第二章 矩阵及其运算.doc

第二章 矩阵及其运算说明与要求:此矩阵在线性代数中是一个重要而且应用广泛的概念，它是研究线性代数的基本工具，在数学的其它分支以及相关专业的理论与实际中都有重要的应用矩阵是一个表格，作为数表的运算与数的运算既有联系又有区别要熟练掌握矩阵的加法、乘法与数量乘法的运算规则，并熟练掌握矩阵行列式的有关性质正确理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件会用伴随矩阵求矩阵的逆熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法了解矩阵的分块原则，掌握分块矩阵的运算规则注意分块矩阵在矩阵乘法及求逆、齐次线性方程组的解、向量的线性表出、线性相关及矩阵秩等方面的应用对于几种特殊矩阵，应掌握其定义和它们的性质。本章重点：矩阵的运算及性质；初等矩阵；矩阵可逆的判定及求法；分块矩阵。本章难点：初等矩阵的性质；求矩阵的逆；分块矩阵§ 1 矩阵的概念在上一章§2.1中已给出了矩阵的定义，即由数域P中的m×n个数aij(i=1，2，m；j=1，2，n)排成一个m行，n列的表称为数域P上的一个m×n矩阵aij 称为第i行，第j列的元素矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念除了我们所熟知的线性方程组的系数及常数项可用矩阵来表示外，在一些经济活动中，也常常用到矩阵例 某种物资有三个产地、四个销地，调配方案如下表：调运量表(单位：千吨) 销 产 地 地甲乙丙丁则表中的数据可构成一个三行四列的矩阵矩阵中每一个数据(元素)都表示从某个产地运往某个销地的物资的吨数以后我们用字母A、B、C等表示矩阵，有时为了表明A的行数和列数，可记为Am×n 或( aij) m×n，为了表明A中的元素，可简记为A=( aij)当m=n时，矩阵A=(aij)n×n称为n阶矩阵或n阶方阵当m=1时，矩阵A=(aij)1×n(a11 a11 a1n)称为行矩阵当n=1时，矩阵A=(aij)m×1称为列矩阵当矩阵中 所有元素都是零时，称该矩阵为零矩阵，记作O或Om×n即O=当n阶矩阵的主对角线上的元素都是1，而其它元素都是零时，则称此n阶矩阵为单位矩阵，记为E或En即E=对于矩阵A=(aij) m×n，称(aij) m×n为A 的负矩阵，记为 A，即：A=注意：矩阵和行列式虽然在形式上有些类似，但他们是两个完全不同的概念，一方面行列式的值是一个数，而矩阵只是一个数表另一方面行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的行数与列数可以不等定义 A=( aij)，B=( bij)都是m×n矩阵，若它们的对应元素相等，即aijbij，(i=1，2， ，m，j=1，2，n)则称矩阵A与B 相等，记为A=B如，由立即可得x=5， y=6， z= 1思考题：n阶矩阵与n 阶行列式有什么区别?试确定a、b、c的值，使得§ 2 矩阵的运算矩阵的运算可以认为是矩阵之间最基本的关系下面介绍矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法和矩阵的转置一. 矩阵的加法定义 设A=， B=是两个m×n 矩阵，则矩阵C=称为A与B 的和，记为 C=A+B注意：相加的两个矩阵必须具有相同的行数和列数例 某种物资(单位：千吨)从两个产地运往三个销地，两次调运方案分别用矩阵A和矩阵B表示：则从各产地运往各销地两次的物资调运总量为：由于矩阵的加法归结为对应元素相加，也就是数的加法，因此容易验证，矩阵的加法具有以下性质：设 A，B，C 均为m×n矩阵，则有(1) A+B=B+A(2) (A+B)+C=A+(B+C)；(3) A+0=A；(4) A+(A)=0；由矩阵的加法和负矩阵的定义，可以定义矩阵的减法：AB=A+(B)二. 