通信工程毕业设计（论文）基于Matlab的IIR数字滤波器设计.doc

存档编号 华北水利水电学院North China University of Water Resources and Electric Power 毕 业 设 计题目 基于Matlab的IIR数字滤波器设计学 院 信息工程学院 专 业 通信工程 姓 名 学 号 指导教师 完成时间 2012年5月20日 教务处制独立完成与诚信声明本人郑重声明：所提交的毕业设计（论文）是本人在指导教师的指导下，独立工作所取得的成果并撰写完成的，郑重确认没有剽窃、抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为。文中除已经标注引用的内容外，不包含其他人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。毕业设计（论文）作者签名： 指导导师签名： 签字日期： 签字日期：毕业设计（论文）版权使用授权书本人完全了解华北水利水电学院有关保管、使用毕业设计（论文）的规定。特授权华北水利水电学院可以将毕业设计（论文）的全部或部分内容公开和编入有关数据库提供检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段复制、保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交毕业设计（论文）原件或复印件和电子文档（涉密的成果在解密后应遵守此规定）。毕业设计（论文）作者签名： 导师签名：签字日期： 签字日期：目 录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 数字滤波器技术概述11.2 滤波器的分类21.3 数字滤波器的工作原理31.4 Matlab软件简介4第2章 数字滤波器基础52.1 数字滤波器概述52.2 系统的描述62.3 系统的传递函数72.4 IIR数字滤波器的基本结构72.4.1 直接I型82.4.2 直接II型92.4.3 级联型102.4.4 并联型113.1 用脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器133.2 脉冲响应不变法优缺点153.3 用双线性变换法设计IIR数字滤波器153.4 双线性变换法优缺点174.1 双线性数字滤波器设计步骤194.2 用Matlab设计模拟低通滤波器194.3 用Matlab设计IIR滤波器的实例224.4 利用所设计的IIR滤波器处理波形254.5 利用滤波器处理音频波形28参考文献33附录一 外文原文及翻译34附录二 利用Matlab实现IIR滤波器设计源程序46华北水利水电学院本科生毕业设计（论文）开题报告56基于Matlab的IIR数字滤波器设计摘要在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号分析都是基于滤波器而进行的。而数字滤波器是通过数值运算实现滤波，具有处理精度高，稳定，灵活，不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能，IIR数字滤波器具有阶数较低，所用的存储单元较少，效率高，精度高，而且保留了一些模拟滤波器的优良特性，因而应用很广，对于IIR数字滤波器的研究就显得颇为重要，本文就基于Matlab软件对IIR数字滤波器进行设计。文中首先对数字滤波器作了简要的叙述。介绍了数字滤波器的分类情况，并对其工作原理进行了简要描述。然后文中对IIR数字滤波器的设计基础作了一定的介绍。讨论了用脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理及优缺点。最后文中采用的设计方法是双线性变换法结合Matlab工具箱函数设计出相应IIR数字滤波器，运行出幅频和相频特性图，然后利用设计出的滤波器实现对给出信号的滤波处理，并观察滤波效果。关键字：IIR数字滤波器；Matlab；双线性变换法； Design of the Matlab-based IIR digital filterAbstractIn modern communication systems, because the signal is often mixed with a variety of complex composition, so a lot of signal analysis is carried out based on filter. The digital filter is filtering through numerical computation with high precision, stable, flexible, there is no impedance matching, analog filters can not be achieved special filtering, IIR digital filter order lower, less storage unit, high efficiency, high precision, and retained some of the good characteristics of