自动控制原理第6章-频域分析课件.ppt

自动控制原理第6章 频域分析,2023/4/3,第6章 频域分析,2,6.1,频率特性的基本概念,本章内容,6.2,奈奎斯特图分析法,6.3,开环系统的伯德图分析法,6.4,系统的闭环频率特性,6.5,频域性能指标与时域性能指标之间的关系,6.6,Matlab在频域分析中的应用,引 言,时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。频域分析法，是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型频率特性，对系统的性能，如稳定性、快速性和准确性进行分析。建立在频率特性基础上的分析控制系统的频域法补缺了时域分析法中存在的不足，因而获得了广泛的应用。,2023/4/3,第6章 频域分析,3,引 言,频域分析法具有以下特点：（1）控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法或者实验法获得，并可用多种形式的曲线来表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行。（2）频率特性的物理意义明确。频域性能指标和时域性能指标之间有相应的对应关系。（3）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。,2023/4/3,第6章 频域分析,4,6.1频率特性的基本概念,6.1.1 RC网络其微分方程为：,2023/4/3,第6章 频域分析,5,图6-1 RC电路,6.1频率特性的基本概念,令T=RC，为电路的惯性时间常数，则网络的传递函数为：若在网络输入正弦电压，即则有,2023/4/3,第6章 频域分析,6,6.1频率特性的基本概念,经拉氏反变换，得到电容两端的电压为：上式中，c(t)第一项为瞬态分量，随着时问的无限增长瞬态分量衰减为零；第二项为稳态分量。,2023/4/3,第6章 频域分析,7,6.1频率特性的基本概念,令，显然，RC电路的稳态响应为可知，当输入为正弦信号时，网络的稳态输出仍然是与输入电压同频率的正弦信号，输出的幅值是输入的 倍。相角比输入滞后了。,2023/4/3,第6章 频域分析,8,6.1频率特性的基本概念,将输出的稳态响应和输入正弦信号用复数向量表示，则有上式即称为RC网络的频率特性。其中，RC网络的幅频特性为相频特性为,2023/4/3,第6章 频域分析,9,6.1频率特性的基本概念,6.1.2 频率特性的定义系统在正弦信号的作用下，其输出的稳态分量称为频率响应设线性定常系统的传递函数为G(s)，输入量和输出量分别为r(t)和c(t)，且输入信号为正弦信号拉氏变换为,2023/4/3,第6章 频域分析,10,6.1频率特性的基本概念,可以得到设系统输出变量中的稳态分量和瞬态分量分别为cs(t)和ct(t)，则有,2023/4/3,第6章 频域分析,11,6.1频率特性的基本概念,其中A1和A2为待定系数，则有上两式代入最上面公式，并利用数学中的欧拉公式，可以推导出,2023/4/3,第6章 频域分析,12,6.1频率特性的基本概念,式中，就是令G(s)中的s等于，所得到的复数量；为复量 的模，为复量 的相位，也就是输出信号对于输入信号的相位差。,2023/4/3,第6章 频域分析,13,6.1频率特性的基本概念,综上所述，对于线性定常系统，若传递函数为G(s)，当输入量是正弦信号是，其稳态响应cs(t)是同一频率的正弦信号，此时，称稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比，即为系统的幅频特性，称cs(t)与r(t)之间的相位差 为系统的相频特性幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性，或称频率响应。,2023/4/3,第6章 频域分析,14,6.1频率特性的基本概念,6.1.3 频率特性的表示方法频率特性有3种表示方法：1、指数表示2、极坐标表示,2023/4/3,第6章 频域分析,15,6.1频率特性的基本概念,3、直角坐标表示上式中，称为实频特性，称为虚频特性，其中,2023/4/3,第6章 频域分析,16,6.1频率特性的基本概念,6.1.4 频率特性与传递函数之间的关系,2023/4/3,第6章 频域分析,17,6.1频率特性的基本概念,6.1.5 频率特性的性质(1)频率特性描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。因此，频率特性也是一种数学模型。