泰勒公式的证明及其应用.doc

泰勒公式的证明及其应用数学与应用数学专业 胡心愿摘 要泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述.关键词泰勒公式；不等式；应用；Proof of Taylor's Formula and Its ApplicationMathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuanAbstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application.Key words:Taylor's Formula;inequality;application 目录 1 泰勒公式.1 1.1 泰勒定理的证明过程.1 2 余项估计.2 2.1 泰勒中值定理.2 2.2 拉格朗日余项.3 2.3 柯西余项.6 2.4 积分余项.7 3 泰勒公式的应用.9 3.1 利用泰勒公式证明不等式.9 3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用.9 3.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用.10 3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限.11 3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点.12 3.4 判断级数的敛散性.14 3.5 利用泰勒公式求行列式的值.15 4 多元函数的泰勒公式.16 4.1 二元函数泰勒公式的证明.17 4.2 二元函数泰勒公式的应用.18 结束语.19 参考文献.19 致谢.20泰勒公式是数学分析的一个重要内容，它将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，分析比较它的各种证明方法和归纳其各种应用是本文的主要内容.关于泰勒公式的证明主要是讨论泰勒余项.1 泰勒定理 若函数在处存在阶导数，则，有 其中，即是比的高阶无穷小.式称为在（展开）的泰勒公式.1.1 泰勒定理的证明过程由高阶无穷小的定义知，若要证明，只需要证明因为这是的待定型，可以应用次的洛必达法则来证明. 因为当时，以及（） 都是无穷小,所以由洛必达法则，有 ，将带入上式得 ，因此，可以得到 .2 余项估计泰勒定理中给出的余项称为佩亚诺余项.佩亚诺余项只是给出来余项的定性描述，它不能估算余项的数值.还需要进一步的进行定量描述.2.1 泰勒中值定理泰勒中值定理1 若函数在内存在阶导数，函数在以与为端点的闭区间连续，在其开区间可导，且，则与之间至少存在一点，使 其中.证明 的泰勒多项式.我们记,则 .可以看出函数与在闭区间连续，在其开区间可导，且可以看出.应用柯西中值定理有：与之间至少存在一点，使 ,其中.2.2 拉格朗日余项若函数在内为存在阶的连续导数，则有 称为拉格朗日余项，其中在与之间，称式为在的带拉格朗日余项的泰勒公式.当时，式变成,其中在0与之间，称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.拉格朗日余项有四种常见的证明方法.(1)利用泰勒中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法.因为 其中.函数在以与为端点的闭区间连续，在其开区间可导，且.取，满足定理要求，有，,将它们代入之中，有，在与之间.（2）利用柯西中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法.首先记，且.建立辅助函数且，可得.在区间（不妨设）运用柯西中值定理得.将代入上式可得 ,其中即为在处的次泰勒多项式，记为.故得.(3) 利用罗尔定理证明根据罗尔定理我们有如下的证明方法.对于给定的，不妨设，并设并做辅助函数.因为在内具有直到阶连续导数，故在上连续可导，且.由罗尔定理得，使，即 ，由此解得，亦即.(4) 利用积分余项推导根据已知的积分余项我们可以有如下的证明方法.我们已知积分型余项.由于连续，在（或）上同号,由积分中值定理得.比较分析证明拉格朗日余项的四种方法，可以看出都是利用中值定理（泰勒中值定理、柯西中值定理、罗尔定理、积分中值定理）来进行证明的.