the analog filter, and thus a very wide application, it is quite important for the IIR digital filter, based on Matlab software IIR digital filter design. First, a brief description of the digital filter. Classification of a digital filter, and a brief description of its working principle. And IIR digital filter design basis was made by the introduction of. The principle of invariance and bilinear transformation method design IIR digital filter with impulse response and the advantages and disadvantages. Finally, the design method is the bilinear transformation method combined with the Matlab toolbox function design IIR digital filter, run the amplitude-frequency and phase-frequency characteristic diagram, and then use the filter design to achieve given the signal of the filter processing , and observe the filtering effect. Key words: IIR digital filter; Matlab ; Bilinear transform 第1章 绪论1.1 数字滤波器技术概述数字滤波器是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种算法或装置。数字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达到改变信号频谱的目的。数字滤波器一词出现于60年代中期。由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已经可以用计算机软件实现，也可以用大规模集成数字硬件实时实现。数字滤波器是一个离散时间系统（按预定的算法，将输入离散时间信号转换为所要求的输出离散时间信号的特定功能装置）。用数字滤波器处理模拟信号时，首先应对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍，其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即二分之一抽样频率点呈镜像对称。为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出信号应经数模转换、平滑。数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。数字滤波器在语言信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用1。数字滤波器领域的一个重要发展标志是对有限冲激响应（FIR）和无限冲激响应（IIR）关系认识的转化。初期，一般认为IIR滤波器比FIR滤波器具有更高的运算效率，因而都很倾向前者，然而当人们提出用快速傅里叶变换（FFT）实现卷积运算的概念之后，发现高阶FIR滤波器也可以用很高的运算效率来实现，这就促使人们对于高性能的FIR滤波器的设计方法和滤波器的领域设计方法进行了大量的研究，从而使此后的数字滤波器设计中频域方法和时域方法并驾齐驱的局面。然而，这些均属于数字滤波器的早期的研究。70年代科学技术的蓬勃发展，数字信号处理开始与大规模和超大规模集成电路技术、高速数字算术单元、微处理技术、双极性高密度半导体存储器、电荷转移器件等新技术新工艺结合了起来，并且引进了计算机辅助设计方法，这使数字滤波器的设计不仅仅是对相应模拟滤波器的逼近。这样，数字滤波器的分析与设计内容也更丰富起来，各种新的数字信号处理系统，也都能用专用的数字硬件加以实现2。数字信号处理理论与技术的发展，替代了原来的模拟信号处理中的线性滤波与频谱分析所应用的模拟计算机和分立L、C、R线性网络，高度发挥了数字技术与计算技术相结合的特色和优越性。特别是微处理器和微型计算机技术的高速发展，将更有利于电子仪器与电子技术应用系统朝着数字化、自动化、小型化以及多功能的方向发展，促使其成为富有智能的电子系统。现在，包括数字滤波器在内的数字信号处理技术正以飞快的速度朝这方面发展，据统计这种趋势还要持续一个较长的时期，未来的发展可能会比过去更能激动人心，其必将引领一些一些领域的飞跃性发展。1.2 滤波器的分类滤波器是一种选频的装置，对某一频率范围内的电信号给以很小的衰减，使其能顺利通过，对其它频率的电信号则给以很大的衰减，从而尽可能的阻止其通过。