(2)频率特性是在系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。可将频率特性的概念扩展为线性系统正弦输入作用下，输出稳态分量和输入的复数比。因此，频率特性是一种稳态响应。,2023/4/3,第6章 频域分析,18,6.1频率特性的基本概念,(3)系统的稳输出量与输入量具有相同的频率，且、都是频率的复变函数，都随频率的改变而改变，而与输入幅值无关。(4)频率特性反映了系统性能，不同的性能指标对系统频率特性提出不同的要求。反之，由系统的频率特性也可确定系统的性能指标。,2023/4/3,第6章 频域分析,19,6.1频率特性的基本概念,(5)实际的自动控制系统都具有升高、幅频特性 衰减的特性，该特性称为低通滤波器特性。(6)频率特性一般适用于线性元件或系统的分析，也可推广应用到某些非线性系统的分析。(7)频率特性的分析方法是一种图解分析，其最大的特点就是将系统的频率特性用曲线表示出来，计算量小，非常直观。常用的分析方法有两种：奈奎斯特图(Nyquist图)分析法和伯德图(Bode图)分析法。,2023/4/3,第6章 频域分析,20,6.2奈奎斯特图分析法,奈奎斯特(Nyquist)图又称极坐标图，或称幅相特性图，它是在直角坐标或极坐标平面上，以为自变量，当由0-时，画出频率特性 的点的轨迹，这个平面称为G(s)的复平面。奈奎斯特图的优点是，可以在一张图上就可以较容易的得到全部频率范围内的频率特性，利用图形可以较容易的对系统进行定性分析；缺点是，不能明显地表示出各个环节对系统的影响和作用。,2023/4/3,第6章 频域分析,21,6.2奈奎斯特图分析法,6.2.1 典型环节的奈奎斯特图1.比例环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：,2023/4/3,第6章 频域分析,22,6.2奈奎斯特图分析法,上述特性与的变化无关，故比例环节的奈奎斯特图为实轴上的一个点。,2023/4/3,第6章 频域分析,23,图6-2 比例环节的奈奎斯特图,6.2奈奎斯特图分析法,2.积分环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：,2023/4/3,第6章 频域分析,24,6.2奈奎斯特图分析法,根据奈奎斯特图的基本图法，找出几个关键点。根据表中的关键点和的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是负虚轴。,2023/4/3,第6章 频域分析,25,图6-3 积分环节的奈奎斯特图,6.2奈奎斯特图分析法,3.微分环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：,2023/4/3,第6章 频域分析,26,6.2奈奎斯特图分析法,根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是正虚轴,2023/4/3,第6章 频域分析,27,图6-4 微分环节奈奎斯特图,6.2奈奎斯特图分析法,4.惯性环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：,2023/4/3,第6章 频域分析,28,6.2奈奎斯特图分析法,根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是在第四象限，由实频特性和虚频特性可以推得,2023/4/3,第6章 频域分析,29,6.2奈奎斯特图分析法,可以看出这是一个圆，圆心为，半径为1/2。因此，惯性环节的奈奎斯特图是第四象限的圆。,2023/4/3,第6章 频域分析,30,图6-5 惯性环节的奈奎斯特图,6.2奈奎斯特图分析法,5.一阶微分环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：,2023/4/3,第6章 频域分析,31,6.2奈奎斯特图分析法,根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是一条第一象限内过点 且平行于虚轴的直线。,2023/4/3,第6章 频域分析,32,图6-6 一阶微分环节的奈奎斯特图,6.2奈奎斯特图分析法,6.振荡环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：,2023/4/3,第6章 频域分析,33,6.2奈奎斯特图分析法,根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图开始于正实轴的 点，顺时针经第四象限后，与负虚轴相交于 点，然后进入第三象限，在原点与负实轴相切并终止于坐标原点。