自动控制原理第六版-第二章-控制系统的数学模型课件.ppt

第二章 控制系统的数学模型,前言 数学模型基础,2.1 控制系统的时域数学模型,2.2 控制系统的复数域数学模型,2.3 控制系统的结构图与信号流图,2.4 控制系统建模实例,End,1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。,前言 数学模型基础,2.5,2.建立数学模型的目的 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。,2.2,2.3,2.4,3.数学模型的特点 1)相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2)简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理 3)动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析 4)静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数 4 数学模型的类型 1)微分方程：时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐 2)传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果 3)频率特性：频域 分析方法不同，各有所长,6.由数学模型求取系统性能指标的主要途径,5 数学模型的建立方法 1)分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。2)实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。建模原则：选择合适的分析方法确定相应的数学模型简化,机械平移系统举例三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv 例2-1 弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。,解：遵照列写微分方程的一般步骤有：（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。,1 线性元件的微分方程,2.1控制系统的时域数学模型,（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即,（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得,（6）整理方程得标准形,（4）写中间变量与输出量的关系式,电路系统举例 例2-2 电阻电感电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。,令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为,解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。,（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:,（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得,（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3）由KVL写原始方程：,i(t),（6）整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，则方程化为,2.2.4 线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：,直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD，从而使电枢旋转，拖动负载运动。Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与,2.2.5 电枢控制的直流电动机,激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。下面推导其微分方程式。（1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度为输出量；（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（3）列写原始方程式 电枢回路方程：,电动机轴上机械运动方程：,J 负载折合到电动机轴上的转动惯量;MD 电枢电流产生的电磁转矩;ML 合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程 Ea=ke ke 电势系数，由电动机结构参数确定。MD=km iakm 转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得,电动机轴上转矩平衡方程：,Jm=J 负载折合到电动机轴上的转动惯量;Mm=MD 电枢电流产生的电磁转矩;Mc=ML 合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程 Ea=Ce Ce=Ke 电势系数，由电动机结构参数确定。Mm=km iakm 转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得,令机电时间常数Tm:,令电磁时间常数Ta:,1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：,2-22 一阶系统,2)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra、La都可忽略,测速发电机,3)随动系统中，取为输出,4)在实际使用中，转速常用n（r/min）表示,设 ML=0,1)分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。2)忽略一些次要因素，合理简化。3)根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。4)列写中间变量的辅助方程。方程数与变量数相等！5)联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。6)将方程式化成标准形。与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列，系数化为有物理意义的形式。,2.5,2.1,2.3,2.4,2 列写微分方程式的一般步骤,3.线性系统的基本特性,观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：,式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：（1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；（2）左端的阶次比右端的高,n=m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。,相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。,例2-1,例2-2,令uc=q/C,模拟技术：当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。,非线性系统：用非线性微分方程描述。,*微分方程的类型,线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。,线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即：如果输入r1(t)输出y1(t)，输入r2(t)输出y2(t)则输入a r1(t)+b r2(t)输出a y1(t)+by2(t),线性系统：用线性微分方程描述。,线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。,2.2.1,2.2.3,2.2.4,5 非线性元件微分方程的线性化,小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即 x=x0+x,y=y0+y,二、近似处理,略去高阶无穷小项,严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。