矩阵的数量乘法定义2 设有矩阵，k是数域P中任一个数，矩阵称为数k与矩阵A=(aij) m×n的数量乘积记为k A注意：用数乘一个矩阵，就是把矩阵的每个元素都乘上k，而不是用k乘矩阵的某一行（列）不难验证，矩阵的数量乘法具有以下性质：设A，B都是m×n矩阵，k、l为数域P中的任意数则有(1)k(A+B)= kA+kB；(2) (k+l)A= kA+lB；(3) (kl)A= k(lA)= l(kA)；(4) 1A=A； 0A=0例3 求矩阵X使2A+3X=2B，其中解：由2A+3X=2B得3X=2B2A=2(BA)于是X=即X=三. 矩阵的乘法矩阵乘法的定义最初是在研究线性变换时提出来的，为了更好地理解这个定义，我们先看一个例子例3 设y1， y2和x1， x2， x3是两组变量，它们之间的关系是 (1)又t1，t2是第三组变量，它们与x1， x2， x3的关系是(2)我们想用t1， t2线性地表示出y1， y2，即：(3)则要求出这组系数c11， c12， c21， c22事实上：将(2) 代入 (1)式，有y1= a11 ( b11t1 +b12t2 )+ a12 ( b21t1 +b22t2 )+ a13 ( b31t1 +b32t2 ) =( a11b11 +a12b21+ a13b31)t1+ ( a11b12 +a12b22+ a13b32)t2y2= a21 ( b11t1 +b12t2 )+ a22 ( b21t1 +b22t2 )+ a23 ( b31t1 +b32t2 ) =( a21b11 +a22b21+ a23b31)t1+ ( a21b12 +a22b22+ a23b32)t2与(3) 对照，得：c11= a11b11 +a12b21+ a13b31 c12= a11b12 +a12b22+ a13b32c21= a21b11 +a22b21+ a23b31 c22= a21b12 +a22b22+ a23b32如果用矩阵 A，B，C分别表示关系式 (1)，(2)，(3) 的系数矩阵，即我们称C是A与B的乘积，即A2×3 B3×2 =C2×2=(cij) 2×2，其中元素cij等于A中的第i行的元素与B中第j列的对应元素乘积之和例4 某地区有四个工厂、，生产甲、乙、丙三种产品，矩阵A表示一年内各工厂生产各种产品的数量，矩阵B表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元)，矩阵C表示各工厂的总收入及总利润：其中 aik (i=1，2，3，4； k=1，2，3) 是第 i个工厂生产第k种产品的数量，bk1， bk2分别表示第k 种产品的单位价格及单位利润，ci1及ci2 (i=1，2，3，4) 分别是第i 工厂生产三种产品的总收入及总利润如果称矩阵C是A，B的乘积，从经济意义上讲是极为自然的，并且有关系：其中矩阵C的元素cij等于A的第i行的元素与B的第j 列的元素的乘积之和于是引进矩阵乘积的定义定义3 设矩阵A= (aik)m×s，B= (bkj)s×n ，则由元素cij =ai1b1j+ai2b2j+aisbsj (i=1，2，m； j=1，2，n)构成的m×n矩阵C=(cij)m×n称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB从这个定义，我们可看出，应注意矩阵乘法有以下三个特点：(1)左矩阵A的列数必须等于右矩阵B的行数，矩阵A与B才可以相乘，即AB才有意义；否则AB没有意义(2)矩阵A与B的乘积C的第i行、第j列的元素等于左矩阵A 的第i 行与右矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和(i=1，2，m； j=1，2，n)(3)在上述条件下，矩阵Am×s与B s×m相乘所得的矩阵C的行数等于左矩阵A的行数m，列数等于右矩阵B的列数n，即 Am×S B S×n = Cm×n例5 设，求AB解： 因为A的列数与B的行数均为 