牛顿力学与分析力学的比较毕业论文.doc

2013届本科毕业论文 牛顿力学与分析力学的比较姓 名： 系 别：物理与电气信息学院 专 业： 物理学 学 号： 090311031 指导教师： 2013年05月5日目 录 摘 要II关键词II1 牛顿力学11.1 牛顿力学的概念11.2 牛顿力学的三大定律11.3 牛顿力学的研究对象及适用范围11.4 牛顿力学的推广12 分析力学22.1 分析力学的概念22.2 分析力学的研究对象及应用范围22.3 分析力学的原理22.4 分析力学的地位23 研究方法与物理意义24 牛顿力学与分析力学两种方法的特点比较24.1 牛顿力学与分析力学方法的相同点24.2 牛顿力学与分析力学方法的不同点24.2.1 研究对象24.2.2 基本方程24.2.3 基本物理量35牛顿力学与分析力学方法在处理力学体系平衡问题时的比较36 牛顿力学与分析力学方法在处理力学体系运动问题时的比较56.1 牛顿力学56.2 分析力学5结 语7参考文献7致 谢7牛顿力学与分析力学的比较摘 要本文先从牛顿力学和分析力学的基本内容出发分别介绍了各自的概念、使用范围和优缺点，然后通过对力学中的研究对象、基本方程和基本物理量的对比分析，阐明了牛顿力学与分析力学两种方法的特点及联系，最后通过两种方法在力学体系中对运动物体和平衡问题的分析比较，表明分析力学具有更高的概括性和统一性，它使得经典力学的理论体系更加谨慎。关键词牛顿力学；分析力学；牛顿定律；达朗伯原理；哈密顿原理 Elementary Analysis on the Method of Newton sMechanics and Analytic Mechanics in Theoretical MechanicsAbstract For comparative analysis of research objects, Basic equation and Basic physical quantities in mechanics, this paper discusses the characteristics and relationship between the Newtons mechanics and Analytic mechanics to complete two method in the question of balance and kinematics.in the mechanics system , the result show that the method of analytic mechanics is more comprehensive and general ,which make the classical mechanics system more complete.Keywords Theoretical mechanics；Newtons mechanics；Analytic mechanics；Alemberts princible；Hamilton principle0 引言理论力学是理论物理中的一门基础理论课。就研究物体的方式，解决问题的方式而言大致分为两部分，即牛顿力学体系与分析力学体系，分析力学是独立于牛顿力学的描述力学世界的体系。牛顿力学又称为矢量力学，此种求解方法对质点和刚体个数少的不甚复杂的力学系统可以得到满意的结果，且直观性比较强；但对于质点和刚体个数较多的复杂的力学系统就会出现约束多，方程多，求解困难的问题，而分析力学恰好解决的这一难题。其巧妙地避免了复杂系统中个质点或刚体之间的众多约束力问题，是求解更便捷，更规范。分析力学在处理复杂系统的力学问题，以及过渡到非力学现象方面的问题比牛顿力学更优越。本文将从以下几个方面比较，在解决理论力学问题时牛顿力学与分析力学方法有何异同点。