性变换理论的一门学科。6、 在研究线性方程组，因式化简、方程求根、高维几何、多元积分方面都有广泛的应用。7、 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的联系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。8、 线性代数广泛应用于数学的各个分支以及物理、化学和科学技术中。如：线性代数在“人口模型”、“马尔可夫链”、“投入产出数学模型”、“图的邻接矩阵”等方面有着广泛的应用。3.2 线性代数在学习研究中的作用1、 想要顺利拿到学位，线性代数的学分对你有帮助。2、 想要继续深造、考研，必须学好线性代数。因为线性代数是必考科目，也是研究生科目矩阵论、泛函分析的基础。3、 想要提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流抛弃，也必须学好，因为瑞典的L.戈丁说过，没有掌握线性代数的人简直就是文盲。毕业后想找个好工作，也要学好线性代数：搞数学、搞电子工程、进行IC集成电路设计、搞光电及射频工程、想搞软件工程、想搞图像处理、想搞经济研究、想当领导（要会运筹学）等等，都离不开线性代数的应用。第4章 线性代数的教学案例与实例研究4.1 线性代数课堂教学中的案例线性代数是高等院校理工科及经济学科各专业均开设的一门重要的基础课程，是学习力学、运筹学、计算数学、离散数学、数学建模等后续课程的必要基础。但是在教学改革后，由于授课时间的减少，加之该课程本身具有较强的抽象性、逻辑性，很多学生陷入了“上课似懂非懂，课后解题却不知如何让下手，考试更是无所适从”的困境。由于课堂时间的紧凑，课堂中教师几乎把所有的时间用于概念的讲解、定义的剖析、定理的证明，而具体例题的讲解则涉及的少之又少。所以我觉得有必要在课堂教学中穿插个别典型的例题，让学生切实体会运用定理性质等解决数学问题。下面我挑选几个大学线性代数考试、考研、学术研究中几个知识点编写几个课堂教学中的例题。4.1.1 解线性方程组 求解方程组 解：我们在消去未知数的同时用方程组与相应的矩阵形式表示出来以便比较。 1 -2 1 0 0 2 -8 8 -4 5 9 -9保留第一个方程组中的，把其他方程组中的消去。为此，把第1个方程乘以4，加到第3个方程组上。熟练之后可以通过心算完成： 把原来的第三个方程用所得新方程代替： 1 -2 1 0 0 2 -8 8 0 -3 13 -9其次，把方程2乘以，使的系数变成1。 1 -2 1 0 0 1 -4 4 0 -3 13 -9利用方程2中的项消去方程3中的项，用心算计算如下： 所得的新方程组有三角形形状： 1 -2 1 0 0 1 -4 4 0 0 1 3 现在我们想消去第一个方程中的项，不过先利用方程3消去第一个方程中的项和第二个方程中的项更为有效。这两个运算如下： 这两次变换的结果如下： 1 -2 0 -3 0 1 0 16 0 0 1 3现在，在的一列中只剩下一项，我们回头来消去第一个方程中的项。把方程2的2倍加到方程1，得到方程组： 我们已经得出结果：原方程组的唯一解是（29,16,3），我们做了这么多计算，最好还是检验一下结果。为证明（29,16,3）是方程组的解，把这些值代入原方程组的左边： （29）-2（16）+（3）=29-32+3=0 2（16）-8（3）=32-24=8 -4（29）+5（16）+9（3）=-116+80+27=-9结果与原方程组右边相同，所以（29,16,3）是原方程组的解。分析：本例题通过简化线性方程组以及将每一步得到的线性方程组所对应的矩阵一并表示出来，在解方程组的同时也教会了学生如何化简矩阵，相继也可以的到后续行列式的化简性质。这种例题还可以稍作变形，即判断一个所给的线性方程组是否有解、确定方程组是否相容、几条直线交点等问题，这些问题的解决也是通过上述例题的方法来实施的，也就是通过线性方程组的系数矩阵的增广矩阵的一系列变型得到最终结果的。所以，教师在讲解线性方程组的时候，应该对于该类型的题目进行讲解，以便更好的学习后续内容。4.1.2 矩阵的逆 解：有detA=3（6）-4（5）=-20，因此A可逆且 因为BI，由定理7可知B可逆，且 最好将答案验证一下： 因B可逆，不必验证。分析：这个例题中涵盖了两类矩阵逆的求法，对于A，其实两种方法都适用，但我们往往会选择简便不易出错的方法1来解答。对于B，我们不能用方法1来解，需要通过矩阵的行列变换来实现。根据这个例题，可涉及的题目有：判断矩阵可逆性、求矩阵的逆、矩阵的乘法、运用逆矩阵解线性方程组以及后续学习对称矩阵的对角化都是有帮助的。所以学好矩阵的相关问题是必不可少的，也是十分重要的。4.1.3 行列式的性质 解：为化简计算，设法使左上角为1，可将第一行与第4行交换，也可由第1行提出因子2,再对第1行做行倍加： 然后，可再从第3行中提出2，或利用第2列中的3作为一个主元。