数学分析之数项级数.doc

第十二章 数项级数 教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。 教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。 教学时数：18学时 § 1 级数的收敛性 一       概念 ： 1      级数 ：级数 ，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第 项 ), 前 项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 .2.          级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！）解 时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ; 时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 .综上, 几何级数 当且仅当 时收敛, 且和为 ( 注意 从0开始 ). 例2 讨论级数 的敛散性. 解（利用拆项求和的方法）例3  讨论级数 的敛散性.解 设 , , = , . , . 因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数 的敛散性.解 , . 级数发散.3.          级数与数列的关系 : 对应部分和数列 , 收敛 收敛;对每个数列 , 对应级数 , 对该级数, 有 = . 于是,数列 收敛 级数 收敛.可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 .  4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中 . 无穷积分可化为级数 ;对每个级数, 定义函数 , 易见有= . 即级数可化为无穷积分.综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 二.            级数收敛的充要条件 Cauchy准则 ：把部分和数列 收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的Cauchy准则 . Th ( Cauchy准则 ) 收敛 和 N, . 由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前 项的级数表为 或.系 ( 级数收敛的必要条件 ) 收敛 . 例5 证明 级数 收敛 .证 显然满足收敛的必要条件 . 令 , 则当 时有应用Cauchy准则时，应设法把式 | |不失真地放大成只含 而不含 的式子，令其小于 ，确定 . 例6 判断级数 的敛散性. ( 验证 . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )例7  ( 但级数发散的例 ) 证明调和级数 发散 .证法一 ( 用Cauchy准则的否定进行验证 )   证法二 证明 发散. 利用已证明的不等式. 即得 ， . 三 收敛级数的基本性质：（ 均给出证明 ） 性质1 收敛， Const 收敛且有 = ( 收敛级数满足分配律 ) 性质2 和 收敛 ， 收敛, 且有 = .问题 : 、 、 三者之间敛散性的关系.性质3 若级数 收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变 . ( 收敛数列满足结合律 ) 例8 考查级数 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题 ?§ 2 正项级数 一. 正项级数判敛的一般原则 : 1.          正项级数 : ; 任意加括号不影响敛散性.2.          基本定理 : Th 1 设 . 则级数 收敛 . 且当 发散时, 有, . ( 证 )正项级数敛散性的记法 .3.          正项级数判敛的比较原则 : Th 2 设 和 是两个正项级数 , 且 时有 , 则 > < , < ; > = , = .( > 是>的逆否命题 )例1  考查级数 的敛散性 .解 有 例2 设 . 判断级数 的敛散性 . 推论1 ( 比较原则的极限形式 ) 设 和 是两个正项级数且 ,则 > 时 , 和 共敛散 ; > 时 , < , < ; > 时 , = , = . ( 证 ) 推论2 设 和 是两个正项级数 , 若 = ， 特别地 ，若 , ， 则< = . 例3 判断下列级数的敛散性: ; ( ) ; ; .  二.            正项级数判敛法: 1 检比法： 亦称为 Dalembert判别法 .用几何级数作为比较对象 , 有下列所谓检比法 .Th 3 设 为正项级数 , 且 及 时 > 若 , < ; > 若 , = . 证 > 不妨设 时就有 成立 , 有 依次相乘 , , 即 . 由 , 得 , < . > 可见 往后递增 , .推论 ( 检比法的极限形式 ) 设 为正项级数 , 且 . 则 > < , < ; > > 或 = , = . ( 证 )註 倘用检比法判得 = , 则有 .