3 ，所以AB有意义，且AB为2×3 矩阵 如果将矩阵B 作为左矩阵， A作为右矩阵相乘，则没有意义，即BA没意义，因为B 的列数为3 ，而 A 的行数为2 此例说明： AB 有意义，但 BA 不一定有意义例 设A，求AB 和BA解：注：在运算结果中，我们可以将一级矩阵看成一个数此例说明，即使AB 和BA 都有意义，AB和BA的行数及列数也不一定相同例7 设A=， B=，求AB 和BA解：AB=，BA=此例说明，即使AB和BA都有意义且它们的行列数相同，AB与BA也不相等另外此例还说明两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵例8 设 A=， B=， C= ，求AC 和BC解：AC=；BC=此例说明，由AC=BC ，C0，一般不能推出A=B以上几个例子说明了数的乘法的运算律不一定都适合矩阵的乘法对矩阵乘法请注意下述问题：(1) 矩阵乘法不满足交换律，一般来讲 ABBA(2) 矩阵乘法不满足消去律一般来说，当AB=AC或BA=CA且A0时，不一定有B=C(3) 两个非零矩阵的乘积，可能是零矩阵因此，一般不能由AB=0推出 A=0 或B=0若矩阵A与B 满足AB=BA，则称A与B可交换根据矩阵乘法定义，还可以直接验证下列性质（假定这些矩阵可以进行有关运算）：(1) 结合律：(AB)C=A(BC)；(2) 分配律：A(B+C)=AB+BC， (A+B)C=AC+BC；(3) 对任意数k，有k (AB)= (k A)B=A(k B)；(4) Em、En 为单位矩阵，对任意矩阵Am×n有EmAm×nAm×n，Am×nEnAm×n 特别地，若A是n阶矩阵，则有EA=AE=A， 即单位矩阵E在矩阵乘法中起的作用类似于数1在数的乘法中的作用利用矩阵的乘法运算，可以使许多问题表达简明例9 若记线性方程组的系数矩阵为 A=并记未知量和常数项矩阵分别为，B则有AX=所以上面的方程组可以简记为矩阵形式AX=B有了矩阵的乘法，可以定义n阶方阵的幂定义4 设A 是n 阶方阵，规定A0 =E， Ak+1=AkA (k为非负整数)因为矩阵的乘法满足结合律，所以方阵的幂满足AkAl=Ak+l， (Ak)l=Akl其中k、l为非负整数，又因为矩阵的乘法一般不满足交换律，所以对于两个n阶方阵A与B一般来说，(AB)kAkBk此外，若Ak=0，也不一定有A0例如A=，但A2=例10 设A，B 均为n 阶方阵，计算(A+B)2解：(A+B)2 =(A+B)(A+B)= (A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2四. 矩阵的转置定义 5 设 m×n 矩阵 A=将A的行变成列所得的n×m矩阵称为矩阵A 的转置矩阵，记为AT例如 A=，则 AT=矩阵的转置满足以下规律：(1) (AT)T=A(2) (A+B)T=AT+BT(3) (kA)T=kAT (k为常数)(4) (AB)T=BTAT 我们只证明(4) 设 A=，B=首先容易看出， (AB)T和BTAT 都是n×m矩阵其次，位于(AB)T 的第 i 行第 j 列的元素就是位于AB的第 j 行第 i 列的元素，且等于aj1b1i + aj2b2i+ajsbsi=而位于BTAT 的第i行第j列的元素位于BT的第i行与AT的第j列对应元素的乘积之和，因而等于 B 的第i 列的元素与 A 的第 j 行对应元素的乘积之和：b1iaj1+ b2iaj2+ bsiajs=上面两个式子显然相等，所以(AB)T=BTAT例11 设A=， B=， 求(AB)T 和ATBT解：因为 AT=， BT=所以 (AB)T=BTAT=ATBT=注意：一般情况下 (AB)TATBT显然，(2)和(4)可以推广到n个矩阵的情形即：(A1+A2+An)T=AT1+ AT2+ ATn(A1A2An1An)T= ATn ATn1 AT2 AT1五. 