,三、数学方法,2.2.1,2.2.4,2.2.2,一.复习拉氏变换及其性质 1.定义 记 X(s)=Lx(t)2.进行拉氏变换的条件 1)t 0，x(t)=0；当t 0，x(t)是分段连续；2)当t充分大后满足不等式 x(t)Mect，M，c是常数。3.性质和定理 1)线性性质 L ax1(t)+bx2(t)=aX1(s)+bX2(s),4 线性定常微分方程求解（一）,2)微分定理,若,则,若x1(0)=x2(0)=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，,3)积分定律,X（-1）(0)是x(t)dt 在t=0的值。同理,5)初值定理 如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且,4)终值定理 若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：,存在，则,6)延迟定理L x(t)1(t)=esX(s)Leat x(t)=X(s+a)7)时标变换,8)卷积定理,4.举例 1、求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。解：,2、求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：,3、求正弦函数x(t)=sint 的拉氏变换。解：,以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。,4、求函数x(t)的拉氏变换。,+,解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(t t0),5、求e at 的拉氏变换。解:,6、求e 0.2 t 的拉氏变换。解：,，求x(0)，x()。解：,7、若,二.复习拉氏反变换 1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t),2.求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定理计算上式的积分值 查表法,式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。,（2）D(s)=0有重根。设有r个重根p1，则,i=r+1,n,3.举例 2-7 1、,，求原函数x(t)。,解：s2+4s+3=(s+3)(s+1),的原函数x(t)。,2、求,解：s2+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1 j),Leat x(t)=X(s+a),的原函数x(t)。解：,3、求,用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数或结构变化时，需重新列方程求解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：1)对微分方程两边进行拉氏变换。2)求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。3)求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。,4.线性常系数微分方程的求解（二）,例2-7 求解微分方程：,解：两边取拉氏变换 s2Y(s)sy(0)y(0)+3sY(s)3y(0)+2Y(s)=5/s,y(t)=5/2 5 et+3/2 e2t,初始条件：y(0)=1,y(0)=2,例2-7 图示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。,解：设输入量为ur(t)，输出量为uc(t)。由KVL写出电路方程,电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换,当输入为阶跃电压ur(t)=u0 1(t)时,u0为幅值，得,式中右端第一项是由输入电压ur(t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0)=0 时的响应，故称零状态响应；,第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur(t)=0时的响应，故称零输入响应。,用拉氏变换求解的优点：1）复杂的微分方程变换成简单的代数方程2）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中,不用另行确定积分常数3）若所有的初值为0，拉氏变换式可直接用s 代替,得到。当然，阶次高时，求拉氏反变换也不太容易，幸运的是，往往并不需要求出解，可用图解法预测系统的性能，可用相关性质得到解的特征，初值、终值等，满足工程需要。,求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。,*线性定常微分方程的求解,例2.15 已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求 uc(t),拉氏变换法求解步骤：1.考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；2.求出输出量拉氏变换函数的表达式；3.对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,解：,零初始条件下取拉氏变换：,传递函数的定义,2.2 传递函数,线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。,2.2.1 传递函数的性质(a)传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。(b)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。(c)传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。(d)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。(e)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）(f)传递函数一般为复变量s 的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n m。并且所有的系数均为实数。(g)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。系统辨识,1、如图RLC电路，试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).,例2.8,参见,解:1)零初始条件下取拉氏变换：,传递函数：,2)变换到复频域来求。,求零状态条件下阶跃响应uc(t)；2)uc(0)=0.1v，ur(t)=1(t)，求 uc(t);3）求脉冲响应g(t)。,2、已知R1=1，C1=1F，1）,对上式进行拉氏反变换：,3）,解:1）,2）,传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：,K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。,2.2.2 传递函数的零点和极点,零、极点分布图。,传递函数分子多项式与分母多 项式也可分解为如下形式：,传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分母多项式的根pj称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。,2 G(s)的微观结构,G(s)是关于s的有理分式，可分解成多种形式：1）零极点表达式,可知：传递函数定，零、极点和kg唯一确定，反之亦然。因此传递函数可用零极点和传递系数等价表示。零极点既可以是实数，也可以是复数，表示在复平面上，形成的图称传递函数的零、极点分布图。反映系统的动态性能。因此对系统的研究，可变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是根轨迹法(chaper4)。,2）时间常数表达式,较容易分解成一些典型环节,例如，试画出下面传递函数的零极点图。,例2.6 具有相同极点不同零点的两个系统,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为,极点决定系统响应形式（模态），零点影响各模态在响应中所占比重。