微分中值定理论文.doc

分类号 编 号 2012010123 毕业论文题 目 微分中值定理及其应用 学 院 数学与统计学院 姓 名 史秀峰 专 业 数学与应用数学 学 号 281010123 研究类型 理论综述 指导教师 刘开生 提交日期 20120424 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名：微分中值定理及其应用史秀峰(天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000)摘 要：微分中值定理是微分学的基础定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁，在高等数学中占有核心位置.本文总结和归纳了微分中值定理在数学分析中的应用.关键字：微分中值定理；应用Differential mean value theorem and its applicationShi Xiu feng(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui,Gansu,741000)Abstract: Differential mean value theorem is the differential of the fundamental theorem of algebra, higher mathematics is part of the core content. Mathematical analysis application. Key words: application of differential mean value theorem目 录1.引言12.微分中值定理12.1微分中值定理的内在联系12.2微分中值定理在证明中辅助函数的构造方法22.2.1几何法22.2.2倒推法33.微分中值定理的应用43.1讨论导函数零点的存在性及个数估计43.2函数性态的研究53.3不等式的证明63.4证明恒等式及等式73.5求极限73.6求近似值83.7讨论级数的敛散性94.结语9参考文献10微分中值定理及其应用1.引言我们知道，微分学是数学分析中的重要组成部分,而微分中值定理作为微分学的核心,是沟通导数和函数值之间的桥梁,是研究函数在某个区间的整体性质的有力且工具.它包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.本文论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等7个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解.2.微分中值定理2.1微分中值定理的内在联系我们知道,罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理.它们之间有着密切的联系,拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,它们之间的具体关系我们可以用下面的例题来将它们联系起来.例1 设f（x）,g（x）,（x）在 内可导,试证存在使得=0证 记= 则在上连续,在内可导,应用罗尔定理可知,使得,据行列式性质 证毕,特别地 若令就可得罗尔定理的结论：=0； 若令，可以得到拉格朗日中值定理 若令，则有，从而可得柯西定理：通过上面的例题,我们很好地利用了辅助函数的构造法,引出了三个中值定理之间的关系:罗尔定理是微分中值定理的基础,而拉格朗日中值定理则是微分中值定理的核心.拉格朗日中值定理添加条件,则变成为罗尔定理.反之,如果罗尔定理中放弃条件,则推广为拉格朗日定理;同样,若令,则柯西中值定理就变成为是拉格朗日中值定理.从而柯西中值定理可视为拉格朗日中值定理在表达形式上的推广.2.2微分中值定理在证明中辅助函数的构造方法在上面的例题中,我们构造了一个新的函数来说明中值定理之间的联系.实际上,构造性方法是高等数学中的一个重要的分析技巧,而证明微分中值定理的关键是辅助函数的构造,这对我们学生来说并非易事.其中罗尔定理的证明比较直观,学生易于接受,其中拉格朗日中值定理与柯西中值定理的证明关键是如何根据已知条件构造出一个新的函数以降低证明的难度.下面我主要从两种方法来介绍辅助函数的构造. 2.2.1几何法在拉格朗日中值定理的证明中构造函数通常做法是根据几何背景,即由于通过弦两个端点的直线为则函数与直线的方程之差即函数 在两个端点处的函数值为零，从而必满足罗尔定理的条件，故即为要作的辅助函数 2.2.2倒推法所谓的倒推法就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系逆向导出已知条件和结论.在拉格朗日中值定理的证明中，要使成立,即= 成立，只要 成立，于是可取 易证在在上满足罗尔定理的三个条件.