,2023/4/3,第6章 频域分析,34,6.2奈奎斯特图分析法,2023/4/3,第6章 频域分析,35,图6-7 振荡环节的奈奎斯特图,6.2奈奎斯特图分析法,7.延迟环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：,2023/4/3,第6章 频域分析,36,6.2奈奎斯特图分析法,可见，当由0-时，由0-，由于，因此延迟环节的奈奎斯特图是一个单位圆。,2023/4/3,第6章 频域分析,37,图6-8 延迟环节的奈奎斯特图,6.2奈奎斯特图分析法,6.2.2 奈奎斯特图的画法设开环传递函数G(s)由n个典型环节G1(s)G2(s)Gn(s)串联构成，则系统的频率特性为式中，系统的开环频率特性即是由各组成系统的典型环节的频率特性叠加而成。,2023/4/3,第6章 频域分析,38,6.2奈奎斯特图分析法,在实际工程当中，往往只需要画出频率特性的大致图形即可，并不需要画出准确的曲线。绘制奈奎斯特曲线要把握好开环频率特性的三个要点：（1）开环奈奎斯特曲线的起点 和终点。（2）开环奈奎斯特曲线与实轴的交点。（3）开环奈奎斯特曲线的变化范围(象限、单调性等)。,2023/4/3,第6章 频域分析,39,6.3 开环系统的伯德图分析法,6.3.1 伯德图的基本概念伯德（Bode）图又称为频率特性的对数坐标图或对数频率特性图。Bode图容易绘制，从图形上容易看出某些参数变化和某些环节对系统性能的影响，所以它在频率特性法中成为应用得最广的图示法。Bode图包括幅频特性图和相频特性图，分别表示频率特性的幅值和相位与角频率之间的关系。,2023/4/3,第6章 频域分析,40,6.3 开环系统的伯德图分析法,对数幅频特性是频率特性的对数值L()=20lgA()（dB）与频率的关系曲线；对数相频特性是频率特性的相角(度)与频率的关系曲线。两种图的横坐标都是角频率（rad/s），采用对数分度，即横轴上标示的是角频率，但它的长度实际上是lg。,2023/4/3,第6章 频域分析,41,6.3 开环系统的伯德图分析法,对数幅频特性的纵轴为L()=20lgA()采用线性分度，A()每增加10倍，L()增加20dB；横坐标采用对数分度，即横轴上的取对数后为等分点。对数相频特性横轴采用对数分度，纵轴为线性分度，单位为度。,2023/4/3,第6章 频域分析,42,图6-9 Bode图坐标系,6.3 开环系统的伯德图分析法,6.3.2 典型环节的伯德图1.比例环节传递函数：频率特性：因此,2023/4/3,第6章 频域分析,43,（a）幅频特性（b）相频特性,图6-10 放大环节的Bode图,6.3 开环系统的伯德图分析法,对数幅频特性是平行于横轴的直线，与横轴相距20lgKdB。当K1时，直线位于横轴上方；当K1时，直线位于横轴下方。相频特性是与横轴相重合的直线。K的数值变化时，幅频特性图中的直线20lgK向上或向下平移，但相频特性不变。,2023/4/3,第6章 频域分析,44,6.3 开环系统的伯德图分析法,2.积分环节对数幅频特性为由于横坐标实际上是lg，把lg看成是横轴的自变量，而纵轴是函数可见上式是一条直线，斜率为-20，该直线在=1处穿越横轴（或称0dB线）,2023/4/3,第6章 频域分析,45,6.3 开环系统的伯德图分析法,相频特性是通过纵轴上-900，且平行于横轴的直线,2023/4/3,第6章 频域分析,46,（a）幅频特性（b）相频特性,图6-11 积分环节的Bode图,6.3 开环系统的伯德图分析法,如果n个积分环节串联，则传递函数为对数幅频特性为它是一条斜率为-20n dB/dec的直线，并在=1处穿越0dB线。因为所以它的相频特性是通过纵轴上-n900且平行于横轴的直线。,2023/4/3,第6章 频域分析,47,6.3 开环系统的伯德图分析法,如果一个放大环节K和n个积分环节串联，则整个环节的传递函数和频率特性分别为对数幅频特性为这是斜率为-20n dB/dec的直线，它在处穿越0dB线；它也通过=1,这一点。,2023/4/3,第6章 频域分析,48,6.3 开环系统的伯德图分析法,3.纯微分环节对数频率特性为可知，纯微分环节对数频率特性是一条斜率为+20的直线，直线通过横轴上=1的点。因为可见在该直线上，频率每增加到10倍，纵坐标的数值便增加20dB，故称直线斜率是20dB/dec。,2023/4/3,第6章 频域分析,49,6.3 开环系统的伯德图分析法,相频特性是通过纵轴上900点且与横轴平行的直线。