前三种的关键都是找到合适的辅助函数，而第四种方法是应用已知道积分余项来推导，主要是依据了推广的积分中值定理.2.3 柯西余项若函数在内存在阶的连续导数，则有 ，其中在与之间，称式为在带柯西余项的泰勒公式.当时，式变成，其中，称此式为带柯西余项的麦克劳林公式.柯西余项有两种常见的证明方法.(1) 利用泰勒中值定理证明根据泰勒中值定理我们有如下的证明方法.做辅助函数，它满足泰勒中值定理的要求，有 将他们代入，有，在与之间.（2） 利用柯西中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法.记，且.做辅助函数，且,在区间（不妨设）运用柯西中值定理.把代入上式可得 其中为在处的n次泰勒多项式，记为.故有比较分析柯西余项的两种证明方法，容易得知证明方法大致与拉格朗日余项的前两种证明方法类似，依据的是柯西中值定理和泰勒中值定理，关键依然是找到合适的辅助函数.2.4 积分余项若函数在内存在阶的连续导数，则有 称式为在带积分余项的泰勒公式.积分型余项有两种常见的证明方法.(1) 利用莱布尼茨公式证明根据莱布尼茨公式我们有如下的证明方法.我们有 ，由上式可得到（2） 利用分部积分法证明根据分部积分法我们有如下的证明方法.因为在内具有直到阶连续导数 ，令（或）. 由分部积分法有，所以 .证明积分型余项的两种方法一种是运用牛顿-莱布尼茨公式，一种是利用推广的分部积分的方法，都是浅显易懂的.3 泰勒公式的应用泰勒公式在近似计算中有着独特的优势，故而有着较为广泛的应用.在应用中常见的泰勒展式如下， , .3.1 利用泰勒公式证明不等式 利用泰勒公式证明不等式的关键在于确定在哪一点将函数展开将函数展到第几项为止.3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用例1 设在上单调增加，且，证明.分析 因为不等式右边出现了与，可以联想到在，分别展开由已知条件的，可以猜想到展开到第二项即可，带拉格朗日余项.证明 对，在处的泰勒公式为 其中在与之间.因为,所以,将,分别带入得 ,.将两式相加可得,.再对上式两天同时在求定积分得, .故有,.3.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用例2 设函数在上二阶可导，且，试证存在一点，使得.分析 由题意，可见应取，在二阶可导，可知至多展到第三项.证明 在，处应用泰勒公式得若取，且因为，上式变为，,从而.取,且.故有.3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限在求函数值与函数极限的过程中，可以利用泰勒展开式来替换，以简化计算.在求高阶导数时可以利用泰勒公式直接求得.例3 求极限.分析 利用麦克劳林展开式，由所求的式子分母的可见，泰勒展开式应该展到第5项，且带佩亚诺余项，若用洛比达法则求解，要使用四次.解 根据麦克劳林展开式有 , .故原式=. 例4 求的近似值，精确到.分析 所求的的在定积分是不能直接求出的，可以利用的麦克劳林展式，得出其近似估计.解 由泰勒公式有 .故逐项积分得 .从上式可以看出，等式的右端是一个收敛的交错级数.由其余项的估计式知 , 已经满足精确到.故有.例5 求函数在处的高阶导数.分析 直接求不太现实，这里可以利用泰勒公式.泰勒公式通项中的的系数正是，可以直接求得，不必依次求导.解 设，则，记,故有.因为在的泰勒公式为，从而.因为泰勒展开式中含的项应该为，与上式相比较.故有.3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点泰勒公式也可以用来研究函数的凹凸性及拐点.先给出相关的定理及其证明.定理1 设在上连续，在上具有一阶和二阶导数若在内，则在上的图形是凸的证明 设为内任意两点，且足够小。为中的任意两点，记.由定理条件得泰勒公式.由此可得 .因为余项为的高阶无穷小，足够小， 所以泰勒公式中应该有的符号与相同.又因，所以，可得 即，得.由的任意性，可得在足够的区间上是凸的.再由的任意性，可得在内任意一个足够小的区间内部都是凸向的.证得在上的图形是凸的.定理2 若在某个内n阶可导，且满足，且若1）n为奇数，则为拐点； 2）n为偶数，则不是拐点.证明 在处的泰勒公式为 .因为，则，同样余项是的高阶无穷小,所以的符号在的心领域内与相同.当n为奇数时，显然在的两边，符号相异，即的符号相异，所以为拐点.当n为偶数时，则的符号相同，所以不是拐点.例6 判定是否是的拐点？