关于泰勒公式的应用初探.doc

摘要1Abstract11.前言12.预备知识22.1带有Peano型余项的泰勒公式22.2带有Lagrange型余项的泰勒公式32.3函数的泰勒公式(或Maclaurin公式)展开42.4常见的Maclaurin公式53.泰勒（Taylor）公式的应用63.1定义某些非初等函数63.2利用泰勒公式求极限63.3利用泰勒公式求高阶导数73.4泰勒公式在不等式（等式）证明中的应用83.5利用泰勒公式近似计算和误差估计93.6带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用103.6.1定理及其证明103.6.2定理的应用113.7泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用123.8泰勒公式巧解行列式123.9利用泰勒公式求某些微分方程的解144.总结15谢辞16参考文献17关于泰勒（Taylor）公式的应用初探 韩 凯（咸阳师范学院数信学院 陕西 咸阳 712000） 摘要：泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用。本文主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限、近似值和导数，证明定积分，计算定积分以及判定级数收敛和求解行列式方面的应用及技巧。通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果。关键词：泰勒公式；定积分；级数收敛；行列式。The initial exploration of application on Taylor formulaHan Kai(Department of mathematics of Xian yang normal university Xian yang Shaanxi 712000)Abstract: Taylor Formula is a very important content of mathematics analysis, it can focally embody the soul of “approximation” of calculus, and is extensively applied in most aspects of calculus. By using some examples about it, the present paper elucidates its applications and skills in some aspects, such as limitation, approximation differential coefficient, proof of inequality determinant of series convergence and determinant solving. Through studying the skills above, this paper aims to form special thoughts in special situations, and enable us to solve the problem more efficiently.Key words: Taylor Formula, Definite Integral, Series convergence, Determinant.1.前言18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。泰勒的主要著作是1715年出版的正的和反的增量方法，书内陈述了他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理泰勒定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数，同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了希望并且很多都成了现实，所以我们有必要很好的掌握这一公式。 2.预备知识2.1带有Peano型余项的泰勒公式皮亚诺型余项泰勒公式，是各种形式泰勒公式中，所需要条件较少、形式简单，在处理某些定性问题时极为简便的泰勒公式。定理 设函数 在点处具有阶导数，则有 (1) 证明：记 显然在处阶可导，从而在的邻域内阶可导，且有 由于在点处连续，所以 为证（1）必须且只需证明。有前面分析知该极限为未定式，连续运用次洛必达法则得=注意到，由导数定义得 因此 ，定理得证。注 该定理说明当时用泰勒公式近似代替时，其误差是比高阶的无穷小。其中=o叫做皮亚诺型余项。与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比，该定理对的假设条件较少，只需在点处阶可导，不需阶导数存在，也不需在的邻域内存在阶（连续）导数，因此应用范围较广。2.2带有Lagrange型余项的泰勒公式定理 若函数在上存在连续阶导数，则，泰勒公式（1）其中 称为拉格朗日余项。证明：，有显然有=0，=0，= 。