通过滤波器时不受衰减或者很小衰减的频带称为通带，经受的衰减超过规定值的频带称为阻带，位于通带和阻带之间的称为过渡带。于是，可根据通带的不同，滤波器可分为低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器、带通滤波器等。此外，还可根据处理的信号类型，可分为模拟滤波器和数字滤波器，模拟滤波器用来处理连续信号，数字滤波器处理离散信号，后者是在前者基础上发展起来的。数字滤波器相对于模拟滤波器，其优点主要是精度高、稳定性强、灵活性好、便于大规模集成和可实现多维滤波等。目前，在诸如通信、雷达、声纳、测量、语言和生物医学等科学领域的信号处理中，已经运用了数字处理技术，而且随着数字计算技术和大规模集成电路技术的发展，它的应用会越来越广泛。数字滤波器按照单位冲激响应h(n)的时域特性可分为无限脉冲响应(Infinite Impulse Response，IIR)和有限脉冲响应(Finite Impulse Response，FIR)系统，即如果单位取样响应是无限时宽的，称为IIR系统；如果单位取样响应是有限时宽的，称为FIR系统。数字滤波器按照实现方法和结构形式可分为递归型和非递归型两类。IIR滤波器系统函数的极点可以位于单位圆内的任何地方，因此用较低的阶数就能得较高的选择性，所用的存储单元少，且效率高，但是系统函数的极点也可能位于单位圆外，可能引起系统的不稳定。同时，IIR滤波器是递归结构，其相位是非线性的，并且它的选择性越好，相位的非线性就越严重。相反FIR滤波器却能得到严格的线性相位，然而由于FIR滤波器系统函数的极点固定在原点，所以需要用较高的阶数来实现其高选择性，对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数要比IIR高510倍，因此成本较高，信号的延迟也较大，但如果要求相同的线性相位，则IIR滤波器就必须要加全通网络进行相位校正，同样的也要增加滤波器网络的节点数和复杂性。FIR滤波器可以采用非递归方法实现，在有限精度下不会产生振荡，同时由于系数的不确定性及量化舍入所引起的误差要比IIR滤波器小的多，并且FIR滤波器可以运用FFT算法，运算速度快。但是不像IIR滤波器可以借助模拟滤波器的成果。FIR滤波器没有现成计算公式，必须借助计算机软件(如Matlab)来计算。可知，FIR滤波器应用比较广，而IIR滤波器则在相位要求不是很严格的场合使用3。1.3 数字滤波器的工作原理数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性:。其中、分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱经过滤波后,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。 数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为： 系统函数为：设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数4。1.4 Matlab软件简介Matlab是Matrix Laboratory的缩写，是由美国The MathWorks公司出版的一款商业数学软件。Matlab是一种用于算法开发、数据分析、数据可视化及数值计算的高级计算机语言和交互环境，除了绘制函数、矩阵运算、绘制数据图像等常用功能外，Matlab还可以用来创建用户界面以及能调用其他的语言(C、C+和FORTRAN等)编写的程序。70年代末80年代初，美国新墨西哥大学教授克里夫·莫勒尔(Cleve Moler)出于方便学生的目的，独立编写了第一个版本的Matlab，此版本能进行简单的矩阵运算，例如计算行列式、矩阵转置和本征值等。1984年，杰克·里特(Jack Little)、斯提夫·班格尔特(Steve Bangert)和克里夫·莫勒尔一起成立了MathWorks公司,正式的把Matlab推向商业市场。起初Matlab是由克里夫·莫勒尔利用FORTRAN语言编写的，后来又利用C语言重新编写并增加了一些新的功能，同时，里特还开发了第一个系统控制工具箱，其中里面的一些代码至今仍在使用，C语言版的Matlab1.0在IEEE决策与控制会议正式推出，到1992年，学生版的Matlab推出；1993年，Windows版的Matlab推出，1995年，推出了Linux版5。第2章 数字滤波器基础2.1 数字滤波器概述数字滤波器是一个离散的LTI（线性时不变）系统，离散LTI系统模型如图2-1：图2-1 离散LTI系统模型注：x(n)、y(n)分别是系统的输入输出序列，h(n)是系统本身的特性(转移算子)。系统对于输入的离散序列x(n)总有对应的输出y(n)。x(n)是离散的信号,每个x(k)可能有不同的幅值,有了前后不同幅值的变化,就可以引出离散信号的频率这一性质。数字滤波器就是对不同频率的数字信号从频域进行信号分离的时序电路或器件或一段程序5。数字滤波器按功能分为高通、低通、带通、带阻、全通滤波器。 （2-1） （2-2）由序列傅氏变换公式知，离散信号的傅氏变化是的函数，周期为2。只需研究-,，而不需要在整个轴上分析其信号。所以，数字滤波器的通带分布如图2-2所示。 