此处，我们用后者，将第2行的4倍加到第3行： 最后，将倍的第3行加到第4行，再计算这个“三角形”行列式得： 分析：行列式是线性代数中的一大模块，会计算行列式是解决线性代数各类题目的重要途径。在计算这类问题时，涉及到行列式的变换性质，这与前述提到的矩阵运算有大大的区别，但这也为后续运用克拉默法则解决线性方程组作好铺垫。在1750年，瑞士数学家克拉默写了一篇文章指出行列式在解析几何中很有用处。所以线性代数中对于行列式的学习是十分重视的，因为对后续学习解析几何或者其他数学课程是密不可分的。4.1.4 特征方程 解：(1)写出并利用定理3：A是矩阵，若A是三角矩阵，那么detA是A主对角线元素的乘积。 特征方程是 或 展开乘积，特征方程也可以写为 (2) 根据上述特征方程 或 知A的特征值为。 当时，由 取=1，则，得基础解系 所以，是对应于的全部特征向量。 当时，由 得，取，得基础解系 当时，由 特征向量。分析：行列式的特征方程是在学习了特征向量和特征值得基础上学习的，学习特征方程一方面是对矩阵特征向量与特征值的进一步研究；另一方面也为计算行列式寻求了另一种途径；再者，是学习的的重要知识。本例题不仅涉及特征方程的知识，而且教会学生对于多阶矩阵的特征值，特别是特征向量的求解。在线性代数的学习中，特征方程、特征值是一个重要的考点，而矩阵的特征向量求起来也不是很简单，同时，这和线性方程组的求解也是有些相关联的，所以，定理的讲解配以综合的例题，切实让学生掌握求解的技巧。4.1.5 最小二乘问题 求不相容方程AX=b的最小二乘解，其中 那么方程变成 行变换可以用于解此方程组，但由于是可逆矩阵，很快计算得到 那么可解得如下： 分析： 虽然最小二乘问题在线性代数中没有过度的重视，但是，在测绘学，大地测量学有着必不可少的作用。实际上，在理工科的数学分析、运筹学、计算方法（Mtable）等学科中有着广泛的应用。所以，可稍作提示语讲解，以便后续课程的学习。4.2 线性代数在生活中的实例研究 线性代数的思想已经渗透到数学的每一个分支。当我们研究多变量函数及其微分时，向量和矩阵便成为必不可少的工具。有些复杂的问题，看起来捉摸不定，但如果运用线性代数的方法来描述，则可以使问题的表达极为简洁，并且使问题实质的刻画更为深刻。下面将以线性代数作为主要工具，研究来自现实生活中的实例。4.2.1 Euler的四面体问题问题 ： 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A，B，C三点的坐标分别为（a1,b1,c1）,( a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并设四面体O-ABC的六条棱长分别为由立体几何知道，该四面体的体积V等于以向量组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V6的.而于是得 将上式平方，得根据向量的数量积的坐标表示，有于是 （2.1）由余弦定理，可行同理将以上各式代入（2.1）式，得 （2.2）这就是Euler的四面体体积公式. 分析：这是属于几何问题，对于求四面体的体积问题，通过几何或者数学分析中的积分是可以求的，但是那样求起来比较繁琐，而且对于不同的题目，求法不一样。但是通过线性代数将其转化为代数问题，我们将其作为公式记忆（如初中对三角形面积的记忆），从而遇到一类问题都可以套用公式，简便准确节省时间。其中，公式的探究过程涉及到了行列式表示与计算问题，是线性代数的一大应用问题。4.2.2 企业投入产出分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x1为煤矿本周内的总产值，x2为电厂本周的总产值，x3为铁路本周内的总产值，则 （7.1）即即矩阵A称为直接消耗矩阵，X称为产出向量，Y称为需求向量，则方程组（7.1）为即， （7.2）其中矩阵E为单位矩阵，（E-A）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设D=（1，1，1）C.矩阵B称为完全消耗矩阵，它与矩阵A一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D称为总投入向量，它的元素是矩阵C的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C，向量Y，X和D，可得投入产出分析表7.1. 表7.1 投入产出分析表 单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿电厂铁路总投入计算求解 按（7.2）式解方程组可得产出向量X，于是可计算矩阵C和向量D，计算结果如表7.2. 表7.2 投入产出计算结果 单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿036505.9615581.5150000102087.48电厂25521.872808.152833.002500056163.02铁路25521.872808.150028330.02总投入51043.7442122.2718414.52 分析：这是关于生产中的资金分配问题，在实际生活生产中，类似的还有机器分配、原料分配、运输车辆选择、路线的选择等问题的研究。