解 ， ， ， ， 因为,所以不是的拐点.3.4 判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型的函数式构成的比较繁难的形式时，一般很难通过简单方法判断该级数的敛散性，这时往往可以利用泰勒公式将级数化为统一的形式，再利用一些简单的判断级数敛散性的方法来判断级数的敛散性.例7 讨论级数的敛散性.分析 直接通过通项去判断级数是正项级数还是非正项级数比较困难。因而不能直接给出判断级数敛散性的方法。但是我们注意到所给级数通项中的是可以将其展开，并且是的幂的形式，开方后更是与接近，变于进行敛散性的判别.解 因为,所以 ，故该级数是正项级数.因为 ,所以因为收敛,所以 收敛.3.5 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做的函数（一般是的n次多项式），记作，按泰勒公式在某处展开，可以求的行列式的值.例8 求n阶行列式.分析 由题意知行列式是可以看作是关于的函数（n次多项式）.可以从泰勒公式的角度解题.把记做，并在处展开，的n+1阶导数等于零.解 展开. ,则 .类似的故有 ,带入得, .若,有,若，有.可见，泰勒公式用于解决数学问题的广泛性，它是很有力的工具.4多元函数的泰勒公式对多元函数的泰勒公式主要讨论二元函数的泰勒公式.若二元函数函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内任一点，存在相应的，使得 .此式成为二元函数在点的阶泰勒公式，其中 .4.1 二元函数泰勒公式的证明作函数，因为一元函数在上满足一元函数泰勒定理条件，于是有 .应用复合函数求导法则，可求得的各阶导数.当时，则有,及.易见 ，这就是二元函数在点的阶泰勒公式.4.2 二元函数泰勒公式的应用二元函数的泰勒公式在判断二元函数极值方面有着重要的作用.定理32 设二元函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，且是的稳定点，则当是正定矩阵时，在取得极小值；当是负定矩阵时，在取得极大值；当是不定矩阵时，在不取得极值.其中.证明 由在处的2阶泰勒公式，并注意到，有.当是正定矩阵时,对任何，恒有二次型, 因此存在一个与无关的，使得,从而对充分小的，只要就有 ，即在取得极小值.同理可证当是负定矩阵时，在取得极大值.当是不定时，假设在取得极值（不妨设极大值）,则沿任何过的直线, 在取极大值.由一元函数取极值的充分条件，是不可能的,否则，在将取极小值，故.因为，所以,这表明是负定的，与条件矛盾,假设不成立.当是不定矩阵时，在不取得极值.例9 求的极值.解 由方程组得的稳定点.由于,得正定，故在取得极小值.因为处处存在偏导数，故是的唯一极值点.结束语在初等函数中，多项式函数是最简单的函数，而泰勒公式正是以简单的多项式函数替代了复杂的无理函数和初等超越函数等复杂的函数.泰勒公式不仅可以简化计算还可以判断函数的一些性质，在函数逼近论中有着广泛的应用.参考文献1 刘玉琏傅沛仁编.数学分析讲义（第四版）P233-P234.高等教育出版社，2003年6月.2 华东师范数学系编著.数学分析（下册）（第三版）P137.高等教育出版社，2008年5月.3 周运明 尚德生主编.数学分析（上册）（第一版）.科学出版社，2008年9月.4 常庚哲，史济怀编.数学分析教程（上册）（第一版）.高等教育出版社，2003年5月.5 B.A.卓里奇著,王昆扬，周美珂等译.数学分析（第一卷）(第四版).高等教育出版社，2006年6月.6 胡格吉乐吐.对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用J.内蒙古科技与经济，2009，12(24).7 齐成辉.泰勒公式的应用J.陕西师范大学学报，2003，31(z1).8 严振祥，沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用J.重庆交通大学学报，2007，26(4).9 刘瑜，陈美燕，于超，冯涛.泰勒公式在n阶行列式计算中的应用J.内江师范学院学报，2008，23(z1).致谢此篇论文得以完成,首先要感谢许洪范老师的细心指导。从毕业论问的选题到完成，许老师给予了我耐心指导与细心关怀，许老师有严肃的科学态度，严谨的治学精神和精益求精的工作作风，这些都是我所需要学习的，感谢许老师给予了我这样一个学习机会，谢谢！在此，对许老师表示衷心的感谢，同时对帮助过我的每个人表示感谢。