若令，则有 在区间上连续应用柯西中值定理次，有= （记）从而得到 （1）得证。2.3函数的泰勒公式(或Maclaurin公式)展开函数的Taylor展开式：若在点的某邻域内函数的Taylor级数（Taylor公式仅有有限项，是用多项式逼近函数。项数无限增多时，得 ， 称此级数为函数在点的Taylor级数。只要函数在点无限次可导，就可写出其Taylor级数。称=时的Taylor级数为Maclaurin级数，即级数。）收敛且和恰为，则称函数在点可展开成Taylor级数（自然要附带展开区间）。 称此时的Taylor级数为函数在点的Taylor展开式或幂级数展开式。简称函数在点可展为幂级数。当=0 时，称Taylor展开式为Maclaurin展开式。可展条件：定理(必要条件) 若函数在点可展，则必有在点有任意阶导数 。定理(充要条件) 设函数在点有任意阶导数。则在区间内等于其Taylor级数(即可展)的充要条件是：对， 有。其中是Taylor公式中的余项。定理(充分条件) 设函数在点有任意阶导数，且导函数所成函数列一致有界，则函数可展。例：展开函数，(1) 按幂；(2) 按幂。解 ， ， ； ， ， ；， ， ；， ， ；。所以 ， (1) 。可见 ， 的多项式的Maclaurin展开式就是其本身。 (2) 。2.4常见的Maclaurin公式1. ； 2.3. 4. 5. = 3.泰勒（Taylor）公式的应用3.1定义某些非初等函数若函数在(或某个区间)上连续,则函数在上存在原函数，,而这个原函数不一定可用初等函数表示,如此仿佛陷入了困境。事实上,若可运用泰勒公式展成幂级数,则可表示为幂级数的和函数形式。例如:函数在上连续,因而它在上存在原函数,但它的原函数是非初等函数,于是可采用下述方法:由泰勒公式知, ，由于它在任意闭区间上都一致收敛,于是,它的原函数 3.2利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可以用某项的泰勒展开式代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷的求出。例：求极限分析：此为型极限，若用罗比达法则很麻烦，这时可将和分别用其泰勒展开式代替，则可以简化此比试。解：由得：于是=有泰勒公式计算的实质是用等价无穷小来计算极限，我们知道，当时，等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们所熟悉的等价无穷小结合，问题又能进一步简化。例：就极限解：= （*）下面用泰勒公式法和等价无穷小法结合起来考虑。用泰勒公式将展开：=，于是将式（*）分子上的用上式代替，而分母中的用代替，则：=3.3利用泰勒公式求高阶导数例：设 ,求 .分析如果直接求高阶导数,比较麻烦,并且规律性不是很强, 可以考虑利用函数在x = 0 处的麦克劳林展开式.解： 又 在处的麦克劳林展开式为 比较和 中的系数,得，这里,我们通过Maclaurin 公式把求解一个复杂的反三解函数的高阶导数转化为多项式函数的高阶导数,而后者的求解是非常简单的.3.4泰勒公式在不等式证明中的应用例：设函数在上具有二阶导数，且，并存在一点，使，证明至少存在一点，使。证：因具有二阶导数，将在点展开成为一阶泰勒展开式：（1）其中在与之间。（1） 当时，在（1）式中取，得： （2）其中在与之间。因为0，（由已知），且，（假设）所以由（2）式得：，这里，故存在一点，使（2） 当时，在（1）中取，得： 其中在b与c之间,即因为，（已知），（假设），由（3）式可得，因为，而，所以，故存在一点，使。综上所述，无论为正还是为负，至少存在一点，使，证毕。3.5利用泰勒公式近似计算和误差估计根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数时所产生的误差。由拉格朗日型余项，如果 , 为一定数，则其余项不会超过。由此可以近似地计算某些数值并估计它们的误差。例：求ln1.2的近似值，使误差不超过0.0001。解： 设，将其在= 0处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式其中 ( 在0 和 之间)，令 ，则。要使则取 即可。此时 0.2 0.02 + 0.00267 0.00040 + 0.00006 = 0.1823 其误差。3.6带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用3.6.1定理及其证明泰勒定理：若函数在点的邻域内有连续的阶导数，则，有其中 称为积分型余项.为了证明上述定理，我们先证明下面的引理.引理：若函数，在闭区间上存在连续的 阶导数，则有 证明：.若，则有，结论成立。.设当时结论成立，即有。.则当时，有 由，可知，对所有的自然数，式成立。下面我们用引理来证明泰勒定理。证明：设，则由引理有从而有：泰勒公式亦可以改写为3.6.2定理的应用 例1：计算 解：设，则，由公式有例2 计算解：例3 计算， 解：设，则 3.7泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用定理1 若,且 ,则与 同敛散性。定理2 若条件收敛,而绝对收敛,则条件收敛。