微分中值定理和应用毕业论文.doc

江西师范大学科学与技术学院学士学位论文 微分中值定理和应用Differential mean value theorem and applications姓 名： 曾凌 年 级： 2009 级 学 号： 0907019069 学 院： 科学与技术学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： 叶中秋（教授）完成时间：2013年3月5日 目 录引言21微分中值定理的内容，证明过程及联系21.1基本内容及证明2 1.2三个中值定理之间的关系62中值定理的推广73定理的应用93.1用中值定理证明等式93.2 用中值定理证明不等式103.3 利用定理证明方程根（零点）的存在性123.4 用定理求极限143.5 用定理求近视值143.6 定理推广的应用15结论15参考文献16致谢16 微分中值定理和其应用曾 凌【摘要】：本文首先介绍了三个微分中值定理的内容及其几何意义，接着用一个例题的形式讲解了三个定理之间的关系，以及定理从有限区间到无限区间的推广，最后详细的讲解了三个微分中值定理在证明等式、不等式、证明方程根的存在性、求极限以及求近视值等方面的应用.【关键词】：微分中值定理；联系；推广；应用Differential mean value theorem and applicationsZeng ling【 abstract 】: this paper firstly introduces three differential mean value theorem and the content of the geometric meaning, and then use a form of examples to explain the relationship between the three theorem, and theorem from limited interval to infinite interval of promotion, the detailed explained three differential mean value theorem in proving the equality and inequality, prove equation root, and the existence of limit and for myopia value and the application of.【Key words】: differential mean value theorem; Link; Promotion; application.引言微分中值定理是包括Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理等一系列基本定理的总称.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果,在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，中值定理在它所有定理里面是最基本的定理，也是构成理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们知道它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。但本文主要是以罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理三个定理之间的关系以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些等式、不等式的证明、方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及近视值的求法。1 微分中值定理的内容、证明过程及联系1.1 基本内容及证明对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauchy）定理”。这三个定理的具体内容如下：（罗尔Rolle中值定理）若函数满足如下条件： （i） 在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导；（iii）,则在内至少存在一点，使得罗尔中值定理的证明： 因为在上连续,所以有最大值和最小值,分别用与表示,现分两种情况来讨论:(1) 若,则在上必为常数,从而结论显然成立.(2) 若,则因,使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得,从而是的极值点 .由条件(), 在点处可导,故由费马定理推知.（罗尔中值定理）几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。 （拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得 . 拉格朗日中值定理的证明: 将 变形得.构造辅助函数,(其中任意常数).显然,在闭区间上连续,在开区间上可导.而,将与作差化简得.于是满足罗尔中值定理的条件,则至少存在一点,使得故 . 拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理条件的曲线上至少存在一点 P(,(),该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB.