八年级数学上册第十一章《三角形》课件.pptx

11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边,观察与思考,1.你能从中找出4个不同的三角形吗？与同学交流各自找出的三角形。2.这些三角形有什么共同特点？,E,D,E,F,G,A,B,C,3.培养学生的观察、分析、比较、操作能力，进一步发展空间观念，提高学生的探索能力.,1.掌握三角形的有关概念，会用符号表示三角形，会对三角形进行分类.,2.理解“三角形中任意两边的和大于第三边”的含义，并能运用它解决简单的实际问题.,素养目标,三角形的有关概念,三角形是我们熟悉的图形，观察下列图片，你能说一说三角形是怎样的图形吗？,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形，叫做三角形.所以，三角形的特征有：(1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接.,三角形的定义,边c,边b,边a,顶点A,顶点B,顶点C,角,角,角,边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边.顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.,内角：相邻两边组成的角.,三角形的表示：,三角形用符号“”表示.,记作“ABC”读作“三角形ABC”.,如图：线段AB、BC、CA是ABC的三边；点A、B、CABC的三个顶点；A、B、C是ABC的三个内角.,例1 说出图中有多少个三角形，用符号“”表示，并指出每一个三角形的三条边，三个顶点，三个内角.,三角形的识别,解：图中有3个三角形，分别是EHG，EHF，EFG.EHG的三边是EH、HG、GE，三内角是G、GHE、HEG，三个顶点是G、H、E；EHF的三边是EH、HF、FE，三内角是EHF、HFE、HEF，三个顶点是F、H、E；EFG的三边是EF、FG、GE，三内角是G、GFE、FEG，三个顶点是G、F、E.,在查三角形的个数时，先给单个三角形编号，查单个的三角形，再查两个三角形组成的较大三角形，然后再查三个，四个三角形组成的三角形.,1.读出图中的各个三角形.,解：ABE，BCD，ABC，DCE，BCE.,我们知道，三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形你能按照边的关系对三角形进行分类吗？,三边都不相等的三角形,三角形,等腰三角形,底边和腰不相等的等腰三角形,等边三角形,三角形的分类,按边分类后的特殊三角形之间有什么关系？它们的边和角怎样命名？,腰,腰,底边,三角形,顶角,底角,底角,判断三角形的形状,例2 根据下列条件，判断ABC的形状.A=45，B=65，C=70;C=110;C=90;AB=BC=3，AC=4,解：A，B，C都小于90，ABC是锐角三角形C=11090，ABC是钝角三角形C=90=90，ABC是直角三角形AB=BC=3，AC=4，ABC是等腰三角形,2.下列说法正确的有().等腰三角形是等边三角形;三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等 边三角形;等腰三角形至少有两边相等;三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角 三角形.A.B.C.D.,C,在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它会选择哪条路线?如果小狗在C点呢？,B,C,A,C,A,B,三角形三边的关系,在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系呢？,B,C,A,计算三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？,A,C,B,试一试,如图三角形中，假设小狗要从点B出发沿着三角形的边跑到点C，它有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？,A,B,C,路线1:由点B到点C.,路线2:由点B到点A，再由点A到点C.,两条路线长分别是BC，AB+AC.,由“两点之间，线段最短”可以得到AB+ACBC.由不等式的基本性质可得：ABBCAC.,A,B,C,同理可得：AC+BCAB，AB+BCAC(ACAB BC，BCACAB),三角形的三边有这样的关系：(1)三角形两边的和大于第三边.(2)三角形两边的差小于第三边.,例3 下列长度的各组线段能否组成一个三角形？(1)15cm、10cm、7cm(2)4cm、5cm、10cm(3)3cm、8cm、5cm(4)4cm、5cm、6cm,(2)因为4cm+5cm10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.,(3)因为3cm+5cm=8cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.,(4)因为4cm+5cm6cm，所以这三条线段能组成一个三角形.,利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形,只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.,方法点拨,(3)以长为3cm、5cm、7cm、10cm的四条线段中的 三条线段为边，可构成_个三角形,(1)任何三条线段都能组成一个三角形.(),(2)因为a+bc，所以a、b、c三边可以构成三角形.(),(4)已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这三 角形的周长为().A.14cm B.19cm C.14cm或19cm D.不确定,2,B,3.完成下列各题：,例4 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？,利用三角形三边的关系解决实际问题,解：(1)设各边的长为x厘米，则腰长为2x厘米，由题意得：x+2x+2x=18 解得x=3.6，所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米.,例4 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？为什么？,解：因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论。(a)如果4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4+2x=18，解得x=7.(b)如果4厘米长为腰，设底边长为x厘米，则24+x=18，解得x=10.因为4+410，出现两边和小于第三边的情况，所以不能围成腰长为4厘米的等腰三角形.由以上结论可知，可以围成底边长是4厘米的等腰三角形.,有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！,提示：不能.如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此人两腿的长大于3米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多.,4.如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm，则这个等腰三角形的周长=_.,5.如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长=_.,5，5，8,5，8，8,18cm或21cm,4，4，9,4，9，9,4+9+9=22,22cm,三边长,三边长,1.(2018长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A4cm，5cm，9cmB8cm，8cm，15cC5cm，5cm，10cmD6cm，7cm，14cm,2.(2018常德)已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是()A1B2C8D11,解析：设三角形第三边的长为x，由题意得：73x7+3，4x10,B,C,基础巩固题,1.(2018柳州)如图，图中直角三角形共有()A1个B2个C3个D4个,2.