,2023/4/3,第6章 频域分析,50,（a）幅频特性（b）相频特性,图6-12 纯微分环节的Bode图,6.3 开环系统的伯德图分析法,4.惯性环节对数幅频特性为准确的对数幅频特性是一条比较复杂的曲线。为了简化，一般用直线近似地代替曲线。,2023/4/3,第6章 频域分析,51,6.3 开环系统的伯德图分析法,当1/T时，略去T，上式变为这是与横轴重合的直线。当1/T时，略去1，上式变为这是一条斜率为-20dB/dec的直线，它在=1/T处穿越0dB线。上述两条直线在0dB线上的=1/T相交，称角频率=1/T为转折频率或交接频率，并称这两条直线形成的折线为惯性环节的渐近线或渐近幅频特性。,2023/4/3,第6章 频域分析,52,6.3 开环系统的伯德图分析法,2023/4/3,第6章 频域分析,53,（a）幅频特性（b）相频特性,图6-13 惯性环节的Bode图,6.3 开环系统的伯德图分析法,5.一阶微分环节对数幅频特性为当1/时，略去，上式变为这是与横轴重合的直线。当1/时，略去1，上式变为这是一条斜率为20dB/dec的直线，它在=1/处穿越0dB线。,2023/4/3,第6章 频域分析,54,6.3 开环系统的伯德图分析法,2023/4/3,第6章 频域分析,55,（a）幅频特性（b）相频特性,图6-14 一阶微分环节的Bode图,6.3 开环系统的伯德图分析法,6.振荡环节对数幅频特性为当1/T时，略去T，上式变为这表示横轴重合的直线当1/T时，略去1和，上式变为这是一条斜率为-40dB/dec的直线，它在=1/T处穿越0dB线。,2023/4/3,第6章 频域分析,56,6.3 开环系统的伯德图分析法,2023/4/3,第6章 频域分析,57,图6-15 振荡环节的渐近幅频特性,6.3 开环系统的伯德图分析法,7.二阶微分环节二阶微分环节的传递函数、频率特性为对数幅频特性和相频特性分别为,2023/4/3,第6章 频域分析,58,6.3 开环系统的伯德图分析法,二阶微分环节与振荡环节的对数频率特性关于横轴对称。二阶微分环节的渐近线方程是上述两条直线相交于横轴上，称为转折频率。表示斜率为-40dB/dec的直线，它通过横轴上 的点。,2023/4/3,第6章 频域分析,59,6.3 开环系统的伯德图分析法,2023/4/3,第6章 频域分析,60,（a）幅频特性（b）相频特性,图6-16 二阶微分环节的Bode图,6.3 开环系统的伯德图分析法,8.延迟环节对数幅频特性为延迟环节的频率特性对数坐标图，,2023/4/3,第6章 频域分析,61,（a）幅频特性（b）相频特性,图6-17 延迟环节的Bode图,6.3 开环系统的伯德图分析法,6.3.3开环传递函数的伯德图画法绘制开环对数幅频特性图步骤：1.将开环传递函数写成基本环节相乘的形式；2.计算各基本环节的转折频率，并标在横轴上。最好同时标明各转折频率对应的基本环节渐近线的斜率；3.设最低的转折频率为，先绘 的低频区图形，在此频段范围内，只有积分（或纯微分）环节和放大环节起作用,2023/4/3,第6章 频域分析,62,6.3 开环系统的伯德图分析法,4.按着由低频到高频的顺序将已画好的直线或折线图形延长。每到一个转折频率，折线发生转折，直线的斜率就要在原数值之上加上对应的基本环节的斜率。在每条折线上应注明斜率；5.如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处进行修正。,2023/4/3,第6章 频域分析,63,6.4系统的闭环频率特性,6.4.1 闭环频率特性设某单位反馈系统的开环传递函数为G(s)，其闭环传递函数为对应的闭环频率特性为上式描述了开环频率特性与闭环频率特性之间的关系。,2023/4/3,第6章 频域分析,64,6.4系统的闭环频率特性,6.4.2 闭环频率特性曲线的绘制1.等M圆设系统的开环传递函数为G(s)，其开环频率特性按照直角坐标表示为由上页闭环频率特性式，可得,2023/4/3,第6章 频域分析,65,6.4系统的闭环频率特性,两边取平方，并整理可得可以看出，如果M为常数，则上式(6-96)即为以U为X轴，以V为Y轴的G平面上圆的方程，圆心为，半径为。因此，在G平面上，等M轨迹就是一组等M圆图，,2023/4/3,第6章 频域分析,66,6.4系统的闭环频率特性,2023/4/3,第6章 频域分析,67,图6-18 等M圆图,6.4系统的闭环频率特性,2等N圆同上面所述：若用N来表示闭环相频特性的正切，则有整理可得,2023/4/3,第6章 频域分析,68,6.4系统的闭环频率特性,若N为常数，则上式也是一个圆，圆心为 半径为,2023/4/3,第6章 频域分析,69,图6-19 等N圆图,6.4系统的闭环频率特性,3.