新人教版八年级上册数学等腰三角形性质及判定（提高）知识点整理及重点题型梳理.doc

新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料等腰三角形性质及判定（提高）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直2. 掌握等腰三角形的判定定理3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在ABC中，ABAC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B、C是底角要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A180°2B，BC .【389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论【389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( ) A60° B120° C60°或150° D60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答(1)顶角为锐角如图，按题意顶角的度数为60°； (2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图，则顶角度数为120°，故此题应选D【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.举一反三：【变式】（2015杭州校级二模）等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 【答案】50°或80°解：若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°100°=80°，则其底角为：（180°80°）÷2=50°；若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°故答案为：50°或80°类型二、等腰三角形的操作题2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：A与B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图ABC中，C90°，A24°；猜想：（2）如图ABC中，C84°，A24°；猜想：【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.【答案与解析】（1）作图：猜想：AB90°，（2）作图：猜想：B3A. 【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，ACB90°，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的CDF与BDE均为等腰三角形，那么纸片中的B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形【答案】解：若CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设B为度 145°，2A90°当BDBE时 3 ，45°90°180°，30° . 经计算EDEB不成立.当DEDB时3180°245°90°180°2180°，45°.综上所述，B30°或45°.类型三、等腰三角形性质判定综合应用3、（2015秋东西湖区期中）如图，ABC中，C=2A，BD平分ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC（用两种方法）【思路点拨】方法一：先在AB上取BE=BC，根据SAS证出CBDEBD，得出CD=ED，C=BED，再证明A=ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；方法二：先延长BC至F，使CF=CD，得出F=CDF，再利用AAS证出ABDFBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案【答案与解析】解；方法一：在AB上取BE=BC，BD平分ABC交AC于D，CBD=EBD，在CBD和EBD中，CBDEBD（SAS），CD=ED，C=BED，C=2A，BED=2A，BED=A+ADE，A=ADE，AE=DE，AE=CD，AB=BE+AE，AB=CD+BC；方法二：延长BC至F，使CF=CD，则F=CDF，ACB=F+CDF，ACB=2F，ACB=2A，A=F，在ABD和FBD中，ABDFBD（AAS），AB=BF，BF=BC+CF，BF=BC+CD，AB=BC+CD【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形举一反三：【变式】如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求证：ACBF【答案】 证明：延长AD至点G，使DGAD，连接BG.ABCDEFG 4、如图，ACBC，ACB90°，A的平分线AD交BC于点D，过点B作BEAD于点E.求证：BEAD.【答案与解析】 证明：如图，延长BE、AC交于点F.12，AEAE，AEBAEF90°，AEBAEF（ASA）.BEFEBF.390°F2，BCAC,BCFACD（ASA）BFAD，BEAD.【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决举一反三：【变式】已知，如图，AD为ABC的内角平分线，且ADAB，CMAD于M. 求证：AM(ABAC) 【答案】证明：延长AM至点E，使MEAM，连接CE.