检比法适用于 和 有相同因子的级数,特别是 中含有因子 者. 例4 判断级数  的敛散性.解 , . 例5 讨论级数 的敛散性. 解 . 因此, 当 时, ; 时, ; 时, 级数成为 , 发散. 例6 判断级数 的敛散性 . 注意 对正项级数 ，若仅有 ，其敛散性不能确定 . 例如对级数 和 , 均有 ，但前者发散, 后者收敛 . 2. 检根法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设 为正项级数 , 且 及 , 当 时 , > 若 , < ; > 若 , = . ( 此时有 .) ( 证 )推论 ( 检根法的极限形式 ) 设 为正项级数 , 且 . 则 , < ; , = . ( 证 )检根法适用于通项中含有与 有关的指数者 . 检根法优于检比法.  例7 研究级数 的敛散性 . 解 , . 例8 判断级数 和 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用检根法判得其收敛 .   3 积分判别法 ： Th 5 设在区间 上函数 且 . 则正项级数 与积分共敛散. 证 对 且 .  例9 讨论 级数 的敛散性.解 考虑函数 0时 在区间 上非负递减 . 积分当 时收敛 , 时发散. 级数 当 时收敛 ,时发散. 时, , 级数发散.综上 , 级数 当且仅当 时收敛 .  例10 讨论下列级数的敛散性: ; . 习 题 课 一 直接比较判敛：   对正项级数，用直接比较法判敛时 , 常用下列不等式: . 对 , 有 . ; 特别地 , 有 , . 时 , 有 . . 充分大时 , 有 . 例1 判断级数 的敛散性. 解 时, , ( 或 ). 例2 判断级数 的敛散性 , 其中 . 解 时 , 有 ; 时 , .例3 设数列 有界 . 证明 .证 设 . 例4 设 且数列 有正下界 . 证明级数 .证 设 . 例5 . 若 , 则 .证 ; 又 . 例6 设 . 若级数和 收敛 ,则级数 收敛.例7 设 . 证明 , , ; 和 之一或两者均发散时, 仍可能收敛 ; , , .证 充分大时 , . 取 . .   二. 利用同阶或等价无穷小判敛 :   例8 判断下列级数的敛散性: ; ; ; ; .  例9 判断下列级数的敛散性: ; .註 设正项级数 的通项 为 的有理分式 . 当 为 的假分式时, 由于 , ; 若 为 的真分式 , 倘用检比法, 必有 .有效的方法是利用等价无穷小判别法. 例10 设函数 在点 有连续的二阶导数, 且 . 试证明: 若 , 则级数 发散. 若 , 则级数 收敛. （ 2002年西北师大硕士研究生入学试题 ） 解 把函数 在点 展开成带二阶Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有, 介于 与 之间. 若 ,则当 充分大时 不变号, 可认为 是同号级数. 有 , 发散. 若 注意到 在点 连续, 在点 的某邻域内有界, 设, 有 | |= . , 收敛. 如例10所示 ，当 时 ，常用Maclaurin公式确定 的等价无穷小. 例11 判断级数 的敛散性 , 其中 且 . 解   三 利用级数判敛求极限 ：   原理 : 常用判定级数 收敛的方法证明 或 .例12 证明 . 例13 证明 .例14 设 . 若 , .证 对 , 由 , 有 , 即 ; , 即 .于是 , 时总有 . 此即 . § 3 一般项级数  一. 交错级数 : 交错级数 , Leibniz型级数 .  Th 1 ( Leibniz ) Leibniz型级数必收敛 , 且余和的符号与余和首项相同 , 并有.证 ( 证明部分和序列 的两个子列 和 收敛于同一极限 . 为此先证明 递增有界. ) , ; 又 , 即数列 有界.由单调有界原理, 数列 收敛 . 设 . .由证明数列 有界性可见 , . 余和 亦为型级数, 余和 与 同号, 且 . 例1 判别级数 的敛散性.解 时 , 由Leibniz判别法, 收敛; 时, 通项 , 发散. 二. 绝对收敛级数及其性质 :   1.   绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz级数为例, 先说明 收敛 绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) , 收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ).  一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛.   例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 .  2. 绝对收敛级数可重排性 : 同号项级数 ： 对级数 ，令 则有 > 和 均为正项级数 , 且有 和; > , . 同号项级数的性质: Th 3 > 若 ， 则 ， . > 若 条件收敛 , 则 , . 证 > 由 和 , > 成立 . > 反设不真 , 即 和 中至少有一个收敛 , 不妨设 .由 = , = 以及 和 收敛 , .而 , ,与条件收敛矛盾 . 