闭环频率特性曲线利用等M圆图和等N圆图，开环幅相曲线与等M圆和等N圆的交点，便可得到相应频率的M值和N值（或值）,2023/4/3,第6章 频域分析,70,图6-20 闭环频率特性曲线,6.4系统的闭环频率特性,6.4.3 闭环频率指标系统闭环系统的幅频特性曲线为,2023/4/3,第6章 频域分析,71,图6-21闭环系统的幅频特性曲线,6.4系统的闭环频率特性,衡量系统性能的闭环频率指标主要有如下几项：1.零频幅值M0=0时的闭环幅频特性值称为零频幅值M0，也称为闭环系统的增益，或者说是系统单位阶跃响应的稳态值，它主要反映系统的稳态精度。2.谐振峰值Mr闭环幅频特性的最大值和零频幅值的比值称为谐振峰值Mr，即Mr=Mmax/M0。Mr越大，表明系统对某个频率的正弦输入信号反映强烈，有振荡的趋向。,2023/4/3,第6章 频域分析,72,6.4系统的闭环频率特性,3.谐振频率r谐振频率是指出现谐振峰值Mr时对应的角频率。4.带宽频率b带宽频率是闭环幅频特性M()降低到其零频值的0.707倍时所对应的频率。通常把区间0,b对应的频率范围称为通频带或频带宽度(简称带宽)。,2023/4/3,第6章 频域分析,73,6.5 频域性能指标与时域性能指标之间的关系,6.5.1时域性能指标时域性能指标包括稳态性能指标和动态性能指标。（1）稳态性能指标稳态性能指标主要表征系统的控制精度，主要是指系统的稳态误差（2）动态性能指标动态性能指标主要表征系统瞬态响应的品质，主要包括调节时间、峰值时间、上升时间、超调量、振荡次数。其中比较常用的是调节时间和超调量。,2023/4/3,第6章 频域分析,74,6.5.2频域性能指标频域性能指标包括开环频域指标和闭环频域指标。（1）开环频域指标一般是根据系统的开环频率特性曲线给出，包括剪切频率、相角裕量、幅值裕量。其中比较常用的是剪切频率、相角裕量。（2）闭环频域指标一般是根据系统的闭环幅频特性曲线给出，包括谐振峰值、谐振频率和带宽频率。,2023/4/3,第6章 频域分析,75,6.5 频域性能指标与时域性能指标之间的关系,6.5.3频域指标与时域指标之间的关系1.二阶系统频域指标与时域指标的关系谐振峰值谐振频率截止频率,2023/4/3,第6章 频域分析,76,6.5 频域性能指标与时域性能指标之间的关系,剪切频率相角裕量上升时间,2023/4/3,第6章 频域分析,77,6.5 频域性能指标与时域性能指标之间的关系,峰值时间调节时间超调量,2023/4/3,第6章 频域分析,78,6.5 频域性能指标与时域性能指标之间的关系,2.高阶系统频域指标与时域指标的关系对于高阶系统来说，很难建立准确的数学关系，仅可做近似处理，即将高阶系统降阶为低阶系统来建立近似的数学关系，如下所示：谐振峰值超调量调节时间,2023/4/3,第6章 频域分析,79,6.5 频域性能指标与时域性能指标之间的关系,6.6 Matlab在频域分析中的应用,6.6.1 nyquist曲线的绘制在Matlab控制系统工具箱中提供了一个函数nyquist()，该函数的功能是绘制系统的奈奎斯特曲线，并可以根据曲线分析包括相角裕量、增益裕量及稳定性等系统特性，有两种调用格式。1.nyquist(sys)此调用格式的功能是直接绘制系统sys的奈奎斯特曲线。,2023/4/3,第6章 频域分析,80,6.6 Matlab在频域分析中的应用,2.re,im,w=nyquist(sys)此调用格式的功能并不是直接绘制曲线，而是返回系统频率响应的实部(re)、虚部(im)以及对应的角频率。,2023/4/3,第6章 频域分析,81,6.6 Matlab在频域分析中的应用,6.6.2 Bode图的绘制Matlab提供了一个直接求解和绘制系统Bode图的函数bode()和一个直接求解系统幅值稳定裕度和相位稳定裕度的函数margin()。1.bode()函数此函数的调用格式有(1)bode(sys)此格式调用后，直接计算并绘制系统的Bode图。,2023/4/3,第6章 频域分析,82,6.6 Matlab在频域分析中的应用,(2)bode(sys,w)此格式调用后，也是直接计求并绘制系统的Bode图，但是可以用w来定义绘制Bode图时的频率范围或者频率点。如果w为频率范围，则必须为wmin,wmax格式；如果w为频率点，则必须是需要频率点构成的向量。(3)mag,phase,w=bode(sys)此格式调用后，并不绘制曲线，而只是计算出系统Bode图的输出数据，其中mag为系统的幅值，phase为Bode图的相位，w为所对应的频率。,2023/4/3,第6章 频域分析,83,谢谢大家！,结 束,84,