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高等数学对中学数学教学的指导作用 摘要：随着新课程改革的不断进步，中学数学中所涉及的高等数学的知识在高考中所占的比重越来越大，所以，作为一名中学教师，必须认真学习高等数学，用更高的数学知识武装自己，才能更加深刻地理解中学数学教材这也是提高中学数学教学质量、实施素质教育的条件之一指导学生学习高等数学与中学数学之间的内在联系，并将高等数学的思想方法渗透到中学数学中去是有重要的现实意义的本文主论述的高等数学中的方法有微积分法、极限思想方法、概率与统计方法，并以大量详实的中学数学的范例为依据，尤其是近几年来的高考试题，充分说明了高等数学在解决中学数学的相关问题上具有的指导作用关键词：高等数学；中学数学；数学思想；数学方法A Guide of Advanced Mathematics to High SchoolMathematics Teaching Abstract: With the reform of new course, the knowledge of advanced mathematics in high school mathematics covers larger and larger percentage in College Entrance Examination, so, being a mathematics teacher in high school, we must learn advanced mathematics hard in order to equip ourselves with more advanced knowledge in mathematics and understand high school mathematical books. This is also one of the conditions to improve the teaching quality of high school mathematics and imply the Quality Education. It is of great significance to guide the students to learn the internal relation between advanced mathematics and high school mathematics, and to permeate the high school mathematics with the thought of advanced mathematics. This paper mainly discusses the following methods in advanced mathematics: calculus method, extreme limit though method, probabilistic method, mathematics modeling method, with lots of detailed examples in high school mathematics teaching, which are mainly examples from College Entrance Examination in recent years, those examples prove that advanced mathematics are a good guide in solving related problems of high school mathematics.Key words: advanced mathematics; high school; mathematical thought; mathematical method目 录1、引言12、中学数学与高等数学的关系121 中学数学与高等数学的概念界定1211 中学数学1212 高等数学122 中学数学与高等数学的关系123 数学思想在中学数学教育中的地位与作用23、高等数学方法在中学数学中的应用231 微积分方法的应用2311 求函数的极值、最值2312 求函数的单调区间3313 求曲边图形的面积4314 利用微积分证明代数式532 极限思想方法的应用5321 利用极限解决数列问题5322 双曲线的渐近线6323 利用重要极限证明不等式733 概率论的应用7331 概率的应用7332 统计的应用84、结束语8参考文献10谢辞111 引言随着中学教材的改革和创新，中学数学的内容也在不断变化和发展，与原有中学数学教材相比，新教材在编写思想和内容选择等发面，有了很大的进步新编高中教材更新了内容，删减了传统初等数学中部分较难的内容，新增了向量、简易逻辑、概率统计、极限和微积分初步等知识；与此同时，随着全国中学生数学竞赛和国际数学奥林匹克（IMO）竞赛水平的不断提高，高等数学的思想和方法越来越普遍和深入地应用于中学数学中提高学生的综合素质，数学思想方法是教学的核心，实施素质教育必须加强数学思想方法的教学，对数学思想方法的研究，特别是对高等数学思想方法在中学数学教学中作用的研究就显得尤为重要和迫切2 