我们在证明中引入的辅助函数F(x),正是曲线y=(x)与直线 AB()之差。 拉格朗日公式的变形： 推论3 （导数极限定理） 设函数在点的某邻域内连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且 导数极限定理适合用来求分段函数的导数 例 求分段函数的导数.解 首先易得 进一步考虑在处的导数.在此之前,我们只能依赖导数定义来处理,现在则可以利用导数极限定理来解决.由于 因此在处连续,又因为 所以,依导数极限定理可知在处可导,且.注 若把在处改为即则在处仍连续. 但是由于从而 从而在的导数不存在. 但是在的左、右导数都存在所以不存在. 柯西（Cauchy）中值定理（i）函数与都在闭区间上连续；（ii）与都在开区间内可导；（iii）与在内不同时为零；（iv） ， 则在内至少存在一点，使得 柯西中值定理的证明: 将变形得.构造辅助函数(其中A、B都为常数）显然在闭区间上连续,在开区间内可导,且当与作差时可得.故满足罗尔定理的条件,则存在一点,使得. 故 . 柯西中值定理的几何意义：该定理的几何解释同拉格朗日中值定理是一样的。设想曲线用参数方程，atb 表示，这时等式右边表示曲线上弦的斜率，左边表示曲线在t=的切线的斜率（回忆曲线参数方程的计算）。因此，定理的几何解释仍然是，存在曲线上的一点，其切线平行于弦。1.2 三个中值定理之间的关系 我们知道，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理被统称为微分中值定理。他们之间有着密切的联系，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它们之间的具体关系我们可以用下面的例题来将它们联系起来。 例 设在内可导，试证存在使得 证明 记 则在上连续，在内可导，据行列式性质，所以 证毕 特别地 若令就可得罗尔定理的结论： 若令，可以得到拉格朗日中值定理 若令，则有从而得柯西定理： 从中可以发现，如果把罗尔定理中的这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。同样的，拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的关系即：“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于轴相交的夹角不为直角；那么像这一类曲线具有共同的属性曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行”。2 中值定理的推广前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数在上是连续，在内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间，把它推广到无限区间或，再把开区间推广到无限区间的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的 定理呢？通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。定理1 若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使成立。证明：令，则，即可得到关于参数函数当时，则即，再令在上连续，在内可导，且，由Rolle定理可得到，使成立令，有，而.，使成立 证毕定理2 若在上连续，在内可导，并且，至少存在一点，使成立。定理2的证明参照定理1。定理3 若在上连续，在内可导，并且，则至少存在一点，使立。证明：设，则，即可得到关于参数函数 当时，则即，再令在上连续，在内可导，由Lagrange定理得，使成立即令，有，而，使 成立. 证毕3 微分中值定理的应用通过上面对定理的研究和探讨，加深了我们的理解。我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用，现在我们来看看这三个定理的具体运用。我们学知识，不仅仅是为了让我们知道，更主要的是学了要会用，这才是最关键的。3.1 利用微分中值定理证明等式例1 设函数在上连续,在内可导,且.证明对任意常数,存在,有.证明 利用罗尔定理,构造函数,由于在上连续, 在内可导,且，所以,且在上连续,在内可导，所以,存在使得,即.例2 设函数在上连续,在内可导.证明存在使得,.证明 利用柯西中值定理 令,显然,在上连续,在内可导,且,所以,存在使得 ,所以.例3 证明恒等式:. 证明 令,则,所以,在为常函数.又有，所以,即成立.3.2 证明不等式对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。故不等式的证明对数学是很重要的。当我们学习了中值定理，知道了它在不等式的证明中起着巨大的作用。“我们可以根据不等式两边的代数式选取一个来构造辅助函数，再应用中值定理得出一个等式后，对这个等式根据自变量的取值范围的不同进行讨论，得到不等式”。下面我们来通过例子来说明定理在证明中的运用。在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式时,常将待证不等式变形为 的形式,且满足拉格朗日或柯西定理的条件,再证明对一切的有,最后利用中值定理证明. 例1 证明对一切成立不等式.证明 设,则 当时,由可推得 ,从而有 当时,由可推得, 从而有 于是对一切成立不等式.例2 设,证明.