北师大版数学必修四：《平面向量应用举例》导学案(含解析).docx
第8课时平面向量应用举例1.能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.2.会用向量知识解决一些物理问题.向量概念有明确的物理背景和几何背景,物理背景是力、速度、加速度等,几何背景是有向线段,可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的,正因为如此,利用向量可以解决一些物理和几何问题,在平面几何中,平行四边形是大家熟悉的重要的几何图形,而在物理中,受力分析则是其中最基础的知识,那么在本节的学习中,借助同学们非常熟悉的内容来学习向量在几何与物理问题中的应用.问题1:利用向量法解决几何问题的一般步骤如何?向量法解决几何问题的“三步曲”.(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,把平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.问题2:向量法可以解决几何中的哪些问题?平面几何中的距离(线段长度)、夹角、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积运算求得.问题3:向量在物理中的应用,其步骤如何?(1)建模:把物理问题转化为问题; (2)解模:解答得到的数学问题;(3)回答:利用解得的数学答案解释现象. 问题4:如何应用向量知识解决力学问题和速度问题?应用向量知识解决力学问题,首先要对物体进行正确的分析,画出受力分析图形,在此基础上转化为向量问题; 应用向量知识解决速度问题,首先要对物体运动的速度进行合理的合成与,结合运动学原理,转化为数学问题. 1.已知点O为三角形ABC所在平面内一点,若+=0,则点O是三角形ABC的().A.重心B.垂心C.内心D.外心2.如图所示,用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10 N,则每根绳子的拉力大小是().A.5 NB.5 NC.10 ND.10 N3.若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|=. 4.求证:平行四边形对角线互相平分.利用向量证明线段垂直在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,D是BC的中点,E是AB上的点,且AE=2BE,求证:ADCE.利用向量证明长度相等如图,四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量法证明PA=EF.向量在物理中的应用如图所示,重力为300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PFCE是矩形,求证:PAEF.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:(1)F1,F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.1.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有().A.abB.abC.|a|=|b|D.|a|b|2.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形的形状为().A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形3.如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y,则x=,y=. 4.一轮船欲横渡某条江,到达起始点的正对面岸边,已知江水流速为3 km/h,船的静水速度为6 km/h.(1)求轮船的航行方向;(2)若江面宽 2 km,求轮船到达对岸所需要的时间.(2010年·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.考题变式(我来改编): 答案第8课时平面向量应用举例知识体系梳理问题3:(1)数学(3)物理问题4:受力分解基础学习交流1.A设AB的中点为D,由已知得=-(+)=-2,即|=2|,故点O是三角形ABC的重心. 2.D如图,两力相等,夹角为120°,以两力所在向量为边作平行四边形ABCD,则可得它是有一内角为60°的菱形,合力与灯具的重量大小相等、方向相反,故每根绳子的拉力为10 N.3.5F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),|F1+F2|=5.4.解:在平行四边形ABCD中,M为对角线AC与BD的交点.设=x,=y(x,yR),=+,=x+x.又=+=+y=+y(-)=(1-y)+y.与不共线,由平面向量基本定理知,解得=,=.故点M为AC、BD的中点,即平行四边形对角线互相平分.重点难点探究探究一:【解析】(法一)(基向量的方法)·=(+)·(+)=(-)·(+-)=(-)·(+)=-·-.BCCA,·=0,又BC=CA,|=|,·=(|2-|2)=0,即ADCE.(法二)(坐标的方法)以CA、CB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设|=|=a,A(a,0),B(0,a),E(,),D(0,),=(,),=(-a,).·=-+×=-+=0,即ADCE.【小结】使用向量方法证明平面几何问题时,就是要把平面几何中的问题用向量的知识来表达,如证明两条线段垂直,就是证明这两条线段所表示向量的数量积等于零,证明两条直线平行可以使用共线向量定理等.在使用向量知识时,既可以使用基向量的方法,也可以使用坐标的方法.探究二:【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,|=(0<<),则A(0,1),P(,),E(1,),F(,0),=(-,1-),=(-1,-),|=,|=,|=|,PA=EF.【小结】用向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底,并利用向量的数量积和公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入向量的模的公式即可.探究三:【解析】如图,作OACB,使AOC=30°,BOC=60°.在OAC中,ACO=BOC=60°,OAC=90°,所以|=|cos 30°=300×=150(N),|=|sin 30°=300×=150(N),|=|=150(N).即与铅垂线成30°的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60°的绳子的拉力是150 N. 【小结】力是向量,几个分力形成的合力符合向量加法的平行四边形法则,在解决与力有关的问题时要注意力的合成与分解.思维拓展应用应用一:(法一)(基向量的方法)设=a,=b,根据已知|a|=|b|且a·b=0.设=a,则=(a+b),=b,所以=-=a-(a+b)=(-1)a-b,=-=(a+b)-b=a+(-1)b.所以·=a+(-1)b·(-1)a-b=(2-)a2-(2-)b2=0.所以PAEF.(法二)(坐标的方法)以点D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,|=(0<<),则A(0,1),P(,),E(1,),F(,0),于是=(-,1-),=(-1,-),·=(-)·(-1)+(1-)·(-)=-·(-1+1-)=-×0=0.PAEF.应用二:设=a,=b,则=a+b.由与共线,因此存在实数m,使得=m(a+b).又由与共线,因此存在实数n,使得=n=n(b-a).由=+=+ n,得m(a+b)=a+n(b-a).整理得(m+n-1)a+(m-n)b=0.由于向量a、b不共线,所以有解得所以=.同理=.于是=.所以AR=RT=TC.应用三:=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),(1)W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=-99,W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=-3.(2)W=F·=(F1+F2)·=(9,-1)·(-13,-15)=-102.基础智能检测1.Af(x)=(x a+b)·(a-x b)=-a·b x2+(|a|2-|b|2)x+a·b,若函数f(x)的图象是一条直线,即其二次项系数为0,a·b=0,ab.2.B+=0,=,四边形ABCD为平行四边形,·=0,对角线垂直,四边形为菱形.3.作DFAB,设AB=AC=1BC=DE=,DEB=60°,BD=.由DBF=45°解得DF=BF=×=,故x=1+,y=.4.解:(1)设江水、船在静水中的速度向量分别为、,如图,以OA、OB为边作平行四边形,则由平行四边形法则知船的横渡江的速度向量为.,sinBOC=,BOC=30°,AOB=120°,即轮船的航行方向与江水流速的方向成120°角.(2)由(1)知轮船速度向量为,且|=|cos BOC=6×cos 30°=3,则所求轮船到达对岸所需的时间t= h.全新视角拓展(1)|BC|=4.线段BC的中点坐标为E(0,1).2|AE|=2=2.以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长为4,2.(2)=(-2,-1),=(3,5).(-t)·=·-t,易求·=-11,=5,由(-t)·=0,得t=-.