方阵的行列式定义6 由n阶方阵A=(aij) 的元素按原来位置所构成的行列式，称为n 阶方阵A的行列式，记为|A|设 A，B是n阶方阵，k是常数，则n阶方阵的行列式具有如下性质：(1) |AT|=|A|；(2) |kA| =kn|A|；(3) |AB|=|A|.|B|性质(1)，(2)可由行列式的性质直接得到，性质(3)的证明较冗长，此处略去把性质(3)推广到m个n阶方阵相乘的情形，有|A1A2Am|=|A1|A2|Am|例12 设A=，B=验证 |A|B|=|AB|=|BA|证：显然有|A|B|= 2，因为 AB=|AB|= 2而BA=，|BA|= 2因此|A|B|=|AB|=|BA|定义7 设 A 是n阶方阵，当|A|0时，称A为非奇异的(或非退化的)；当|A|=0时，称A为奇异的(或退化的)由性质(3)可以得到定理：设A， B为n阶方阵，则 AB 为非奇异的充分必要条件是A与B都是非奇异的例13 已知A 为 n 阶方阵，且 AAT 是非奇异的，证明A是非奇异的证：因为AAT非奇异的，所以|AAT|0，即|AAT|=|A| |AT|=|A|20从而|A|0，即A是非奇异的思考题：1已知A=，B=求：(1) (A+B)(A-B)(2) A2-B2比较(1)与(2)的结果，可得出什么结论？2证明题(1) 若矩阵A1，A2都可与B交换，则kA1+lA2，A1A2也都与B可交换；(2) 若矩阵A与B可交换，则A的任一多项式f(A)也与B可交换；(3) 若A2=B2=E，则(AB)2=E的充分必要条件是A与B可交换以下介绍几种特殊且常用的矩阵及这些特殊矩阵的运算性质及方阵乘积的行列式一、对角矩阵定义1 如果n阶方阵A=(aij)中的元素满足aij=0，ij(i，j=1，2， n)，则称A为对角矩阵即：A=，可简记为对角矩阵的运算有下列性质：(1)同阶对角矩阵的和以及数与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵(2)对角矩阵A的转置AT仍是对角矩阵，且AT=A(3)任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵，且它们是可交换的即若A=， B=，则 AB=，并且有AB=BA(4)对角矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角线元素都不等于零且A=可逆时， 有A1 =性质(1)(2)(3)可直接验证，下面只证性质(4)因矩阵A可逆 Û |A|0对于对角矩阵而言，|A|0Û a1a2 an0 Û a10，a20， an0，即主对角元都不为零当主对角元都不为零时，有=于是 A1=特别地，当a1=a2= =an=k时，对角矩阵 称为n阶数量矩阵，记作kE数量矩阵具有性质：用数量矩阵左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B，其乘积等于用数k乘矩阵B即若aE是一个n阶数量矩阵，B是一n×s矩阵，则(kE)B=B(kE)=kB二、三角形矩阵定义3 形如的n阶方阵，即主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角形矩阵形如的n阶方阵，即主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角形矩阵上(下)三角形矩阵具有下述性质：(1)若A、B是两个同阶的上(下)三角形矩阵，则A+B、kA、AB仍为上(下)三角形矩阵；如 A=，B=则， AB=其中*表示主对角线上方的元素；0表示主对角线下方的元素全为零上(下)三角形矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角元都不为零当上(下)三角形矩阵可逆时，其逆矩阵仍为上(下)三角形矩阵如 A= ，则 A1=三、对称矩阵与反对称矩阵定义4 