(2018福建)下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是()A1，1，2 B1，2，4C2，3，4 D2，3，5,C,C,3.下列说法：等边三角形是等腰三角形；三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；三角形的两边之差大于第三边；三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个,B,基础巩固题,7 或8.5,一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，则这个等腰三角形的腰长为_cm.,等腰三角形的周长为20厘米.(1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长；(2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.,解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x 厘米.x+2x+2x=20，解得 x=4.所以三边长分别为4cm，8cm，8cm.(2)如果6 厘米长的边为底边，设腰长为x 厘米，则6+2x=20，解得x=7；如果6厘米长的边为腰，设底边长为x 厘米，则26+x=20，解得x=8.由以上讨论可知，其他两边的长分别为7 厘米，7 厘米或6 厘米，8 厘米.,三角形,概念,分类,性质,三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边,边、顶点、内角,按边分,按角分,(直角、锐角、钝角)三角形,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,课后作业,11.1 与三角形有关的线段11.1.2 三角形的高、中线与角平分线,当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,把一条线段分成两条相等的线段的点,一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线,复习回顾,你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?,放、,靠、,过、,画.,过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?,3.提高学生动手操作及解决问题的能力.,1.了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.,2.掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法，通过观察认识到三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点.,三角形高的概念,三角形的高的定义,A,从三角形的一个顶点，,B,C,向它的对边,所在直线作垂线，,顶点,和垂足,之间的线段,叫做三角形的高线，,简称三角形的高.,如右图，线段AD是BC边上的高.,几何语言：ADBC于点D，读作AD垂直BC于点D或ADC=ADB=90.,你还能画出一条高来吗？,一个三角形有三个顶点，应该有三条高.,(1)你能画出这个三角形的三条高吗?,(2)这三条高之间有怎样的位置关系？,(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?,锐角三角形的三条高交于同一点；,锐角三角形的三条高都在三角形的内部.,如图所示；,锐角三角形的三条高,(1)画出直角三角形的三条高，,AB,BC,它们有怎样的位置关系？,直角三角形的三条高交于直角顶点.,BD,直角三角形的三条高,(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？,D,E,F,BF,CE,AD,钝角三角形的三条高,A,B,C,D,F,(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？,(4)它们所在的直线交于 一点吗？,O,E,钝角三角形的三条高不相交于一点；,钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.,从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，,顶点和垂足之间的线段,叫做三角形这条边的高.,3,1,1,相交,相交,不相交,相交,相交,相交,三角形的三条高所在直线交于一点.,三角形内部,直角顶点,三角形外部,小结,例1 作ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(),方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过三角形的一个顶点；(2)为顶点到其对边所在直线的垂线段.,D,识别三角形的高,1.在下图中，正确画出ABC 中边BC 上高的是(),C,例2 如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，ADBC于点D，且AD4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为_,利用三角形的高求值,解析：当BPAC时，BP的值最小.SABC=BCAD，SABC=ACBP，BCAD=ACBP BCAD=ACBP64=5BP，BP=所以BP的最小值为,2.如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3，AB=6时，求AB边上的高的长度.,解：(1)ABE，ABD，ABC，AED，AEC，ADC.(2)设AB边上的高为x，SABC=BCAE=ABxBCAE=ABx，83=6x解得x=4.,我们学习了三角形的高，我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？,三角形中线的概念,在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线,三角形的中线的定义,如上页图，画出ABC 的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？,画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线.,三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.,1.定义：在三角形中，连接一个顶点和所对边的中点的线段叫做三角形的中线.2.三角形的重心：三角形三条中线的交点.3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形内部.4.三角形的任何一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如上图：AD为中线，则SABD=SACD.5.三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.ABD的周长ACD的周长=ABAC.,例3 如图所示，AD是ABC的中线，已知ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则ACD的周长为()A.19 cm B.22 cm C.25 cm D.31 cm,解：AD是BC边上的中线，BD=CD，ABD和ACD周长的差=(AB+BD+AD)(AC+CD+AD)=AB AC.ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，ACD的周长为256=19(cm).,利用三角形的中线求线段的值,A,3.