泰勒公式及其在解题中应用.doc

本科生毕业设计（论文）（ 2014届）设计（论文）题目 泰勒公式及其在解题中应用 作 者 周立泉 分 院 理工分院用数学1001班 指导教师（职称） 徐华（讲师） 专 业 班 级 数学与应用数学） 论 文 字 数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班 周立泉 指导教师 徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用 关键词：泰勒公式;数学分析 ;导数Taylor Formula and Its Application in Solving ProblemMathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.目录1引言12泰勒公式13泰勒公式在解题中的应用23.1利用泰勒公式求近似值23.2利用泰勒公式求极限43.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用7 3.3.1判断级数的敛散性7 3.3.2判断广义积分的敛散性93.4利用泰勒公式证明等式与不等式104结论及展望10参考文献11致谢12泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉 指导教师徐华1引言泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了极大的作用关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估计和近似值的计算等等事实上，由于许多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间2泰勒公式 泰勒公式按不同的余项可以分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同，但性质各异定性的余项为佩亚诺余项，仅表示余项是，即当时高阶的无穷小定量的余项是拉格朗日型余项（也可以写成），定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或者估计定理1(泰勒定理)：设在处有阶导数，则存在的一个领域，对于领域中的任一点，成立 （1）其中余项满足，在与之间上述公式（1）称为在处的带拉格朗日型余项的泰勒公式余项 （在与之间）称为拉格朗日余项若不需要余项的精确表达式时，余项也可也成此时，上述公式（1）则称为在处的带有佩亚诺余项的泰勒公式它的前项组成的多项式： 称为的在处的次泰勒多项式当时，上式记为 该式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的特殊形式带拉格朗日余项的泰勒公式对函数的展开要求比较高，形式也相对复杂，但因为（2）对均能成立（当不同时，的取值可能不同），因此这反映出函数在邻域内的全局性 带佩亚诺余项的泰勒公式对函数的展开要求较低，它只要求在点处阶可导，展开形式也较为简单（1）式说明当时用右端的泰勒多项式代替所产生的误差是的高阶无穷小，这反映了函数在时的性态，或者说反映了在点处的局部性态3泰勒公式在解题中的应用泰勒公式也被称为泰勒中值定理，是高等数学课程中的一个重要内容，不仅在理论分析方面有重要作用，其应用也非常广泛但在高等数学课程中没有深入广泛地展开讨论，本文通过几个例子也仅仅说明其中的几个方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等许多内容可以展开进一步的讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解3.1利用泰勒公式求近似值 由于泰勒公式是利用增量法原理进行推导而来，因而在很多近似问题中也有广泛应用在现今社会，由于计算机和通讯技术的发展，利用计算机进行近似计算已经成为科学研究和工程计算中的一个重要环节泰勒公式是一个多项式拟合问题，而多项式是一个简单函数，它的研究对我们来说是轻松而又方便的但必须注意的是泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，不能远离，否则效果会比较差利用泰勒公式可以对函数近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为例1 求的近似值分析 因为介于2和3之间，是个无限不循环的数，所以直接得到确定的值比较困难，在这里我们可以利用泰勒公式导出的近似计算式进行近似得到的值解 首先令，则把带入，得于是得到的近似式上式中令，有由此可以求出的近似值例2 求的近似值，精确到 分析 因为中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表达），我们可以考虑利用泰勒公式和逐项积分的方法求的近似值解 在的展开式中用代替得逐项积分，得 上述式子右端是一个收敛的交错级数，由其余项的估计式知所以 我们不妨再看一例，例3 计算积分的近似值分析 因为不是初等函数，所以不能直接用牛顿莱布尼兹公式求值，我们考虑利用泰勒公式求其近似值解 由泰勒公式可得所以因此 