,2.2.3 传递函数的零点和极点对输出的影响,2.2.4 典型环节及其传递函数,可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘积，一般认为典型环节有6种，这些典型环节,对应典型电路。这样划分对系统分析和研究带来很大的方便。分述如下：,自动控制系统可以用传递函数来描述，任一复杂的传递函数G(s)，都可表示为：,比例环节:G(s)=K 积分环节:G(s)=1/s微分环节 G(s)=s,典型环节的传递函数,惯性环节:一阶微分环节:振荡环节:,1.比例环节（杠杆，齿轮系，电位器，变压器等）运动方程式 c(t)=K r(t)传递函数 G(s)=K 单位阶跃响应 C(s)=G(s)R(s)=K/s c(t)=K1(t)可见，当输入量r(t)=1(t)时，输出量c(t)成比例变化。,r(t),1,c(t),K,2.惯性环节 微分方程式：,式中，T是惯性环节时间常数。惯性环节的传递函数有一个负实极点 p=1/T，无零点。,传递函数：,1/T,单位阶跃响应:,3.积分环节微分方程式：,传递函数：,阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。,0.632,0.865,0.95,0.982,1.0,T,2T,3T,4T,单位阶跃响应：,当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。4.微分环节 微分方程式为：,1,1,T,c(t)=T(t)由于阶跃信号在时刻t=0有一跃变，其他时刻均不变化，所以微分环节对阶跃输入的响应只在t=0时刻产生一个响应脉冲。,理想的微分环节在物理系统中很少独立存在，常见的为带有惯性环节的微分特性，传递函数为：,传递函数为：G(s)=Ts单位阶跃响应：,1,T,式中，T 0，0 1，n=1/T，T 称为振荡环节的时间常数，为阻尼比，n为自然振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：,传递函数为：,或,5.二阶振荡环节 微分方程式为：,单位阶跃响应：,式中，=cos1。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。,1,举例：RLC串连电路，平移系统，直流电机,6.延迟环节微分方程式为：c(t)=r(t)传递函数为：单位阶跃响应：,c(t)=1(t),1,1,无理函数的工程近似：,A,B,2.3.1 结构图的定义及基本组成1.结构图的定义 定义:由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。,2.3 系统的结构图 下图为讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图可描述其结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就可迎刃而解。,转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数代入相应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态结构图。用G(s)代替相应的元件，好处：补充了方框中各变量之间的定量关系，既能表明信号的流向，又直观的了解元件对系统性能的影响；因此，它是对系统每个元件功能和信号流向的图解表示，也就是对系统数学模型的图解表示。,2.3.1.结构图的基本组成 1）画图的4种基本元素 信号传递线 是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入，从方框出来的表示输出。,r(t),R(s),分支点 表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。,r(t),R(s),r(t),R(s),方框 表示对输入信号进行的数学运算。方框中的传递函数是单向的运算算子，使得输出与输入有确定的因果关系。,R(s),R(s)U(s),U(s),C(s)=G(s)R(s),相加点 对两个以上的信号进行代数运算，“+”号表示相加，“”号表示相减。外部信号作用于系统需通过相加点表示。,2）结构图的基本作用：(a)简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照单向性原则，对于输出对输入的反作用，通过反馈支路单独表示。(b)对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。(c)s=0时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。2.3.2 结构图的绘制步骤(1)列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应。(2)设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这,些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。例2-16 画出下图所示RC网络的结构图。,解：(1)列写各元件的原始方程式,i,(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式,(3)将这些方框依次连接起来得图。,例2.8 绘出图示双RC网络的结构图。,返回,动画演示,2.7.3 结构图的等效变换和简化 1.三种基本连接形式(1)串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。,由图可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)消去变量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s),(2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。,由图有 C1(s)=G1(s)R(s)C2(s)=G2(s)R(s),R(s),C(s),C(s)=C1(s)C2(s)消去C1(s)和C2(s)，得 C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。,(3)反馈连接 连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处做加法时为正反馈，做减法时为负反馈。,由图有 C(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)C(s)E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得 C(s)=G(s)R(s)H(s)C(s),上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。,定义：G(s)：前向通道传递函数 E(s)C(s)H(s)：反馈通道传递函数 C(s)B(s)H(s)=1 单位反馈系统G(s)H(s)开环传递函数 E(S)B(s),式中负反馈时取“+”号，正反馈时取“-”号。,2.闭环系统的常用传递函数 考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。,（1）控制输入下的闭环传递函数 令N(s)=0 有,（2）扰动输入下的闭环传递函数 令R(s)=0有,（3）两个输入量同时作用于系统的响应,（4）控制输入下的误差传递函数,（5）扰动输入下的误差传递函数,（6）两个输入量同时作用于系统时的误差,3.闭环控制系统的几个特点,闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。（1）外部扰动的抑制较好的抗干扰能力（2）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度（3）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属性）与输入和输出无关,2.7.4 结构图的等效变换规则 变换的原则：变换前后应保持信号等效。1.分支点后移,R,1/G,R,2.分支点前移,C,G,C,4.比较点前移,3.比较点后移,F,F,5.比较点互换或合并,2.7.5 结构图的简化 对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。,例2-17 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。,解：方法1,方法2,例2-18 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。