中学数学与高等数学的关系21 中学数学与高等数学的概念界定211 中学数学中学时代所学的数学基本上是17世纪中叶以前的数学，它主要研究常量的运算和固定不变图形的性质中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：表层知识和深层知识表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法212 高等数学高等数学是以变量及变量之间的依赖关系函数作为研究对象的，主要是由极限论、微分学、积分学、级数理论、解析几何、微分方程等六部分组成的一个有机统一体其中极限论是基础；微分、积分是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质；级数理论是研究解析函数的主要手段；解析几何为微积分的研究提供了解析工具，为揭示函数的性质提供了直观模型；微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机的联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系22 中学数学与高等数学的关系中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多概念和理论的原型和特例所在因此，从高等数学观点来看中学数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键总之，要力求将高等数学思想方法全面渗入中学数学，寻找高等数学与中学数学的结合点这样有利于提高教学质量和教学水平，拓展学生的解题思路，提高解题能力23 数学思想在中学数学教育中的地位与作用数学思想是在数学的发展史中形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例）以及数学方法的本质性的认识，来源于数学的基础知识和基本方法，它在中学数学教学内容的组织上起着核心的总领作用，是教材体系的灵魂数学思想和数学方法密不可分，数学思想是其相应数学方法的精神和理论基础，而数学方法则是实施数学思想的技术手段和表现形式在中学数学教学中加强数学思想方法教学可以带来以下几点收益，首先，可以有效地帮助学生形成正确的数学观念和优秀的数学精神，是在中学数学教学中落实素质教育的有效途径；其次，可以提高中学的教学质量和教学水平；最后，有利于培养学生的创新能力和数学应用能力3 高等数学方法在中学数学中的应用中学时代数学中常用的高等数学方法有极限法、求导法、微分法、积分法、行列式法、向量法、概率法等，下面以中学中常见的问题为例来说明高等数学方法在中学数学中的应用31 微积分方法的应用微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是建立在实数、函数和极限的基础上的，微积分是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一311 求函数的极值、最值利用导数求函数的极大（小）值，求函数在连续区间上的最大（小）值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，从而使问题变得简单化例1 已知在时取得极值，且（）试求常数，的值；（）试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由解 （）由题得，因为是函数的极值点，所以是方程的两根，即的两根 ， （1） ， （2）又，所以 ， （3）由（1）（2）（3）解得，（）由（）得，所以当或时，；当时，所以，函数在和上是增函数；在上是减函数即，当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值注1 利用导数这一工具，我们就很容易的解决了一元三次函数的极值问题例2 （2005年陕西卷）用长为,宽为的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转角，再焊接而成（如图）问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解 设容器高为，容器的体积为,则 ，求的导数，得，令，解得，（舍去）当时，那么为增函数；当时，那么为减函数因此，在定义域内，函数只有当=10时取得最大值，其最大值为注2 从这道高考试题，我们可以看出，帐篷的体积函数是一个一元三次函数，如果用除导数之外的其他方法，就会非常困难应用导数这一工具，则显得非常容易312 求函数的单调区间在高中阶段，运用单调性的定义、以及复合函数单调区间的求解方法，可以解决一些比较简单的基本函数的单调性但是对于一元三次（或更高次）函数的单调区间，用定义就显得力不从心，甚至不能求解相反，用导数这一工具，却显得得心应手例3 （2006年陕西卷）设函数 （）求函数的单调区间；（）若函数的极小值大于，求的取值范围解 （）当时，所以，的单调增区间为；单调减区间为；当时， 