证明 显然等式当且仅当时成立.下证 当时,有 作辅助函数,则在上满足拉格朗日中值定理,则使 由于,所以 由有,即.例3 设，对的情况，求证。证明：当时结论显然成立，当时，或，在该区间设，由Cauchy定理得：或即当时， 即 又 故 当时， 则 故，即 由此，不等式得证。 分析与说明 这类题原本在高等数学中是常见题型，求解这类题的通常思路是先将一边移到另一边，构造一个函数，然后对它求导 近些年来，这类题倍受高考命题者青睐 3.3利用定理证明方程根（零点）的存在性注意到在中值定理中有,令,这样就可以利用中值定理讨论方程的根的存在性.例1 若在上连续，在内可导，证明在内方程。分析：由于题目是要求方程是否有根存在，所以可以先对方程进行变形，把方程变为。变形之后的方程有存在，所以可以利用不定积分把方程，转变为。证明:令，因为在区间上连续，在区间内可导，由函数的连续性和求导的概念，显然在上连续,在内可导，而.根据Rolle定理, 至少存在一点， 本文主要在于辅助函数的构造，我们从结论出发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。对于构造辅助函数我们可以得到，所以选在利用罗尔定理证明。这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。下来我们继续看两道例题：例2 设在，在，证明：在内存在一点，使成立。分析：对于等式，则可以两边同除以，即等式左端为，这个商式可看为函数在上的改变量与自变量的改变量之商，则会考虑利用Lagrange定理，那么可构造辅助函数。证明: ，则在，在，由Lagrange定理，存在一点，使，即，即 例17 设,则方程在内有解.证明 将待证问题转化为中值问题:存在使得,即,根据柯西中值定理直接得证,即方程小结 证明导函数方程的根的存在性的证明方法有如下几种：验证函数在上满足罗尔中值定理的三个条件,由此可直接证明.在大多数情况下,要构造辅助函数,验证在上满足罗尔中值定理的三个条件,证明,进而达到证明问题的目的.验证为函数的极值点,应用费马定理达到证明问题的目的3.4用定理求极限在求极限的题目里，有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话，则会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比较繁琐的解题过程。但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法。而用中值定理来解题，最关键在于辅助函数的构造，然后在运用中值定理解题，即可求出极限。例1 求，其中。分析：由于题目中有和，则可以试着构造辅助函数，那么就可以得到在连续，在可导，即可以利用Lagrange定理解题了。解：根据题意，由Lagrangge定理，有 其中，3.5求近似值 微分中值定理为我们提供了一种计算近视值的方法，只要构造出一个适当的函数，再应用微分中值定理就可以得出其近视值。 例 求的近视值解 是函数在处的值 令，即 由微分中值定理得： 3.6定理推广的应用对于中值定理推广到无限区间上，在于求解一些题目，如果应用了中值定理的该推广会比较方便的得到解题，下面我们来看一个例子：例1 如果函数，求证：，使得。分析：对于该题目我们通常会采用这样一种证法:令，有,即可得证。这种证明的方法，可以说是利用极限方法来证明的，我们现在考虑是否还可以运用其它的方法来证明。若要运用中值定理来证明是否可以呢？下面给出该方法。证明： 由题得在连续，在可导，且可得：, 那么，由推广定理的定理1，得到：，使得. 中值定理的应用广泛，本文从几个方面介绍了该定理的运用。通过以上的例题让大家知道，应用这几定理的关键和解题的难点，是在于对辅助函数的构造。结论本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习，并结合一些相关的参考图书资料，以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容，其中还包括自己对这些内容的理解，还通过多方面的了解和研究，且是在老师和同学们的一起探讨下，我们了解到微分中值定理的内在联系，也对微分中值定理的推广做了探讨，接着对微分中值定理的应用做了归纳总结。对微分中值定理本课题主要是以罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，三个定理之间的联系为主要的研究对象，希望通过本课题能让大家加深对这三个定理的理解和应用，也希望通过例题的解析，能使得大家在应用微分中值定理上更加的娴熟。参考文献1华东师范大学数学系.数学分析 上册 高等教育出版社，2001.2华东师范大学数学系.数学分析同步辅导及习题精解（上册）M.天津：科学技术出版社.3杨桥艳.微分中值定理的应用.保山师专学报，2009.4孙学敏.微分中值定理的应用.数学教学研究,2009.5刘章辉.微分中值定理及其应用.山西大同大学学报,2007.6刘永建；李杰.微分中值定理的证明与推广.浙江工商职业学院学报,2009.7 张勇.微分中值定理的认识及推广.消费导刊,2009致谢完成本论文，我要特别感谢我的指导老师叶中秋教授的指导。在我撰写论文的过程中，叶老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了叶老师的帮助在此表示真诚地感谢。最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示感谢！