图2-2 数字滤波器的通带分布2.2 系统的描述模拟系统一般用微分方程描述，离散系统则常用差分方程来描述。差分方程可分为非递归型和递归型两大类：1、非递归型：输出对输入无反馈，其输出值只取决于输入值。 （2-3）若系统是线性、移不变、因果的，则有 （2-4）若又有k>N时，=0，则 （2-5）2、递归型：输出对输入有反馈，输出取决于输入和反馈。 （2-6）若系统是线性、移不变、因果的，则有 (2-7)2.3 系统的传递函数IIR数字滤波器的差分方程的一般形式为： （2-8）对两边进行双边z变换得： （2-9）可得IIR数字滤波器的传递函数： （2-10）2.4 IIR数字滤波器的基本结构无限长单位取样响应IIR系统的主要特点是：1、单位取样响应无限长，即h(n)，；2、系统函数H(z)在有限平面z上有极点存在；3、结构上存在着输出到输入的反馈网络，即结构是递归的。实现系统的传递函数H(z)，可以用不同的结构形式，其主要结构形式有以下三种：1、直接型：此形式中，差分方程（2-8）以给定的形式直接实现。系统可分为两个部分，滑动平均部分和递归部分（或者分子和分母部分）。所以这种实现有两种形式，即是直接型和直接型结构。2、级联型：此形式中，把系统的传递函数H(z)因式分解成二阶子系统，每个子系统叫做二阶环节，因此系统的传递函数可表示成这些二阶环节的乘积形式。每个二阶环节以直接形式出现，整个系统的传递函数由二阶环节的级联实现。3、并联型：此形式与级联的形式类似，但因式分解后，是用部分分式展开把H(z)表示成二阶子系统的和，每一个子系统由直接形式实现。整个系统的传递函数以子系统的并联网络实现。以下对这三种主要结构做具体介绍。2.4.1 直接I型从（2-8）式的差分方程可以看出，系统的输出y(n)由两个部分构成：第一部分是，表示将输入信号进行延时，组成M节的延时网络，把每节延时抽头与常系数相乘，然后再把结果相加，这是一个横向结构网络。即实现零点的网络。第二部分为，表示将输出信号进行延时，组成N节的延时网络，把每节延时抽头后与常系数相乘，然后再把结果相加。由于这部分是对输出的延时，故为反馈网络，这部分网络实现极点。系统的输出y(n)由以上这两部分组成，其信号流程图如图2-3所示。该图表示的是直接型IIR系统的结构。图2-3 直接型2.4.2 直接II型图2-3中的系数组相应于H(z)的分子多项式，而系数组相应于H(z)的分母多项式。因此，图2-3可以解释为两个系统的级联组成。在线性时不变系统情况下，级联型系统总的输入-输出关系和子系统的先后次序无关。如果先实现H(z)的极点，后实现H(z)的零点，并且合并的支路，则可得出IIR系统直接型结构，其信号流图如图2-4所示。直接型结构的IIR系统的表达式如式（2-11）所示： （2-11）图2-4 直接型对于N阶差分方程，直接型结构只需N个延时单元，比直接型结构的延时单元少一半。因而在软件实现时可以节省存储单元。而在硬件实现，可节省寄存器，故直接型IIR系统结构好于直接型IIR系统结构。直接型的共同缺点：1、对滤波器的性能控制作用都不明显。2、极点对系数的变化很灵敏，容易出现不稳定或较大误差。3、运算的累积误差大。2.4.3 级联型直接形式网络结构可直接由（2-10）式的系统函数得到。如果把分子分母多项式都进行因式分解，则可将H(z)写成： （2-12）式中的和。在式（2-12）中，一阶因式表示实零点和实极点。而二阶因式表示共轭零点和，以及共轭极点和。当在式（2-10）中的所有系数都为实数时，式（2-12）表示了该系统的极点和零点的分布。此式表示由一阶与二阶子系统级联组成的一组结构形式。而我们已知，一个N阶的系统函数可以用它的零、极点表示。由于H(z)的系数均为实数，因此零、极点只有两种可能，可能为实数，或者为复共轭对。则整个系统函数可以完全分解成实系数二阶因子的形式，即 （2-13）其中表示(N+1)/2的最大整数。在此情况下我们已经假设，在将H(z)写成此形式时，假设实数极点和实数零点都已经合并，并具有奇数个数零点，则系统有一个等于零。同样，如果具有奇数个数极点，则系统也有一个等于零。从前面对直接形式的讨论知道，如果每个二阶子系统用直接型实现，就可以得到使用存储最少的级联结构。一个四阶的系统的级联结构如图2-5所示：图2-5 四阶IIR数字系统的级联结构应该特别指出：1、级联型结构的灵敏度特性优于直接型结构。2、每一级分子的系数确定一对零点，分母的系数确定一对极点，由于子网络的零极点也即整体网络的零极点，所以整个系统的零极点都能准确的由每一级的系数来调整和控制，这样便于调整滤波器的频率响应性能。3、级联结构具有的存储器最少。2.4.4 并联型作为系统函数的另外一种表示形式，可以将H(z)表示成如下形式的部分分式进行展开： （2-14）由于在式(2-10)中的H(z)系数为实数，因此，此式中各系数均为实数。如果，则在式(2-14)中不包括项。上式可以解释为一阶与二阶系统的并联组合。如果将实数极点成对组合，则可写成 (2-15)对应的信号流程图如图2-6所示：图2-6 N阶IIR数字系统的并联结构并联支路的极点也是整个网络的极点，而并联支路的零点却不是整个网络的零点，因此并联网络能独立的调整系统的极点位置，但不能控制零点。并联结构的灵敏度优于直接型，运算累积误差比级联型小7。