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念.   Th 4 设 是 的一个更序 . 若 , 则 , 且= .证 > 若 ，则 和 是正项级数 , 且它们的部分和可以互相控制.于是 , , , 且和相等 . > 对于一般的 , = , = .正项级数 和 分别是正项级数 和 的更序 . 由 , 据Th 1 , 和 收敛 . 由上述>所证 , 有 , , 且有= , = , = .由该定理可见 , 绝对收敛级数满足加法交换律 .是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 .Th 5 ( Riemann ) 若级数 条件收敛 , 则对任意实数 ( 甚至是 ) , 存在级数 的更序 , 使得 = .证 以Leibniz级数 为样本 , 对照给出该定理的证明 .关于无穷和的交换律 , 有如下结果: > 若仅交换了级数 的有限项 , 的敛散性及和都不变 . > 设 是的一个更序 . 若 , 使 在 中的项数不超过 ,则 和 共敛散 , 且收敛时和相等 . 三. 级数乘积简介: 1. 级数乘积 : 级数乘积 , Cauchy积. 1 P2021. 2级数乘积的Cauchy定理: Th 6 ( Cauchy ) 设 , , 并设 = , = . 则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛 , 且乘积级数的和为 . ( 证略 ) 例3 几何级数 是绝对收敛的. 将 按Cauchy乘积排列, 得到 . 四. 型如 的级数判敛法： 1Abel判别法： 引理1 （分部求和公式，或称Abel变换）设 和 （ ）为两组实数.记 . 则 .证 注意到 , 有 .  分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上 , .可见Abel变换式中的 相当于上式中的 , 而差 相当于 , 和式相当于积分.引理2 ( Abel ) 设 、 和 如引理1 .若 单调 , 又对 ,有 ，则 .证 不妨设 . .系 设 , ( ). 和 如. 有 . ( 参引理2证明 )Th 7 (Abel判别法 ) 设 > 级数 收敛，> 数列 单调有界 . 则 级数 收敛 .证 ( 用Cauchy收敛准则 , 利用Abel引理估计尾项 )设 , 由 收敛 , 对 时 , 对 , 有 . 于是当 时对 有 . 由Cauchy收敛准则 , 收敛. 2. Dirichlet判别法: Th 8 ( Dirichlet) 设 > 级数 的部分和有界, > 数列 单调趋于零 . 则级数 收敛 .证 设 , 则 , 对 , 有 . 不妨设 0 , 对 . 此时就有 . 由Cauchy收敛准则 , 收敛.取 0 , , 由Dirichlet判别法 , 得交错级数 收敛 . 可见Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.由Dirichlet判别法可导出 Abel判别法 . 事实上 , 由数列 单调有界 , 收敛 , 设 . 考虑级数 , 单调趋于零 , 有界, 级数 收敛 , 又级数 收敛, 级数 收敛. 例4 设 0. 证明级数 和 对 收敛. 证 ，时 ， ， . 可见 时, 级数 的部分和有界 . 由Dirichlet判别法推得级数收敛 . 同理可得级数数 收敛 . 习 题 课 例1 判断级数 的敛散性 . 解 注意到 , 所论级数绝对收敛 , 故收敛. ( 用D-判法亦可). 例2 考查级数 的绝对及条件收敛性 . 解 时为Leibniz型级数, , 条件收敛 ;   时 , 绝对收敛 . 例3 若 . 交错级数 是否必收敛 ? 解 未必. 考查交错级数 . 这是交错级数 , 有 . 但该级数发散 . 因为否则应有级数 收敛 . 而 .由该例可见 , 在Leibniz判别法中 , 条件 单调是不可少的. 例4 判断级数 的敛散性. 解 从首项开始,顺次把两项括在一起, 注意到 , 以及 级数 , 所论级数发散. 例5 设级数 收敛. 证明级数 收敛. 证 . 由Abel或Dirichlet判法, 收敛. 例6 , 判断级数 的敛散性. 解 . , 现证 级数 收敛 : 因 时不 , 又 , 由Dirichlet判法, 级数 收敛.故本题所论级数发散.  例7 判断级数 的绝对收敛性. 解 由Dirichlet判法,得级数收敛.但.   仿例6 讨论,知本题所论级数条件收敛. 例8 设级数绝对收敛,收敛. 证明级数 收敛.证 先证数列收敛 . 事实上, 收敛 ,收敛. 令 , 则数列 收敛 ,故有界 . 设 , 于是由Abel变换, 有 , ( 或 而 , 收敛. 又 数列 和 收敛, 数列 收敛 , 部分和数列 收敛. 例9 设数列 收敛 , 级数 收敛 . 证明级数 收敛 .证 注意到 , 收敛 . 例10 设 ,.证明级数 收敛. 证法一 由 , , . 因此,所论级数是Leibniz型级数, 故收敛. 证法二 , , . 由Dirichlet判法, 收敛. 第十三章 函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 § 1 一致收敛性 一       函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列 ，介绍概念： 收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.  逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义.   例1 对定义在 内的等比函数列 , 用“ ”定义验证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内.   例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .  . . . . 设 为区间 上的全体有理数所成数列. 令   , . . , . 有 , , . （ 注意 .） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上 , . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3说明连续性未能遗传,而例3说明可积性未能遗传. 例3说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.   定义 ( 一致收敛 )   一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 在数集D上一致收敛, , . ( 介绍另一种形式 .) 证 ( 利用式 ) 易见逐点收敛. 设 ,有 . 令 , 对 D成立, 即 , ， D. 推论1 在D上 , ， . 推论2 设在数集D上 , . 若存在数列 D , 使 , 则函数列 在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 在数集D上非一致收敛时, 常选 为函数 在数集D上的最值点.   验证函数一致收敛性: 例4 . 证明函数列 在R内一致收敛. 例5 . 证明在R内 , 但不一致收敛. 证 显然有 , 在点 处取得极大值 , . 由系2 , 不一致收敛. 例6 . 证明在 内 , . 证 易见 而 在 内成立. 由系1 , 例7 对定义在区间 上的函数列 证明: , 但在 上不一致收敛. P3839 例3, 参图13-4. 证 时, 只要 , 就有 . 因此, 在 上有 . , .于是, 在 上有 . 但由于 , , 因此 , 该函数列在 上不一致收敛. 例8 . 考查函数列 在下列区间上的一致收敛性: ; .   三. 函数项级数及其一致收敛性: 1 函数项级数及其和函数：， , 前 项部分和函数列 ，收敛点，收敛域, 和函数, 余项.   例9 定义在 内的函数项级数( 称为几何级数 ) 的部分和函数列为 , 收敛域为 .   2.       一致收敛性: 定义一致收敛性.   Th2 ( Cauchy准则 ) 级数 在区间D上一致收敛, , 对 D成立. 推论 级数 在区间D上一致收敛, , . Th3 级数 在区间D上一致收敛, . 例10 证明级数 在R内一致收敛 . 证 令 = , 则 时 对 R成立. 例11 几何级数 在区间 上一致收敛；但在 内非一致收敛.   证 在区间 上 , 有 , . 一致收敛 ; 而在区间 内 , 取 , 有 , . 非一致收敛. ( 亦可由通项 在区间 内非一致收敛于零, 非一致收敛.) 几何级数 虽然在区间 内非一致收敛 , 但在包含于 内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数 在区间 内闭一致收敛 . 四.       函数项级数一致收敛判别法: 1.         M - 判别法: Th 4 ( Weierstrass判别法 ) 设级数 定义在区间D上, 是收敛的正项级数.若当 充分大时, 对 D有| , 则 在D上一致收敛 . 证 然后用Cauchy准则. 亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数 是级数 的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数 在区间D上存在优级数 , 则级数 在区间D上一致收敛 . 应用时, 常可试取 .但应注意, 级数 在区间D上不存在优级数 , 级数 在区间D上非一致收敛.   注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.   例12 判断函数项级数 和 在R内的一致收敛性 . 例13 设 是区间 上的单调函数. 试证明 : 若级数与 都绝对收敛, 则级数 在区间 上绝对并一致收敛 . 简证 , 留为作业. .   2. Abel判别法: Th 5 设 > 级数 在区间 上收敛; > 对每个 , 数列 单调 ; > 函数列 在 上一致有界, 即 , 使对 和 , 有. 则级数 在区间 上一致收敛 . ( 1P43 ) 2.      Dirichlet判别法: Th 6 设> 级数 的部分和函数列 在区间 上一致有界; > 对于每一个 , 数列 单调; > 在区间 上函数列 一致收敛于零. 则级数 在区间 上一致收敛 . 例14 判断函数项级数 在区间 上的一致收敛性. 解 记 . 