如果n阶矩阵A满足AT=A，则称A为对称矩阵由定义知，对称矩阵A=(aij)中的元素aij=aji(i，j=1，2， n)，因此，对称矩阵的形式为，如、均为对称矩阵对称矩阵有以下性质：(1)如果A、B是同阶对称矩阵，则A+B，kA也是对称矩阵证：因为AT=A，BT=B，所以(A+B)T=AT+BT=A+B，即A+B是对称矩阵(2)可逆对称矩阵A的逆矩阵A1仍是对称矩阵证：因为AT=A，所以(A1)T=(AT)1=A1，因此A1为对称矩阵但要注意：两个对称矩阵乘积不一定是对称矩阵例如A=，B=均为对称矩阵，但AB=，不是对称矩阵定义5 如果n阶方阵A满足AT=A，则称A为反对称矩阵由定义知，反对称矩阵A=(aij)中的元素满足aij=aji(i，j=1，2， n)因此，反对称矩阵主对角线上的元素一定为零即反对称的形式为A=例如、均为反对称矩阵根据反对称矩阵的定义，容易证明以下性质：(1)若A、B是同阶反对称矩阵，则A+B，kA，AT仍是反对称矩阵(2)可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称矩阵(3)奇数阶反对称矩阵不可逆因为奇数阶的反对称矩阵的行列式等于0注意：两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵例 对任意m×n矩阵，证明AAT和ATA都是对称矩阵证：因为AAT是m×m方阵，且(AAT)T=(AT)TAT=AAT所以由定义知 AAT是对称矩阵同理，ATA是n阶方阵，且(ATA)T=AT(AT)T=ATA所以 ATA也是对称矩阵例 已知A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，证明AB+BA是反对称矩阵证：AB+BA显然是n阶方阵，且由对称矩阵和反对称矩阵的定义，有AT=A，BT=B，于是 （AB+BA)T=(AB)T+(BA)T= BTAT+ATBT =(B)A+A(B)= (AB+BA)由反对称矩阵的定义知，AB+BA是反对称矩阵思考题：1试证：对任意一个方阵A，都有A+AT是对称矩阵，AAT是反对称矩阵2设A、B是两个反对称矩阵，试证：(1) A2是对称矩阵；(2)ABBA是反对称矩阵§3 分块矩阵 一、分块矩阵的概念 在理论研究及一些实际问题中, 经常遇到行数和列数较高或结构特殊的矩阵, 为了简化运算, 经常采用分块法, 使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算, 同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条横线和竖线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 例1 设. 则就是一个分块矩阵.若记, , , ,则矩阵可表示为 这是一个分成了4块的分块矩阵. 例2 设, 则矩阵是一个分成了9块的矩阵,且的分块有一个特点, 若记, , , 则 ,即矩阵作为分块矩阵来看, 除了主对角线上的块外, 其余各块都是零矩阵, 以后我们会发现这种分块成对角形状的矩阵在运算上是比较简便的. 矩阵的分块有多种方式, 可根据具体需要而定. 二、分块矩阵的运算 分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意, 运算的两矩阵按块能运算, 并且参与运算的子块也能运算. 1. 加法 设同型矩阵与采用相同的分块法, 即, ,其中与也是同型矩阵, , .则. 2. 数乘分块矩阵 用数乘一个分块矩阵时, 等于用去乘矩阵的每一个块, 即. 例3 设矩阵, , 用分块矩阵计算, .解 将矩阵计算分块如下： , ,则 . 3. 分块矩阵的乘法 设为矩阵, 为矩阵, 分块成, ,其中的列数分别等于的行数, 则,其中. 例4 设, , 用分块矩阵计算. 解 把分块成, ,则 .又 , , . 4. 