第3章 IIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为：假设MN，当MN时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数 和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。3.1 用脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足h(n)=ha(nT)，式中,T是采样周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得（3-1）式： (3-1) 由图1可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的 Z 面，这个从s到z的变换是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。图3-1脉冲响应不变法的映射关系由（3-1）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为： (3-2) 这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即： (3-3) 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即： (3-4)但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图3-2所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。图3-2脉冲响应不变法中的频响混叠现象对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。3.2 脉冲响应不变法优缺点从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系=T。因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。3.3 用双线性变换法设计IIR数字滤波器脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一个缺点，可以采用非线性频率压缩的方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图3所示。 图3-3 双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴j压缩到S1平面j1轴上的-/T到/T段上，可以通过以下的正切变换实现 （3-5） 式中,T仍是采样间隔。当1由-/T经过0变化到/T时，由-经过0变化到+，也即映射了整个j轴。将式（3-5）写成将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令，则得再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为： （3-6） （3-7） 式（3-6）与式（3-7）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。式（3-5）与式（3-6）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。首先,把，可得式（3-8） （3-8） 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次，将 代入式（2-8），得 因此 由此看出，当<0时，|z|<1；当>0时，|z|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。3.4 双线性变换法优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（3-8）所示，重写如下： 上式表明，S平面上与Z平面的成非线性的正切关系，如图4所示。由图3-4看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。图3-4双线性变换法的频率变换关系第4章 IIR数字滤波器的设计4.1 双线性数字滤波器设计步骤对于数字高通、带通和带阻滤波器的设计，通用的方法为双线性变换。可以借助于模拟滤波器的频率变换设计一个所需类型的过度模拟滤波器，再通过双线性变换将其转换成所需类型的数字滤波器。流程图如图4-1所示8图4-1 双线性数字滤波器设计步骤流程图4.2 用Matlab设计模拟低通滤波器我们用Matlab工具箱函数设计低通巴特沃斯滤波器。Matlab信号处理工具箱函数buttap,buttord,butter是巴特沃斯滤波器设计函数。其调用格式如下： 1） Z, P, k=buttap( N ) 该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化（3 dB截止频率c=1）模拟低通原型滤波器系数函数的零，极点和增益2。返回长度为N的列向量和，分别给出个零点和极点的位置，表示滤波器增益。