1 牛顿力学1.1 牛顿力学的概念牛顿力学是以牛顿运动定律为基础，直接以牛顿运动定律为出发点来研究质点系统的运动，这就是牛顿力学。1.2 牛顿力学的三大定律 惯性定律、加速度定律、作用反作用定律，是牛顿力学的三大著名定律，是经典力学的基石。目前牛顿的三大力学定律在基础物理与科技实践中仍起着绝对的主导作用。1.3 牛顿力学的研究对象及适用范围它以质点为对象，着眼于力的概念，在处理质点系统问题时，须分别考虑各个质点所受的力，然后来推断整个质点系统的运动。牛顿力学认为质量和能量各自独立存在且各自守恒，它只适用于物体运动速度远小于光速的范围。牛顿力学较多采用直观的几何方法，在解决简单的力学问题时，比分析力学方便简单。 力学是研究物质机械运动规律的科学。自然界物质有多种层次，从宇观的宇宙体系，宏观的天体和常规物体，细观的颗粒、纤维、晶体，到微观的分子、原子、基本粒子。通常理解的力学以研究天然的或人工的宏观对象为主。但由于学科的互相渗透，有时也涉及宇观或细观甚至微观各层次中的对象以及有关的规律。力学又称经典力学，是研究通常尺寸的物体在受力下的形变，以及速度远低于光速的运动过程的一门自然科学。力学是物理学、天文学和许多工程学的基础，机械、建筑、航天器和船舰等的合理设计都必须以经典力学为基本依据。机械运动是物质运动的最基本的形式。机械运动亦即力学运动，是物质在时间、空间中的位置变化，包括移动、转动、流动、变形、振动、波动、扩散等。而平衡或静止，则是其中的特殊情况。物质运动的其他形式还有热运动、电磁运动、原子及其内部的运动和化学运动等。力是物质间的一种相互作用，机械运动状态的变化是由这种相互作用引起的。静止和运动状态不变，则意味着各作用力在某种意义上的平衡。因此，力学可以说是力和机械运动的科学。1.4 牛顿力学的推广牛顿力学及微积分理论在传统意义上的巨大成功在于它们在理论上将物体抽象为没有大小没有内部机构的质点，将数形象地等化于数轴上没有大小没有内部机构的点。这就是为什么这些理论最伟大的成就大都在天文学等领域可以自然地将所讨论的对象抽象为质点领域，而在其它不能这样做的领域，这些理论都遇到了种种挑战。例如，在真正意义上的预测中，尽管有种种高科技手段的帮助，但人们对零概率事件的预测仍然显得一无所措。与此同时，由于没有建立类似于牛顿定律的定理，社会科学方面的研究从古到今都被认为是不精确的，所得到的结果也不象自然科学一样可靠。对此，在本节中我们力图推广牛顿定律，从而可将或有希望将我们的结果等效率地应用于自然科学及社会科学之中。2 分析力学2.1 分析力学的概念分析力学是以拉格朗日和哈密顿等所建立起来的变分原理为基础，将力学的基本定律表示为分析数学的形式，通过分析的方法来解决任意力学体系的运动问题。它所涉及的量是标量。2.2 分析力学的研究对象及应用范围分析力学的研究对象是质点系。指点个数从一到无穷。故研究对象包括质点力学和刚体力学。近代又把分析力学的研究方法扩充到流体力学和固体形成连续介质分析力学。力学分析力学与牛顿力学只是同一个力学领域应用不同的数学描述而已，对于自由质点和简单问题，两种方法无优劣之分；对于复杂问题，分析力学的优越性就体现出来了。分析力学是从能量的观点来研究力学问题，因而具有更广泛的使用价值。许多新兴学科，如量子力学、电动力学、相对论力学、连续介质力学、天体力学、统计力学等等，都可以用到分析力学的理论和方法，分析力学的特点是数学方法上的严密性，永春分析的方法推到和论证是这门课的传统特点，其次就是适用范围的广泛性，用最一般的方式、方法讨论了系统可能遇到的各种约束条件，包括了实际可能出现的各种离散系统与初等力学相比，分析力学令人感到十分抽象而不易理解，本质的东西被复杂冗长的数学推到所掩盖。2.3 分析力学的原理分析力学的原理包括虚位移原理、达朗伯原理和哈密顿原理。2.4 分析力学的地位近年来，由于科学技术的飞速发展，建立了许多新学科，如宇宙力学、自动控制、运动与过程控制等理论，与分析力学密切相关，互相渗透。