ul分解与高斯消元法实验报告.doc
数值方法实验报告课程名称：LU分解法与高斯消元法 学 院：数学与财经学院 专 业：信息与计算科学（金融软件） 年 级：2011级 姓 名：郑 荐 学 号：201102334023 指导教师：李 梦 实验一【实验名称】实现LU算法，并利用该算法求解线性方程组【实验目的】了解如何用LU三角分解法解线性方程组，利用LU三角分解法解线性方程组【实验原理】设无行交换变换的高斯消去法可求解一般线性方程组AX=B，则矩阵A可分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U乘积：A=LU而且L的对角线元素为1，U的对角线元素非零。得到L和U后，可通过如下步骤得到X：1. 利用向前替换法对方程组LY=B求解Y。2. 利用回带法对方程组UX=Y求解X。【实验步骤】1. 输入矩阵A2. LU分解A，得到L矩阵与U矩阵的值 L U=LU_1(A)3. 输入矩阵B，利用向前回带法求出Y值 Y=upsub(L,B)4. 利用回带发求出X值 X=backsub(U,Y)【实验程序】1. LU分解代码：function L U=LU_1(A) n=length(A(1,:); L=eye(n); U=zeros(n); for j=1:n U(1,j)=A(1,j); end for i=2:n L(i,1)=A(i,1)/U(1,1); end for k=2:n for j=k:n U(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j); end for i=k+1:n L(i,k)=(A(i,k)-L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k)/U(k,k); end end结果：2. 向前回带法代码：%向前代入法function Y=upsub(A,B)n=length(B);Y=zeros(n,1);Y(1)=B(1)/A(1,1);for k=2:n Y(k)=(B(k)-A(k,1:k-1)*Y(1:k-1)/A(k,k);end结果：3. 回带法代码：%回代法function X=backsub(A,B)n=length(B);X=zeros(n,1); X(n)=B(n)/A(n,n);for k=n-1:(-1):1 X(k)=(B(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n)/A(k,k);end结果：【实验分析】LU分解法比较简便迅速，当解多个系数矩阵为A的线性方程做时，LU分解法就显得特别优越，只要对系数矩阵做一次LU分解，以后只要解三角形方程即可。也可以根据系数矩阵的形状来设计算法。实验二【实验名称】高斯消元法解线性方程组【实验目的】了解如何用高斯消元法解线性方程组，利用高斯消元法解线性方程组【实验原理】消元过程：设，令乘数，做（消去第i个方程组的）操作×第1个方程+第i个方程（i=2，3，.n）则第i个方程变为这样消去第2，3，。，n个方程的变元后。原线性方程组变为：这样就完成了第1步消元。回代过程：在最后的一方程中解出，得：再将的值代入倒数第二个方程，解出，依次往上反推，即可求出方程组的解：其通项为【实验步骤】1、输入A和b2、判断是否有解B=A bif RA<RB,无解return,endelse RA=RB 转33、if RA=RB=n 有唯一解对 k=1:n-1 做A(k,k)=0,breakfor i=k+1:nL(i,k)=A(i,k)/A(k,k)A(i,k)=A(i,j)-L(i,k)*A(i,j)endend4、elseif RA=RB<n时，有无穷解，end5、后向代入法求解【实验程序】回带法程序：%回代法function X=backsub(A,B)n=length(B);X=zeros(n,1); X(n)=B(n)/A(n,n);for k=n-1:(-1):1 X(k)=(B(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n)/A(k,k);end高斯消元法程序：functionRA,RB,n=gaus(A,b)B=A b;n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);rank_dif=RB-RA;if rank_dif>0 disp('RARB,此方程无解'); return;endif RA=RB if RA=n disp('RA=RB=n,次方程组有唯一解'); X=zeros(n,1); for p=1:n-1 for k=p+1:n m=B(k,p)/B(p,p); B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1); end end X=backsub(B(1:n,1:n),B(1:n,n+1); X else disp('RA=RB<n,次方程组有无穷解。') endend结果：【实验分析】高斯消元法代码更为复杂。LU分解的方法，求解方程组的方法使得得出的结果更加精确。高斯消元法能更快判断出是由有解。LU分解法在LU分解前矩阵A不知道能否可以分解。【实验心得】 本次试验涉及到了用高斯消元法，LU分解法两种方法。需要对这些方法的原理都要掌握才能写出程序，由于理论知识的欠缺，我花了很大一部分时间在看懂实验的原理上，看懂了实验原理之后就开始根据原理编写程序，程序中还是出现了很多的低级错误导致调试很久才能运行。通过这次试验使我深刻的体会到理论知识的重要性，没有理论知识的支撑是写不出程序来的。写程序时还会犯很多低级的错误，以后一定要加强理论知识的学习，减少编程时低级错误的产生。