分块矩阵的转置 设矩阵可写成分块矩阵,则矩阵的转置矩阵为. 5. 分块对角矩阵 设为阶方阵, 若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即,其中都是方阵, 则称为分块对角矩阵. 分块对角矩阵具有以下性质： (1) 若 , 则, 且； (2) 若, ,其中, 是同阶的子方块, 则, , (为正整数). 形如的分块矩阵, 称为分块上三角形矩阵. 形如的分块矩阵, 称为分块下三角形矩阵. 如果分块上(下)三角形矩阵的主对角线上的子块()均为方阵, 那么有如下结论. 三、矩阵的按行分块和按列分块 矩阵按行（列）分块是最常见的一种分块方法. 一般地，矩阵有行, 称为矩阵的个行向量, 若记第行为则矩阵就可表示为矩阵有列, 称为矩阵的个列向量, 若第列记作则矩阵就可表示为.§4 矩阵的初等变换和初等矩阵 一、矩阵的初等变换 定义4.1 下列变换称为矩阵的初等行变换： (1) 对调第行与第行 (记为)； (2) 以非零常数乘矩阵第行每一元素 (记为)； (3) 把第行每一元素的倍加到第行对应的元素上 (记为). 把上述定义中的“行”变成“列”, 即得到矩阵初等列变换的定义(所用记号是把“”换成“”). 矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称为矩阵的初等变换. 上述三种变换分别称为矩阵的第一类、第二类和第三类初等变换, 变换前后的矩阵之间用“”连接, 所做变换写在“”的上方或下方. 由于矩阵的初等变换改变了矩阵的元素, 因此初等变换前后的矩阵是不相等的, 不可用“”连接. 矩阵的初等变换可以链锁式地反复进行, 以便达到简化矩阵的目的.例如, 对下列矩阵作初等行变换: 将第一、二行互换, 再将第二行乘以-3加到第三行, 即. 定义 4.2 如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵, 就称矩阵与矩阵等价, 记作. 不难验证, 矩阵之间的等价具有下列性质: (1) 自反性 ； (2) 对称性 若, 则； (3) 传递性 若, , 则. 利用等价关系可以对矩阵分类, 将具有等价关系的矩阵作为一类. 我们可以利用矩阵的初等变换达到简化矩阵的目的. 例如, 形如和的矩阵都称为行阶梯形矩阵, 其满足下列条件： (1) 若有零行（元全为0的行）, 则零行位于非零行（元不全为0的行）的下方； (2) 每个非零行的首非零元(即第一个不为0的元素)所在的列号自上而下单调递增(即首非零元下的元素全为0). 形如的行阶梯形矩阵还称为行最简形矩阵, 其特点是：非零行的首非零元均为, 且非零行的首非零元所在的列的其它元都为零. 形如的矩阵称为矩阵的标准形, 其特点是：的左上角元, 其余元均为0，. 用分块矩阵可将矩阵的标准形写成,其中表示行阶梯形矩阵中非零行的行数. 定理4.1 任意非零矩阵一定可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵；进而化为行最简形矩阵. 证 设非零矩阵, 分三种情形来讨论： (1) 若, 则做初等变换, 把第1列的其它元素化为0, 变成形式, 为矩阵； (2) 若,但在第1列存在某元, 则作初等变换, 可变为(1)的情形； (3) 若矩阵的前列元素全为0, 由于为非零矩阵, 一定存在, 作变换, 再按(1)和(2)进行变换为 , 为矩阵. 对于矩阵继续按上面方法进行处理, 最后即得行阶梯形矩阵. 推论1 任意非零矩阵经过初等行变换化成的行最简形矩阵是唯一的. 推论2 任意非零矩阵一定能经过初等变换化为标准形. 例1 用初等变换化矩阵为标准形. 解 . 二、初等矩阵 上面我们学习了矩阵初等变换的定义, 并且掌握了“任何一个矩阵都可用初等行变换化为阶梯性矩阵和行最简形矩阵”的结论和方法, 本节通过引入初等矩阵的概念, 建立矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的联系. 