分析力学的基本方法和原则对研究刚体力学、振动理论、运动稳定性理论、回转仪和天体力学是必须的基本知识，这些专题的研究又丰富了分析力学的内容。3 研究方法与物理意义通过在具体的事例中用两种方法求解，比较求解过程和求解结果的对比；对大量的事例用不同的方法求解，可以发现对于有些事例有些方法很难求解或用平常的方法根本无法求解，对这些事例分析两种方法的特点和应用范围；加深对两种力学的了解，在遇到具体的问题可以选择合适的方法求解。4 牛顿力学与分析力学两种方法的特点比较4.1 牛顿力学与分析力学方法的相同点牛顿力学与分析力学是两套平行的力学理论体系，他们用不同数学语言表达了机械运动的同一客观规律。从力学规律的内容来看，分析力学方程与牛顿力学方程式等价的。因为达朗伯原理的出发点就是牛顿运动定律，而后面进行的推导都只是改变表达式的形式。 解决理论力学问题时，不论牛顿力学方法还是分析力学方法，一般都是首先把物理问题表示（转化)成一个数学问题，然后再来解决这个数学问题，最后根据数学的解答来分析力学现象。4.2 牛顿力学与分析力学方法的不同点4.2.1 研究对象牛顿力学一般把系统中每个质点或刚体作为研究对象，分别列出它们的方程，其基本特点可以用一个“拆”字来概括，所谓“拆”即“隔离”。系统中各质点（或刚体）的位置和运动之间的联系则通过附加方程来体现。分析力学把系统作为一个整体来处理。描写系统位置的广义坐标是属于整个系统的，所以动力学方程描述了整个动力学系统的规律。4.2.2 基本方程 牛顿力学根据研究对象（质点，质点系，刚体等）的不同，分别建立不同形式的动力学方程。当力学体系收到约束时，还需要补充约束方程，约束越多，需要求解的方程越多。分析力学中，其动力学方程适合用于各种力学系统（质点、质点系、刚体等），而且适用于惯性系和非惯性系。动力学方程的形式不随广义坐标的选取而发生变化。分析力学的动力学方程不含约束反力。且动力学方程的个数与力学体系的约束力有关系，约束越多，方程越少，对多约束的力学体系，拉格朗日方程显示出很大的优越性。4.2.3 基本物理量牛顿力学以力和加速度最为最基本的物理量。加速度描述物体运动状态的变化，而力则体现了物体间的相互作用。分析力学中在主动力是保守的情形下以动能和势能为基本物理量。动能描述了整个系统的运动状态，而势能函数则统一表征了物体间的相互作用。5牛顿力学与分析力学方法在处理力学体系平衡问题时的比较 牛顿力学在解决平衡问题时, 从力的观点(力系的主矢和对简化中心的主矩均为零)出发，去表征平衡条件，静力平衡问题和动力平衡问题都可以解决。牛顿力学中给出的静力学平衡条件，是针对刚体而言的(质点作为其特例)，它不适用于一般质点系。分析力学中解决平衡问题最具代表性的是伯努利的虚功原理，此原理确切表述如下：对不可解的理想的稳定约束系统，在初始静止的前提下，其保持平衡的充要条件是，作用在此力学体系的所有主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零，即这里应注意的是原理仅仅表征了体系静止平衡的条件, 而不是运动平衡的条件，且初始静止的前提是必要的。虚功原理从力作功作为研究问题的切入点，即从能量角度去表征力学体系的平衡条件，它是处理各类力学系统(质点、质点系、刚体等)静力学问题的基本原理。虚功原理只涉及主动力，这是因为静止平衡的力学体系受有理想约束，未知的约束反力不会出现在虚功原理中，这给解决受有理想约束的多约束力学体系的静力学问题带来极大方便，这是虚功原理的突出优点。下面通过例题看看两种方法的特点。我们来讨论半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为。解法1(牛顿力学方法)：设棒长为l，质量m，其受力分析如图1所示，据平衡方程得: （1） （2） （3）由（1）（2）（3）式和 可求得棒长为： 图1牛顿力学解决此类问题，运用了静力学平衡方程及简单的几何知识，总体看来，思路明确清晰，方法简便易懂。