由此得到3.2利用泰勒公式求极限对于一般待定型的极限问题，我们采用洛必达法则来求但是对于一些求导比较繁琐，或是要多次使用洛必达法则的情况，运用泰勒公式往往比洛必达法则更为有效对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的, 因此, 对于一些较复杂的函数可以考虑根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或者有理分式的极限问题, 因此满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限:（1） 运用洛比达法则时, 次数较多, 且求导及化简过程较繁锁（2） 分子或分母中有无穷小的差, 且此差不易转化为等价无穷小的替代形式（3 ）所遇到的函数展开为泰勒公式不难当确定要运用泰勒公式求极限时, 关键是要确定展开的阶数如果分母( 或分子) 是阶, 就将分子( 或分母) 展开为阶麦克劳林公式若分子, 分母都需要展开, 可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数例4 求分析 这是一个待定型的极限问题，如果用洛必达法则，则分子分母都需求导4次但若用泰勒公式计算就简单得多了解 例5 求的极限分析 当时，此函数是型未定式，虽然可以通过变换把它转换成型，再用洛必达法则求解，但计算量较大，现在我们先用泰勒公式将展开，再求其极限解 故 在高等数学的学习中利用等价无穷小替换来求解极限问题一直是我们学习的难点，即使在学习了教材后仍然对等价无穷小替换求解极限的运用不够灵活甚至比较吃力，常常犯错 究其原因主要有两个: 一是平时不够努力，对于常见的等价无穷小没有准确记忆并且对于此类问题缺少练习; 二是对于等价无穷小替换的实质还没有透彻的理解，表现在对一些等价无穷小替换的法则只知其然而不知其所以然 如做练习时有这样的题目:例6 分析 由于，根据无穷小量替换得到，则从解答过程中我们可以看到，我们在解这道题时不管条件是否满足而生搬硬套地使用了等价无穷小的替换法则，反映出我们对于无穷小的替换原则并未达到本质的理解，解决问题也缺乏灵活性下面我们利用泰勒公式来重新理解无穷小替换的法则和原理（假设所有极限问题涉及的自变量过程变化都趋向于零）性质一：首先来理解，在最初的学习过程中我们容易产生两个误区: 其一，在学习时容易被左边形式迷惑，潜意识里往往误认为，都是单独不相关的一项；其二，对于右边的式子中我们会觉得比较抽象难以理解根据这些容易产生的理解上的偏差，我们可以结合泰勒公式来形象直观地理解以正弦函数的泰勒公式为例:如果取，那么可以取，也可以取，甚至也行，相应的分别为：，这样我们可以知道并不是抽象的符号，它代表的是具体的表达式，而且该表达式可以很复杂，比如可以由多个式子组成; 另一方面，由于这些式子中的每一项都是幂函数，我们能非常直观地看出它们分别是，那是接着讨论，本质上它是等价无穷小的又一个性质和差取大原则：，取则，可理解成：正弦函数由与两部分组成，其中是函数的主部项，它对函数的大小和变换趋势起主要作用，是函数的次要项或者剩余项，由可知，实质上是相对于主部项的小扰动项，对整个函数的数值及变化趋势起次要的作用具体到求极限的问题中就是极限问题的结果取决于分子分母中多项式的最低次项性质二（和差代替规则）：若，并且不等价，则，并且故对于例4，由于，从而此时所以 对于表面上差异较小的问题但运用等价无穷小替换法则大相径庭，而这样的问题往往能够用泰勒公式统一解决 说明在求极限问题的解题思路中泰勒公式比等价无穷小替换法则更普遍、更一般，在解决问题时往往倾向接受和使用那些放之四海而皆准的思路和方法，因此利用泰勒公式来理解等价无穷小替换的实质也就更容易被大家理解和掌握3.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用3.3.1判断级数的敛散性在级数敛散性的理论中，要判定一个正项级数是否收敛，我们通常找一个较简单的级数，再用比较判定法来判定在实际应用中较困难的问题是如何选取恰当的中的值，例如（1） 当，此时收敛，但（2） 当，此时发散，但这里我们无法判定的敛散性，为了有效地选取中的值，可以应用泰勒公式研究通项的阶，据此选择恰当的值使，并且保证，再由比较判定法（极限形式）就可以判定的敛散性下面我们来举例说明：例7 判定级数的敛散性解 因， 故 因此从而有，是关于的阶，即 与同收敛评注：当级数的通项表达式是由不同类型的函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便于利用判敛准则例8 讨论级数的敛散性分析 直接根据通项去判断该项级数是正项级数还是非正项级数是比较困难的，因而也就无法恰当地选择判敛方法在上式中我们注意到，这个式子中，若将其泰勒展开为的幂的形式，开二次方后恰与相呼应，会使判敛更容易进行解 故该级数是正项级数又 收敛，由正项级数比较判别法知原级数收敛例9判断级数的敛散性分析 对于级数，运用比较法，柯西判别法，魏尔斯特拉斯判别法难以直接判断其敛散性因此我们可以考虑先把进行泰勒展开，再运用上述方法进行判别解 由泰勒公式有所以，而发散，又所以收敛，故发散3.3.2判断广义积分的敛散性在定积分中，我们总是假定积分区间是有限的，而被积函数（如果可积的话）一定是有界的但在理论上或实际应用中都有需要去掉这两个限制，把定积分的概念广为（i）无限区间上的积分；（ii）无界函数的积分；在判定广义积分的敛散性时，通常选取广义积分进行比较，在此通常研究无穷小量的阶来有效地选择中的值，从而判定敛散性（注意到：如果收敛，则收敛）例10 