定义4.3 由阶单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为阶初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 1. 对调单位阵的第两行(或两列), 得到的初等矩阵记为,也可简记为, 即 (2) 用非零数乘以单位阵的第行（或第列）的元素得到的初等矩阵记为；即 (3) 用数乘单位阵的第行加到第行上(或用数乘单位阵的第列加到第列上)得到的初等矩阵, 记为, 即 例如下面三个矩阵, , 都是初等矩阵. 与它们相对应的初等行变换分别是“互换第1、第2行”、“以3乘第2行”、“第1行乘2加到第3行”；相对应的初等列变换分别是“互换第1、第2列”、“以3乘第2列”、“第3列乘2加到第1列”. 易知初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵，且.定理4.2 (初等变换和初等矩阵的关系) 设是矩阵, 则对施行一次初等行变换, 相当于用一个阶的同类型初等矩阵(单位阵经相同初等变换而得到的初等矩阵)左乘矩阵；对施行一次初等列变换, 相当于用一个阶的同类型初等矩阵右乘矩阵. 即 证 读者可利用(分块)矩阵乘法验证, 详细过程从略. 例如, 令, . . . . . . 通过本节定理4.1及其推论2知, 对于任一矩阵, 总可以经过初等行变换把它化为行阶梯形矩阵(或行最简形矩阵), 进而通过初等变换(行变换和列变换)把它化成标准形,其中表示行阶梯形矩阵中非零行的行数. 由初等矩阵的性质, 利用定理4.2可以将本节的定理4.1及其推论2写成下述形式： 定理4.1 对任一非零矩阵, 一定存在有限个阶初等矩阵, 使得为行阶梯形矩阵(或行最简形矩阵). 推论2 对任一非零矩阵, 一定存在有限个阶初等矩阵,和有限个阶初等矩阵, 使得.其中表示行阶梯形矩阵中非零行的行数. 下面我们来证明本章定理2.1. 例2 设为阶方阵，则.证 先看一个特殊情形，即是一个对角矩阵的情形. 设.令，容易算出因此由行列式的性质得.现在看一般情形. 由定理4.1与推论2知，可以通过第三种初等变换把化成一个对角矩阵，并且. 矩阵也可以反过来通过对施行第三种初等变换而得出. 这就是说，存在型矩阵，使得于是. 然而由行列式的性质知道，任意一个阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而有所改变. 换句话说，用一些型的初等矩阵乘一个阶矩阵不改变这个矩阵的行列式. 因此，注意到是一个对角矩阵，我们有.§5 逆矩阵 数的乘法存在逆运算除法, 当数时，逆满足, 这使得一元线性方程的求解可简单得到：方程两边左乘, 即. 那么, 在解矩阵方程(此处为列矩阵)时是否也存在类似的逆使得呢？这就是要研究的可逆矩阵问题. 一、逆矩阵的定义 定义5.1 对于阶方阵, 若存在一个阶方阵, 使那么称矩阵可逆, 并称矩阵为矩阵的逆矩阵. 若矩阵可逆, 则的逆矩阵是唯一的. 假设, 均为可逆矩阵的逆矩阵, 由定义5.1有, , 则 .所以一个矩阵如果可逆, 那么它的逆矩阵是唯一的. 将的逆矩阵记为，即若，则. 注意, 在定义5.1中,的地位是平等的, 因此也可逆, 且(就是), 即与互为逆矩阵. 例1 设, 且, 求. 解 因为 ,所以. 二、逆矩阵的计算 什么样的矩阵才是可逆的呢？如果一个矩阵可逆, 又如何由它求到它的逆矩阵呢？下面将详细解答这一问题. 1. 利用伴随矩阵求逆矩阵 首先, 我们引入伴随矩阵的定义. 定义5.2 阶行列式中各元素的代数余子式所构成的如下的矩阵称为矩阵的伴随矩阵，记作. 定理5.1 矩阵的伴随矩阵具有如下性质： (1) , (2) 当时, . 证 (1) 设, 则由行列式按一行(列)展开的公式, 有 则 .类似地, .因此, . (2) 由性质(1)和方阵乘积的行列式性质, 可知,由于, 故. 