,解：,2.8.1 信号流图的基本概念 1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2=a12 x1式中，x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。信号传递关系 函数运算关系 变量因果关系,x1,a12,x2,2-8 信号流图及梅逊公式,例2.8 绘出图示双RC网络的结构图。,返回,动画演示,串联方框的简化(等效)：,2.4.2 结构图的等效变换和简化,反馈连接方框的简化（等效）：,并联方框的简化（等效）：,C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)H(s)C(s)C(s)=G(s)R(s)H(s)C(s),例,2.4.1,比较点和引出点的移动：等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。,例2.9,引出点移动：1.引出点前移 C(s)=G(s)R(s),2.引出点后移,1.相加点前移,相加点的移动,3.交换或合并相加点,2.相加点后移,C(s)=G(s)R(s)-B(s),C(s)=G(s)R(s)-B(s)=G(s)R(s)-G(s)B(s),C(s)=E1(s)+V2(s)=R(s)-V1(s)+V2(s)=R(s)+V2(s)-V1(s),例2.10 结构图化简,(1)结构图化简方案,返回,2.4.2,2.4.1,(3)结构图化简方案,(2)结构图化简方案,原电路,1.等效为单位反馈系统,其它等价法则,2.负号可在支路上移动 E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)+(-1)H(s)Cs)=R(s)+-H(s)C(s),例2.11 双RC网络的结构图简化。,返回,动画演示,2.3.3 信号流图的基本概念 1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2=a12 x1式中，x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。信号传递关系 函数运算关系 变量因果关系,x1,a12,x2,2.3 控制系统结构图与信号流图,下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。设有一系统，它由下列方程组描述：x2=a12 x1+a32 x3 x3=a23 x2+a43 x4 x4=a24 x2+a34 x3+a44 x4 x5=a25 x2+a45 x4把内部变量结构和相互关系描述的一清二楚,a43,a44,x1,a12,x2,x3,x4,x5,a23,a34,a45,a24,a25,a32,2.信号流图的基本元素(1)节点：用来表示变量，用符号“O”表示，并在近旁标出所代表的变量。(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。支路具有两个特征：有向性 限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。有权性 限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值(增益)表示。,3.信号流图的几个术语 节点及其类别 输入节点(源点)只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。,混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。,输出节点(汇点)只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。,1,x2,通道及其类别 通道 从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。开通道 如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12 a23 a34。,闭通道(回环)如果通道的终点就是起点的开通道。如a23 a32，a33(自回环)。,前向通道 从源节点到汇节点的开通道。不接触回路 回路之间没有公共的节点和支路。4.信号流图的基本性质 1）信号流图只能代表线性代数方程组。2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。5）对于给定的系统，信号流图不唯一。,2.3.4 信号流图的绘制方法 1.由信号微分方程绘制信号流图 例2-19 RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。,解：(1)列写原始方程,(2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+),(3)整理成因果关系,(4)画出信号流图如图所示。,Ur(s),Uc(s),I(s),uc(0+),ic(0+),系统结构图 信号流图变量 节点输入变量 源节点比较点引出点 混合节点传输线 方框 支路输出端 汇节点,2、由系统结构图绘制信号流图,例2.8 绘出图示双RC网络的结构图。,返回,动画演示,例2.13 绘制结构图对应的信号流图(1)。,动画演示,例2.14 绘制结构图对应的信号流图(2)。,1)用小圆圈标出传递的信号，得到节点。2)用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。注意信号流图的节点只表示变量的相加。,2.由系统结构图绘制信号流图,特征式：所有单独回路增益之和；在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两 个回路增益乘积和；在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。,梅逊公式为：,余因子式，即在信号流图中，把与第K条前向通路相接触的回路去掉以后的值。,2.3.5 梅逊增益公式,其中：n从输入节点到输出节点之前向通路总数。Pk从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益。,动画示例,Pk从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数,梅逊公式介绍 R-C,=,其中:,k求法:,k=1-LA+LBLC-LDLELF+,梅逊公式例R-C,e,1,a,b,c,d,f,g,h,C(s),R(s),C(s),R(s),=,1,+,+,信号流图,利用梅逊公式求系统总传输时,只要求出信号流图中的n、Pk、和K,代入公式计算即可。,例题2：试用梅逊公式计算下图系统的总传输。,=1-L1=1+G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7三个回环均与前向通道P1接触，所以1=1 根据梅逊公式，系统总传输为：,解 源节点R(s)和汇节点C(s)之间只有一条前向通道n=1。通道传输为：P1=G1G2G3G4 三个回环的传输之和为：L1=-G2G3G6-G3G4G5-G1G2G3G7 三个回环之间都有公共节点，流图特征式为：,例题,试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化，求出系统的闭环传递函数。,解（a）所示的框图可化为图(b)所示的信号流图，注意：框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上。图2-30表示了信号流图的简化过程。,求出系统的闭环传递函数（总传输）为:,前向通路有两条：，没有与之不接触的回路：，与所有回路不接触：,解：三个回路：,例2.15 已知系统信号流图，求传递函数。,回路相互均接触，则：,参见,f,求传递函数 X4/X1及 X2/X1。,例2.16 已知系统信号流图，,解：三个回路,有两个互不接触回路,P1=1,1=1+G2H2,P11=?,E(s)=,(G2H3),R(s),N(s),(1+G2H2),(-G3G2H3),+,+,P2=-G3G2H3,2=1,P22=?,梅逊公式求E(s),P1=G2H3,1=1,1.输入信号作用下的闭环传递函数(N(s)=0),2.5.3 闭环系统的传递函数,2.扰动作用下的闭环传递函数(R(s)=0),3.输入信号和扰动信号同时作用时，系统的输出,4.闭环系统的误差传递函数 定义误差 E(s)=R(s)-B(s),2.5.2,例,2.5.1,本 章 作 业,P882-3(b)2-5(a)2-82-9(a)2-11(a)(c)2-12(a)(b)2-13(a)2-14(c)(d),