故式即为要构造的辅助函数，柯西中值定理的结论是至少存在一点,使得即证明 上式等价于若令则在上连续，在内可导，且有由罗尔定理，存在，使，返回到即完成定理的证明.故为所做辅助函数 3.微分中值定理的应用 3.1讨论导函数零点的存在性及个数估计 利用微分学讨论导函数零点的存在性，最基本的依据是费马定理及由它导出的罗尔定理，罗尔定理告诉我们，若在上连续，在上可导，且，则至少存在一点，使得，这就是说，在函数的等值点之间，有导函数的零点.因此，证明导函数有根，只要证明函数本身有等值点.另外还可以用罗尔定理讨论导函数或高阶导函数零点的存在性与进行零点个数统计，容易得到如下推论.推论 函数在上连续，在内有m阶导数，且方程在内只有n个不同的实根，则方程在内至多有个不同的实根例2 证明方程 有且只有 4个实根.证 令,则，,因 =0只有一个实根,所以由上述推论知 =0最多有4个 实根. 例3 设 在上二阶可导,且恒有，证明：若方程在 内有根,则最多有两个根.证 设在内有三个根,且设，即有 ,分别在区间与上应用罗尔定理，有 又 在上也满足罗尔定理,故 这与假设矛盾,故在最多有两个根. 3.2函数性态的研究若在上连续,在内可导,则在上其中,这可视为的一种变形，它建立了函数增量、自变量增量与导数间的关系，我们可以用它来研究函数的性态，如函数的极值、拐点，单调性和一致连续.例4 设在的某邻域内具有三阶连续导数，如果，而，试问是否为极值点，又是否为拐点？解 设，而连续，即，所以存在的某个领域，使.由泰勒定理得：（介于与之间），因为，当时，；当时，所以在点处不取极值点，即不是极值点.由拉格朗日得 ，当时，；当 时，从而 是拐点.例5 求证当时，.证 令，因在上连续，在上可导，且当时，有，所以当时，是单调增加的，故当时，因此，从而例6 证明若函数在有穷或无穷的区间内有有界的导函数,则于中一致连续.证 设当时, ,对于,在以为端点的区间上由拉格朗日中值定理,有,那么有,对于任意的,取,则当,且,就有 由一致连续定理可知, 在中一致连续. 3.3不等式的证明不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要方法和工具.在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大作用.我们可以根据不等式两边的代数式选取不同的,应用微分中值定理得到一个等式后，对这个等式根据取值范围的不同进行讨论,得到不等式.例7 利用微分中值定理证明： 证 设，因为在闭区间上连续，再开区间内可导，且 ，由拉格朗日中值定理，再开区间内至少存在一点，使得: 即 =，因为所以有 即得到 3.4证明恒等式及等式例8 证明恒等.证 令，在时有意义，且所以在时，.又取内任一点，如，有，且，所以端点值也成立，从而恒等 例9 设在上连续，在内可导，证明：，使得.证 令，利用柯西中值定理有：，再利用拉格朗日中值定理有综上所述，有，整理变形的 3.5求极限利用微分中值定理去求极限，只要使用罗比达法则和拉格朗日中值定理来求极限.其中罗比达法则是根据柯西定理推出来的，在通常情况下，罗比达法则是计算，型不定式极限的一种简便而重要的方法.例10 求解 这是不定式，故 例11 求解 这是不定式，故利用拉格朗日中值定理，其方法就是对极限中的某些部分使用拉格朗日中值定理，然后求出极限.例12 求其中.解 对应用拉格朗日中值定理，有其中 3.6求近似值微分中值定理为我们提供了一种计算近似值的方法，只要构造出一个适当的函数，应用微分中值定理就可以得出其近似值.例13 求的近似值.解 是函数在处的值.令，即由微分中值定理得: 3.7讨论级数的敛散性泰勒公式事实上就是含有高阶导数的微分中值定理，它不仅在理论分析中具有很重要的作用，而且为我们提供了用多项式逼近函数的一种方法.在讨论级数的敛散性中有广泛的应用，下面的例子说明它的应用.例13 设在的某邻域内有二阶连续倒数，且.证明级数绝对收敛.证明 由且在处可导，知.故在点处的一阶泰勒公式为 因为，故，取，有由于收敛，有比较法知，绝对收敛. 4结语 微分中值定理应用非常广泛，以上只介绍了几种常见的应用，通过对微分中值定理应用的研究，加深了对微分中值定理的理解，有助于更好的掌握该定理的应用.参考文献：1华东师范大学数学系.数学分析（上）M.3版北京：高等数学教育出版社，2001：89-94，119-126.2吴赣昌.高等数学（理工类）M.中国人民大学出版社.3周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用J.高等数学研究，1999，2（3）：29-32.4无良森.数学分析学习指导（上）M.北京：高等教育出版社，2004.5王宝艳.微分中值定理的应用J.雁北师范学院学报，2004，21（20）59-61.6李成章,黄玉民 数学分析（上）M北京：科学出版社，2004