利用上述两个定理和泰勒公式可以很方便地讨论一些复杂级数的敛散性。例 :判别 ， 的敛散性。此题难度很大,用其他方法几乎无法讨论其敛散性,若用泰勒公式作工具则能轻而易举地得出结论。解:由泰勒公式得的一阶展开式,在0与之间,从而，在0 与之间,于是因为当时条件收敛,当时绝对收敛,又由知, 当 时，收敛,当时发散。所以，当时发散，当时条件收敛,当 时绝对收敛。3.8泰勒公式巧解行列式利用泰勒公式计算行列式的主要思路:根据所求行列式的特点, 构造相应的行列式函数, 再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开, 只要求出行列式函数的各阶导数值即可。 下面通过一个例子来具体说明求解过程。例: 求n 阶行列式的值: (注: 本例可利用代数知识中的递推法、数学归纳法求解; 这里介绍利用泰勒公式计算, 起到一定的简化作用。)解: 把行列式看作 的函数,记, 则=.将在 按泰勒公式展开: 这里，下面求行列式函数Dn (x) 的各阶导数: 类似地: 递推关系还可推出: (因)则代入 在 的泰勒展开式若 则若 则令 得当时 当时结论: 只要行列式函数的各阶导数较易计算, 则应用泰勒公式计算行列式就便利。3.9利用泰勒公式求某些微分方程的解微分方程的解可能是初等函数或非初等函数，如微分方程 (1)的求解问题便是如此，因而解这类方程我们可以设想其解可以表示成泰勒级数的形式，进一步，我们可以大胆设想可以表示成为更为一般的幂级数形式，从而得出了解这类方程的一个重要方法。事实上，若在某点的邻域内，可以展开关于的泰勒级数（或幂级数），则方程（1）的解在的邻域D内也能展开成关于的泰勒级数（或幂级数），即。例：解微分方程解：显然，可在的邻域内展开成泰勒级数，故原方程有形如 (2)的幂级数解。将（2）及其导数带入原方程得：即：，令的同次幂系数为零，得，从而。既有所以其通解为，即。4.总结本文是在阅读大量有关泰勒公式的资料后作出的初步整理，这篇文章主要通过用比较大的篇幅和例子较系统的介绍了泰勒公式的由来、发展经过的有关知识。泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用。 本文主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限, 近似值和导数，证明定积分，计算定积分以及判定级数收敛和求解行列式等方面的应用及技巧。通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果。只有了解了这些知识，在此基础上不断加强训练、不断进行总结，才能牢固掌握，才能善于熟练运用。这样的学习可使学习者养成良好的数学思维习惯，灵活的从不同角度寻找解题途径，形成独特的解题技巧，在数学研究中取得可喜成绩。谢 辞通过几个月的准备, 从收集、整理到写作，通过阅读大量天线方面的书籍和资料,通过指导老师张老师一次次耐心的引导与指点，今天终于可以顺利的完成论文的最后的谢辞了。回想大学期间的点点滴滴真是让人难以忘怀，感慨万分。大学四年的不懈努力让我数学有了更深一步的认识与了解。感谢大学期间所有传授我知识的老师，是她们的细心教导使我有了良好的专业课知识，这是我完成论文的基础。在此，特别向张力娜老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢她在我撰写论文的过程中给予我极大地帮助。张老师严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；她那循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。在此次论文的写作过程，我收获了很多，既为大学四年划上了一个完美的句号，也为将来的人生之路做好了一个很好的铺垫。最后感谢在大学期间给我帮助和鼓励的老师，同学和朋友，谢谢你们，有你们的支持，在以后的人生道路上我将更加自信的走好每一步。 参考文献1 于力，刘三阳，带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用，高等数学研究，2003年9月第6卷第3期2 韩丹，带有Lagrange余项的泰勒公式的证明，大连教育学院学报，2004年3月第20卷第1期3 华北师范大学数学系. 数学分析(第2版) M . 北京高等教育出版社,1991.4 朱永生，刘莉，基于泰勒公式应用的几个问题，长春师范学院学报(自然科学版) 2006年8月第25卷第4期5 刘云，王阳，崔春红，浅谈泰勒公式的应用，和田师范专科学校学报，2008年7月第28卷第1期6 徐香勤,张小勇,关于泰勒(Taylor) 公式的几点应用,河南教育学院学报(自然科学版) ,2005年6月第14卷第2期7 陈晓萌,泰勒公式在不等式中的应用,昌潍师专学报,2000年4月第19卷第2期8 黄军华，带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用，玉林师范学院学报（自然科学），2006年第27卷第3期9 欧伯群，泰勒公式巧解行列式，广西梧州师范高等专科学校学报，2000年5月第16卷第2期10 吴良森，毛羽辉，韩士案，吴畏，数学分析学习指导书，高等教育出版社，2004年8月