往往涉及的不仅仅是经济领域，还涉及到管理层次。这个例题中涉及线性代数中的线性方程组问题、矩阵运算、非奇异矩阵等问题。线性代数在数学建模中的应用是广泛的，这仅仅是一类问题，同时这些思想在运筹学中也是大大有用的。4.2.3 生物上基因间“距离”的表示在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B，O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。表1.1基因的相对频率爱斯基摩人f1i班图人f2i英国人f3i朝鲜人f4iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合计1.0001.0001.0001.000问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。解 有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记.由于对这四种群体的每一种有，所以我们得到.这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上.现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们将a1和a2之间的夹角记为，那么由于| a1|=| a2|=1，再由内只公式，得故 得 °.按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩人0°23.2°16.4°16.8°班图人23.2°0°9.8°20.4°英国人16.4°9.8°0°19.6°朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.分析：这是选择生物上的一个问题，这个问题还是对线性代数中的矩阵问题的应用。正是这样，才能说明线性代数中的最基本的知识点的重要应用。通过这个应用问题，我们知道，对线性代数中的矩阵问题进行研究是十分有必要的，就如例题2、例题4中对矩阵的研究。4.2.4 剑桥食谱 剑桥食谱是由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学完成的。这种低能量的粉状食品 精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所希望的数量和比例的营养，Howard博士在食谱中加入了许多食品，但没有按正确的比例。例如：脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙，因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少的钙。然而，大豆粉包含过多的脂肪，因而加上乳清，因为所含脂肪较少。然而乳清又含有过多的碳水化合物 下例说明这个问题小规模的情形。表9-1是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量。 表9-1营养素（克）每100克成分所含营养素剑桥食谱每天供应量（克）脱脂牛奶 大豆粉 乳 清蛋白质36 51 1333 碳水化合物52 34 7445脂肪 0 7 1.13 求出脱脂牛奶、大豆粉和乳清的某种组合，使该食谱每天能供给表9-1中规定的蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量。 解：设分别表示这些食谱的数量（以100克为单位）。导出方程的一种方法是对每种营养分别列出方程。例如，乘积 单位的脱脂牛奶每单位的脱脂牛奶所含蛋白质 给出单位脱脂牛奶供给的蛋白质。类似地加上大豆和乳清所含蛋白质，就应该等于我们所需要的蛋白质。类似的计算对每种成分都可以进行。 更有效的方法（概念上更为简单）是考虑每种食物的“营养素向量”而建立向量方程。单位的脱脂牛奶供给的营养素是下列标量乘法： 这里是表9-1的第一列，设分别大豆粉和乳清的对应向量，b为表示所需要的营养素的向量（表中最后一列）。则分别给出由单位大豆粉和单位乳清给出的营养素，所以所需的方程为 把对应的方程组的增广矩阵行变换得到 精确到3位小数，该食谱需要0.277单位脱脂牛奶、0.329单位大豆粉、0.233单位乳清，这样就可以供给所需要的蛋白质、碳水化合物与脂肪。 事实上，剑桥食谱的制造者应用了33种食物来供给31种营养素。设计某种特殊的人类或牲畜的食谱问题是经常遇到的，我们构造向量方程的方法常常可以使这些问题的求解得到简化。 分析：剑桥食谱这是饮食问题中的一个模块，与人们的健