注意上述定理(2)中，当时，. 下面给出求逆矩阵的第一种方法伴随矩阵法. 定理5.2 阶方阵可逆的充分必要条件为, 且当可逆时，. 证 必要性. 因可逆, 故存在, 使得, 从而, 所以. 充分性. 由定理5.1 (1)知, , 因为, 有,根据逆矩阵的定义, 即有,. 推论1 若阶方阵,满足(或), 则与互逆，即，. 证 因, 于是且, 所以与均可逆, 且.类似可得. 利用以上推论去判断一个矩阵是否可逆, 比用定义判断减少一半的工作量. 定义5.3 如果阶方阵的行列式, 则称是非奇异矩阵(或非退化矩阵), 否则称是奇异矩阵(或退化矩阵). 定理5.2指出, 可逆矩阵就是非奇异矩阵. 同时, 它也提供了一种求逆矩阵的方法伴随矩阵求逆法. 例2 求方阵的逆矩阵. 解 因为, 所以可逆, 且；又可算得, 类似可算得,所以 . 例3 设, 试问：满足什么条件是, 方阵可逆？当可逆时, 求. 解 时, 可逆, 这时,所以 . 上式可以作为求二阶方阵的逆矩阵的一般公式. 2. 逆矩阵的性质 方阵的逆矩阵满足下列性质： (1) 若方阵可逆, 则也可逆, 且； (2) 若方阵可逆, 数，则； (3) 两个同阶可逆矩阵,的乘积是可逆矩阵, 且； (4) 若方阵可逆, 则也可逆, 且有 ；(5) 若方阵可逆, 则也可逆, 且；(6) 若方阵可逆，且，则. 证 性质(1)、(2)、(5)、(6)的证明请读者自行完成. (3) , 由推论1, 即得. (4) , 所以. 此外, 当, ,为整数时,还可以定义, , , . 例4 设为四阶方阵, 求的值. 解 因为为四阶矩阵, 所以 .例5 设,为阶可逆矩阵，证明：(1) ； (2) .证 (1) . (2) 由, 可得.从而. 例6 设方阵满足, 求 解法1 即 , 所以 . 解法2 设 则有 , 即, 于是即 , 所以 .在本章第三节中讲到的分块对角矩阵还具有如下性质：设矩阵是分块对角矩阵,且， 则. 例7 设, 求. 解 , , , , ,从而 . 例8 设分块矩阵, 其中和分别为阶与阶可逆方阵, 是矩阵, 是零矩阵.证明可逆, 并求. 解 因为, 所以可逆. 设, 其中, 分别为与, 同阶的方阵, 则应有, 即 .于是得因为可逆, 用右乘(1)式与(2)式, 可得, , 即 , .将代入(3)式, 有.因为可逆, 用右乘上式, 得 , 即.将代入(4)式, 有. 再用右乘上式, 得,于是求得. 3. 利用初等变换求逆矩阵 一般来说, 利用定理5.2的伴随矩阵法求逆矩阵, 针对高阶矩阵求逆时运算量比较大, 下面我们介绍利用初等变换的方法求逆矩阵. 回顾定义4.3, 因为初等矩阵都是由单位矩阵经过一次初等变换得到的, 依据行列式的性质可知初等矩阵的行列式值不为零, 故它们都可逆. 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵. 容易验证, 它们的逆矩阵为：；. 由本章定理与推论知, 对任一非零矩阵, 一定存在有限个阶初等矩阵,和有限个阶初等矩阵, 使得,其中表示行阶梯形矩阵中非零行的行数. 将上述结论应用于阶可逆矩阵, 则有 定理5.3 阶方阵可逆的充分必要条件是一定存在有限个阶初等矩阵, 使得. 证 必要性. 由于阶矩阵可逆, 所以矩阵一定是非零矩阵, 因此, 一定存在有限个阶初等矩阵, 使得, (5)下面仅需证明, 即可. 事实上, 如果, 则的对角线上必有零元, 在(5)的两端取行列式, 并利用方阵乘积的行列式性质, 有.于是, ,中至少有一个是零, 这与, ,均为可逆矩阵相矛盾. 故. 充分性. 由于单位阵和初等矩阵,的行列式均不等于零, 所以, 根据定理5.2, 阶方阵矩阵可逆. 上述定理告诉我们, 可逆矩阵一定与单位矩阵等价, 即. 定理5.4 阶方阵可逆的充分必要条件是它可以写成有限个初等矩阵的乘积, 即一定存在有限个阶初等矩阵, 使得. 证 必要性. 由定理5.3