令，解得，或当变化时，的变化情况如下表：+增函数极大值减函数极小值增函数所以函数的单调增区间为，；单调减区间为（）当时，函数不存在极小值；当时，依题意，即由条件，所以的取值范围为注3 导数在求形如的函数的单调性时，比一般方法要优越很多由此可见，导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，通过前面的论述我们知道了导数不但在解决函数的极值、最值、单调区间方面有重要作用，有时候甚至比普通的代数几何方法还要方便、快捷313 求曲边图形的面积在初中，面积计算只限于规则图形或可分割成规则图形；但在高中我们可能会遇到计算曲边图形的面积，这就需要采用化曲为直的思想积分知识在高中教材的出现，使得求曲边图形的面积成为可能例4 （2000年高考题）求如图示阴影部分的面积解 这是一道经典的由定积分求面积的问题根据图中所给的两点，求得,抛物线方程为，直线 方程为；最后，我们利用积分可得面积为 314 利用微积分证明代数式例5 （1983省市、自治区联合数学竞赛）求证：,其中证明 当或时，等式显然成立设 ，则 , 所以，取得，则，故注4 利用微积分证明代数式（包括不等式与等式）可使问题简单化,解题思路更加清晰；微积分理论是高等数学的基础，同样也是研究高等数学与中学数学关系时不可缺少的部分，它除了对中学数学教学有重要的指导作用外，还能在中学数学的许多问题上起到以简驭繁的作用32 极限思想方法的应用321 利用极限解决数列问题例6 （1997年高考题）已知数，都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且，设，为数列的前项和，求解 ，下面分两种情况讨论求值：() 当时，由已知得，故 () 当时，由已知得 = 注5 本题考查了数列的基础知识，恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法我们发现如果能够灵活运用极限思想求解，往往可以避开一些抽象复杂的运算，降低解题难度，还可以优化解题思路，收到事半功倍的效果322 双曲线的渐近线例7 求双曲线的渐近线方程解 双曲线方程可化为： ，渐近线的斜率， ，在轴上的截距， ，故所求的渐近线方程为323 利用重要极限证明不等式重要极限例8 设，并且，为常数，求证：证明 因为，所以，即，上述两边令，根据重要极限，得，33 概率论的应用概率论是数理统计的理论基础，它研究的对象是随机事件的数量的规律性，众所周知，在生命世界里，随机现象比比皆是，许多随机因素干扰着生命活动，所以，我们常常要通过随机试验来观测随机事件，这就必然会用到概率统计的数学方法概率是一个要通过多次试验或观测才能得到的指标：，其基本性质为331 概率的应用不等式的证明始终是高中学生学习的一大难点，当然，随着高中知识的深入，我们也学会了越来越多的方法，下面让我们来研究一下，概率在不等式证明中的作用例9 若，试证：证明 令，是两个相互独立的事件，且使，由；再由概率的性质知：，从而概率在实际生活中应用也很大，下面再举例来说明一下例10 （2006年山东卷）袋中装着标有，的小球各个，从袋中任取个小球，按个小球上最大数字的倍计分，每个小球被取出来的可能性都相等用表示取出的个小球上的最大数字，求：（）取出的个小球上的数字互不相同的概率；（）随机变量的概率分布和数学期望；（）计分介于分到分之间的概率解 （）“一次取出的个小球上的数字互不相同”的事件记为，则（）由题意有可能的取值为：，.所以随即变量的概率分布为：因此，的数学期望为：（）“一次取球所得分介于分到分之间”的事件记为,则或332 统计的应用数理统计形成于19世纪末，并在本世纪发展成为了目前最常用的数理统计方法，特别在假设检验、回归分析、实验设计、抽样技术等方面的发展尤为突出，运用这种方法使精确度和可靠性都有了提高在高中课本中，我们也初步接触了统计在这些方面的应用4 结束语中学数学是数学世界的基石，是进入数学世界的必经之路，是数学教育工作者精心为全体中学生设计的多层台阶，如何在中学生力所能及的范围内，尽量扩大他们的视野是我们每位数学教育工作者必须关心的事情因此，为解决这一问题，本文紧扣高等数学与初等数学之间的联系，主要以高等数学中的几种方法（微积分法、极限思想方法、概率与统计方法）为依据，详细地论述并列举了这些方法在中学数学中的应用从而启发中学数学教师巧妙地将高等数学的思想和方法渗透到中学数学教学中去，使得高等数学和初等数学有机地结合起来，充分利用高等数学的思想和方法去指导中学数学教学参考文献1 连春兴高等数学对中学数学教学作用初探J北京教育学院学报，2000，14(3):68-712 王淑玲浅谈高等数学对中学数学的指导作用J南平师专学报，2002，21(2):46-483 张奠宇现代数学与中学数学M上海:上海教育出版社，19904 吕世虎，徐兆亮从高等数学看中学数学M北京:科学出版社，19955 蔡上鹤数学思想和数学方法J中学数学报，1997，(09):25-276 冯凤萍谈微积分中的数学思想及其教学J边疆经济文化报，2004，(10):33-367 刘鹏远，樊春红导数应用点滴J中学数学报，2006，(05):45-488 卢小青，曾文艺利用高等数学证明不等式J唐山师范学院学报，2003，25(2):61-639 魏宗舒概率论与数理统计教程M北京:高等教育出版社，1983