则有> 级数 收敛; > 对每个 , ；> 对 和 成立. 由Abel判别法, 在区间 上一致收敛. 例15 设数列 单调收敛于零 . 试证明 : 级数 在区间 上一致收敛. 证 在 上有 . 可见级数 的部分和函数列在区间 上一致有界 . 取 , . 就有级数 的部分和函数列在区间 上一致有界, 而函数列 对每一个 单调且一致收敛于零.由Dirichlet判别法,级数 在区间 上一致收敛. 其实 , 在数列 单调收敛于零的条件下, 级数 在不包含 的任何区间上都一致收敛. 习 题 课 例1 设 , , . 且 , . 若对每个自然数 有| | 对 成立, 则函数列 在 上一致收敛于函数 . 例2 证明函数列 在区间 上非一致收敛. 例3 , . 讨论函数列 的一致收敛性. 解 0, . | 0| . 可求得 . 函数列 在区间 上非一致收敛. 例4 设函数 在区间 上连续 . 定义 . 试证明函数列 在区间 上一致收敛于零. 证法一 由 有界 . 设在区间 上| | . | | ; | | ; | | .注意到对 , . 0, , . 证法二 . 有界. 设在区间 上| | . 把函数 在点展开成具Lagrange型余项的 阶Taylor公式 , 注意到  , 就有 , , , . 所以 , 0, , . 例5 设 . 且 , . 令   , ,  . .试证明: 若对 和 , 有 , 则函数列 在区间 上一致收敛 . 证 对 取 , 使 时, 有 . 于是对任何自然数 和, 有 . 由Cauchy收敛准则 , 函数列 在区间 上一致收敛 . 例6 设在数集 上函数列 一致收敛于函数 . 若每个 在数集 上有界 , 则函数列 在数集 上一致有界 . 证 ( 先证函数 在数集 上有界 ) 设在 上有| | . 对 ,由函数列 在数集 上一致收敛, ,当 时 , 对 ,有 | | | , | |< . 即函数 在数集 上有界. ( 次证函数列 在数集 上一致有界 ) 时, 对 ,有 | | | | |< , | | . 取 易见对 和 有| | . 即函数列 在数集 上一致有界 . 例7 设 为定义在区间 上的函数列, 且对每个 , 函数 在点 右连续 , 但数列 发散. 试证明: 对 ), 函数列 在区间 内都不一致收敛. 证 反设 , 使 在区间 内一致收敛. 则对 , 有 对 成立. . 为Cauchy列,即 收敛. 与已知条件矛盾.   § 2 一致收敛函数列和函数项级数的性质 一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质: 1.             连续性: Th 1 设在 上 ,且对 ,函数 在 上连续 , 在 上连续. 证 ( 要证 : 对 , 在点 连续 . 即证: 对 , , 当| 时, . ) . 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数 在点 连续, 第二项 也可以任意小 . 推论 设在 上 . 若 在 上间断 ，则函数列 在 上一致收敛和所有 在 上连续不能同时成立. 註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列 , 有 . 即极限次序可换 . 2. 可积性: Th 2 若在区间 上函数列 一致收敛 , 且每个 在 上连续. 则有 . 证 设在 上 , 由Th1, 函数 在区间 上连续,因此可积. 我们要证 . 注意到 , 可见只要 在 上成立. Th2的条件可减弱为: 用条件“ 在 上( R )可积”代替条件“ 在 上连续”.  关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是: Th 设 是定义在区间 上的函数列. 若 在 上收敛且一致可积 , 则其极限函数 在 上( R)可积 , 且有 .   3. 可微性: Th 3 设函数列 定义在区间 上, 在某个点 收敛. 对 , 在 上连续可导, 且由导函数构成的函数列 在 上一致收敛, 则函数列 在区间 上收敛, 且有 . 证 设 ， . , . 对 , 注意到函数 连续和 + , 就有 + （ 对第二项交换极限与积分次序） + + . 估计 | + | | + | ,可证得 . . 即 . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 例1 P38 例1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. ) 例2 P39例2 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. ) Ex P42 9，11 P43 4 . 二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质: 把上述Th13表为函数项级数的语言，即得关于和函数解析性质的相应结果.例3 P40例3 例4 证明函数 在区间 内连续.证 ( 先证 在区间 内闭一致收敛.)对 ，有， ；又 ， 在 一致收敛. ( 次证对 , 在点 连续 ) 对 , 由上段讨论 , 在区间 上一致收敛; 又函数 连续, 在区间 上连续, 在点 连续. 由点 的任意性, 在区间 内连续. 例5 , . 计算积分 .