解法2(分析力学方法)：杆受理想约束，杆的位置可由杆与水平方向夹角唯一确定，杆的自由度为1，设棒长为1，如图2所示，建立坐标系棒所受主动力只有重力，由虚功原理： (4)有 (5)即 (6)取为广义坐标: (7) (8) 只有(9)(10) 证毕。 图2运用虚功原理建立方程，不像牛顿力学那样各个力都确切标明，只须分析、标明主动力即可，这是它的优点。它不仅适用于刚体，而且也适用于一般质点系。较牛顿力学的平衡方程更具广泛性，更反映问题实质。6 牛顿力学与分析力学方法在处理力学体系运动问题时的比较6.1 牛顿力学牛顿把物质、时空、运动，从一般哲学概念发展为可用数学作定量表述的定义、定律、定理，以其严谨的知识结构，建立了牛顿力学体系，并使之成为力学中最基本的理论体系，迅速得到公众的广泛确认。随着生产力的发展，求力学体系的运动问题时常常要解算大量的微分方程，如果力学体系受到约束，则因约束反力都是未知的，所以方程数不但不会减少反而会增加，随着约束的增加, 方程的数量也在增加，从而增加了问题的复杂性，有时会使问题的求解变为不可能。6.2 分析力学分析力学方法处理力学体系运动问题时，拉格朗日方程是最具代表性的普遍适用的方程。对于受有完整、理想的具有个自由度的力学体系，拉格朗日方程： (11)上述方程的数目等于力学体系的自由度数，其中是力学体系相对惯性系的动能，分别为广义坐标和广义速度，是与广义坐标对应的广义力： (12)如果力学体系受有完整、理想约束且主动力为保守力，则拉格朗日方程为 (13)用分析力学方法建立系统的运动微分方程，无须过问约束反力的具体情况，未知的约束力不出现在方程中，且约束越多，方程数越少。它克服了牛顿力学方法在多约束系统中遇到的困难。讨论质量为半径为的均质圆柱体放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，求圆柱体质心的加速度物体的加速度及绳中张力。解法1(牛顿力学方法)：取隔离体，圆柱体作平面平行运动，物体作平动，动力学方程为：对 (14) (15)圆柱体只滑不滚(16) (17)联立得 (18)可以看出，牛顿力学解决力学体系运动问题时，注重的物理量是力和加速度，研究问题的方法基本上是借助于矢量和几何图形，分析质点的受力情况,根据牛顿运动定律，建立运动微分方程，求解未知量。解法2(分析力学方法):系统自由度为1，选为广义坐标。物体的动能和势能为: (19)圆柱体M的动能 (20)圆柱体只滚不滑点的速度等于的速度： (21) (22)系统拉氏函数为 (23) (24)结 语通过例题可以看出, 对于主动力是保守力的力学体系, 分析力学注重的物理量是能量, 从数学上讲,处理对象从矢量转变为标量, 处理方法也从几何方法转变为数学分析的方法。我们也看到, 在处理束缚体系时, 由于拉格朗日方程中不含约束反力, 避免了约束反力引起的麻烦。所以分析力学方法在处理力学体系运动问题时显示出了很大的优越性。由分析比较我们认识到, 牛顿力学方法, 面对的物理量是矢量, 借助几何图形, 解题思路明确、清晰，既可求出运动规律, 也能求出约束反力, 但对于多约束的力学体系, 此方法会陷入困境。分析力学方法，面对的物理量是标量, 采用数学分析的方法, 此方法具有更高的概括性和统一性, 较牛顿力学方法有一定的优越性。综上所述, 从理论上看, 牛顿力学是从物体受力的角度导出其动力学方程的, 分析力学则是从能量的角度来导出其动力学方程的。力仅是力学范围内的一个物理量, 而能量则是整个物理学的一个基本物理量, 这就使拉格朗日方程成为了力学和物理学其他分支相互联系的桥梁, 所以分析力学方法具有更高的概括性和统一性, 它使得经典力学的理论体系更加严谨, 它代表了经典力学的重大发展。参考文献1 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