2） N, Wc= buttord（wp， ws， Rp， As）该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。调用参数wp和ws分别为数字滤波器的通带边界和阻带边界频率的归一化值。3） N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s)该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。Wp、ws和wc是实际模拟角频率（rad/s）.4） B, A=buttord(N, wc, ftype)计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式系数向量B和A。5） B, A=butter(N, wc, ftype, s)计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量B和A。 Ftype=high时，设计3dB截止频率为wc的高通滤波器。缺省ftype是默认设计低通滤波器。Ftype=stop是，设计3dB截止频率为wc的高通滤波器。此时wc为二元向量wcl, wcu,wcl和wcu分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率。缺省ftype时设计带通滤波器，通带为频率区间wcl<w<wcu。8例：已知通带截止频率f =5 kHz，通带最大衰减a =2 dB，阻带截止频率f =12 kHz，阻带最小衰减a =30 dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。程序：wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30; %设置滤波器参数N, wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s); %计算滤波器阶数N和3dB截止频率wcB,A=butter(N, wc,s); %计算滤波器系统函数分子分母多项式系数K=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B, A, wk);subplot(1, 1, 1);plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk);grid onXlabel(频率(kHz);ylabel(幅度（dB）);axis(0, 14 -40 ,5)运行结果： N=5，wc=3.7792e+004，B=7.7094e+022 A=1 1.2230e+005 7.4785e+009 2.8263e+014 6.6014e+018 7.7094e+022其幅频响应曲线如图4-2所示：图4-2 巴特沃斯模拟低通滤波器的幅频响应曲线设计模拟高通、带通和带阻滤波器的过程是：(1) 通过频率变化公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标(2) 设计相应的低通滤波器系统函数.(3) 对系统函数进行频率变换，得到所设计的滤波器系统函数。 4.3 用Matlab设计IIR滤波器的实例1. 设计低通数字滤波器，频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试双线性变换法设计数字滤波器。程序见附录II中1.低通滤波器程序,其幅频相频特性图如图4-3所示：图4-3 数字低通滤波器幅频相频特性曲线图2. 设计一个数字高通滤波器，通带截止频率fp=200hz，阻带截止频率fs=150hz；通带衰减不大于1dB，阻带衰减不小于15dB。采样频率Fs=1000hz 。程序见附录II中2. 高通滤波器程序，其幅频相频特性图如图4-4所示：图4-4 数字高通滤波器幅频相频特性曲线图3. 设计一个带通滤波器，采样频率Fs=1000Hz，fpl=110Hz, fpu=190Hz, fsl=100Hz, fsu=200Hz, rp=3dB, rs=15dB。程序见附录II中3. 带通滤波器程序，其幅频相频特性图如图4-5所示： 图4-5 数字带通滤波器幅频相频特性曲线图4 .设计一个带阻滤波器，采样率为1000Hz，fpl=90Hz,fpu=210Hz，fsl=100Hz,fsu=200Hz，Rp=3dB，Rs=15dB。程序见附录II中4. 带阻滤波器程序，其幅频相频特性图如图4-6所示：图4-6 数字带阻滤波器幅频相频特性曲线图4.4 利用所设计的IIR滤波器处理波形分别运用4.3中所设计的低通滤波器对信sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*200*t)进行滤波，并观察滤波效果，滤波前信号波形图如下图4-7 信号滤波前时域和频域图1. 利用低通滤波器对信号进行滤波，程序见附录II中1.低通滤波器程序，运行结果如下图图4-8 信号经低通滤波后时域频域图2. 利用高通滤波器对信号进行滤波，程序见附录II中2. 高通滤波器程序，运行结果如下图图4-9 信号经高通滤波后时域和频域图3. 利用带通滤波器对信号进行滤波，程序见附录II中3. 带通