判断广义积分的敛散性分析 我们可以知道是属于无界函数广义积分，在上运用定积分的知识很判断出该积分是否收敛，那么我们可以考虑是否可以运用泰勒公式将展开，然后再进行计算解 ，即被积函数在积分区间上不变号 故有，又由于广义积分发散，因此用比式判别法知原广义积分收敛例11 研究广义积分的敛散性分析 我们可以初步判断属于无限区间上的积分，在区间不易运用定积分的知识进行判断该积分是否收敛那么同样我们可以考虑运用泰勒公式将其展开再进行讨论解 我们已经学过的泰勒展开式为则 因此，即是的阶，而收敛，故收敛，从而收敛 3.4利用泰勒公式证明等式与不等式关于在不等式的证明方面，我们已经知道有很多种方法，比如利用函数的凸性来证明不等式，利用拉格朗日中值定理来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，同样泰勒公式也是不等式证明的一个重要方法如果函数存在二阶及二阶以上的导数并且有界，那么利用泰勒公式去证明这些不等式，一般的证明思路为：(1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式；(2)恰当地选择等式两边的与；4结论及展望泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的工具本文章是在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理，这篇文章主要对泰勒公式在近似值计算、求极限、判断级数和广义积分的敛散性以及证明等式与不等式等方面做了简单系统的介绍和分析，从而体现了泰勒公式在微分学应用中的重要的地位，通过以上几个方面的探讨，充分利用其解题技巧在解题时可以起到事半功倍的效果值得一提的是，虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面很少被提及，需要不断地探索本文通过几个例子也仅仅说明其中的几方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等很多内容可以展开进一步的总结讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要的应用工具，只有掌握了这些知识，并且在此基础上加强训练、不断地进行总结，才能熟练的应用它，灵活的从不同角度找出解题的途径，探索新的解题方法，以便更好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多实际的数学问题参考文献 1胡格吉乐吐.对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用J.内蒙古科技与经济，2009(24):73 2刘鹏.浅谈泰勒公式及其应用.科技信息J,2011(09):521-522. 3齐成辉.泰勒公式的应用.陕西师范大学学报，2003,31(09):24-25. 4费德霖.泰勒公式的应用及技巧.皖西学院学报，2001,17(04):84-86. 5潘劲松.泰勒公式的证明及应用.廊坊师范学院学报,2010,10(02):16-21. 6董斌斌.泰勒公式及其在解题中的应用.科技信息,2010,(31):243. 7冯平、石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用.新疆职业大学学报,2003,11(04):64-66. 8陈妙琴.泰勒公式在证明不等式中的应用.宁德师专学报(自然科学报),2007,19(02):155-156. 9刘萍、王文锦.谈泰勒公式在微分有关证明题中的应用.科技信息,2009(11):235. 10http:/www.ce.udel.edu/faculty/kaliakin/appendix_Taylor.pdf 11http:/www.math.wisc.edu/robbin/221dir/taylor.pdf 12 13致谢四年的大学生活即将在这个季节画上一个句号，而于我的人生只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，离校的日期已日趋临近，毕业论文的完成也随之进入尾声在本文即将完成之时，谨此向我的导师徐华讲师致以衷心的感谢和崇高的敬意本文的顺利完成离不开徐华老师的悉心指导，老师以她敏锐的洞察力，渊博的知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风给我留下了深刻的印象，使我获益匪浅我还要真诚地感谢我的室友张天闻同学，他不仅在学术上给我指引，而且在生活中也给予我帮助，从他身上我学到了很多我还要感谢我的母校杭州师范大学钱江学院，这里严谨的学风，优美的校园环境使我的大学四年过得很充实也很愉快最后我要感谢我的父母，当自己怀着忐忑的心情完成这篇论文的时候，自己也从当年一个刚走进大城市的懵懂少年变成了一个成熟的青年十几年的求学之路，虽然只是一个本科毕业，但也实属不易首先，从小学到大学的生活费及学费就不是个小数目，这当然要感谢我的爸爸妈妈，他们都是农民，没有他们的勤勤恳恳和细心安排，没有他们的支持和鼓励，我是无论如何也完成不了我的大学生活书到用时方恨少，在这篇论文的写作过程中，我深感自己的水平还非常的欠缺生命不息，学习不止，人生就是一个不断学习和完善的过程，敢问路在何方？路在脚下！