如图，AD，BE，CF 是ABC 的三条中线(1)AC=AE，AE=_；CD=；AF=AB；(2)若SABC=12 cm2，则SABD=,(3)若AB=4，AC=3，则ABD的周长与ACD的周长之差是_.,2,BD,6 cm,EC,1,在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗?,三角形的角平分线,B,A,C,用量角器画最简便，用圆规也能.,在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.,折痕AD即为三角形的A的平分线.,在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.,1,2,A,B,C,D,“三角形的角平分线”是一条线段.,几何语言：1=2=BAC,三角形的角平分线的定义,每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?(2)你能用折纸的办法得到它们吗?(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?,做一做,三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.,三角形角平分线的性质,解：AD是ABC的角平分线，BAC68，DACBAD34.在ABD中，B+ADB+BAD180，ADB180BBAD 1803634 110.,例4 如图，在ABC中，BAC=68，B=36，AD是ABC的一条角平分线，求ADB的度数.,A,利用三角形的角平分线求角的度数,4.如图，AD，BE，CF 是ABC 的三条角平分线，则：1=；3=；ACB=2.,1,2,3,4,2,ABC,4,归纳总结,B,1.(2018贵阳)如图，在ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是ABC的中线，则该线段是()A线段DE B线段BEC线段EF D线段FG,2.(2018黄石)如图，ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是BAC、ABC的平分线，BAC=50，ABC=60，则EAD+ACD=()A75 B80 C85 D90,解析：AD是BC边上的高，ABC=60，BAD=30，BAC=50，AE平分BAC，BAE=25，DAE=3025=5，ABC中，C=180ABCBAC=70，EAD+ACD=5+70=75.,A,1下列说法正确的是()A三角形三条高都在三角形内 B三角形三条中线相交于一点C三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外D三角形的角平分线是射线,B,2在ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：BAD=CAD；ABE=CBE；BD=DC；AE=EC其中正确的是()A B C D,D,3.如图，ABC中C=90，CDAB，图中线段中可以作为ABC的高的有()A2条 B3条 C4条 D5条,B,4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是ABC 的BC边上的高(),D,5.填空：(1)如图，AD，BE，CF是ABC的三条中线，则 AB=2，BD=，AE=.,(2)如图，AD，BE，CF是ABC的三条角平分线，则1=，3=_，ACB=2_.,图,图,AF,DC,2,4,AC,ABC,在ABC中，CD是中线，已知BCAC=5cm，DBC的周长为25cm，求ADC的周长.,解：CD是ABC的中线，BDAD，DBC的周长BCBDCD25cm，则BD+CD25BC.ADC的周长ADCDAC BDCDAC 25BCAC 25(BCAC)25520cm.,如图，在ABC中，AD是ABC的高，AE是 ABC的角平分线，已知BAC=82，C=40，求DAE的大小.,解：AD是ABC的高，,ADC90.,ADC+C+DAC=180，,DAC=180(ADC+C),=1809040=50.,AE是ABC的角平分线，且BAC=82，,CAE=41，,DAE=DACCAE=5041=9.,三角形重要线段,高,钝角三角形两短边上的高的画法,中线,会把原三角形面积平分,一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差,角平分线,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,11.1 与三角形有关的线段11.1.3 三角形的稳定性,将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗?,生活小常识,盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，如图，为什么要这样做呢？,2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的应用.,1.了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性.,动手做一做,1.将三根木条用钉子钉成一个三角形木架.2.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架.,三角形的稳定性,请同学们看看:三角形和四边形的模型，扭一扭模型，它们的形状会改变吗?,动动手,不会,会,1.三角形具有稳定性.2.四边形没有稳定性.,发现,理解“稳定性”,“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.,你能举出一些现实生活中应用三角形稳定性的例子吗?,观察上面这些图片，你发现了什么？,都利用了“三角形具有稳定性”这一性质.,发现这些物体都用到了三角形.为什么呢？,具有稳定性,不具有稳定性,不具有稳定性,具有稳定性,具有稳定性,不具有稳定性,下列图形中哪些具有稳定性?,试一试,四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？,四边形不稳定性的应用,四边形的不稳定性有广泛的应用,活动晾衣架,伸缩门,遮阳棚,将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗?,四边形没有稳定性，怎样使它稳定呢?,做一做,1.牧民阿其木家用于圈羊的木栅门，由于年久失修已经变成如图甲，为什么会变形？,2.为了恢复成原样图乙，而且要保持形状不变，他该怎么做呢？,(甲),(乙),帮帮忙,盖房子时，在窗框未安装好之前，工人师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢?,三角形的稳定性,钉子架容易转动，怎样做可以使它稳定?,例 要使四边形木架不变形，至少要钉上一根木条，把它分成两个三角形使它保持形状，那么要使五边形，六边形木架，七边形木架保持稳定该怎么办呢?,方法总结：为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条将多边形固定成由一个一个的三角形组成的形式.,三角形稳定性的应用,填空:（1）有下列图形：正方形；长方形；直角三角形；平行四边形.其中具有稳定性的是_.（填序号）（2）铁栅门和多功能挂衣架能够伸缩自如，是利用四边形的_.（3）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要钉上_根木条.,不稳定性,2,（2018河北）下列图形具有稳定性的是（）A B C D,A,1.下列图中具有稳定性有（）,A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,C,2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说 法正确的是（）,A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的,B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值,C.稳定性和不稳定性均有利用价值,D.以上说法都不对,C,3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）,A.两点之间线段最短B.三角形两边之和大于第三边C.长方形的四个角都是直角D.三角形的稳定性,D,D,如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了（）A.节省材料，节约成本 B.保持对称 C.利用三角形的稳定性 D.美观漂亮,C,探究:如图，用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长是x，（1）若AB=5，CD=3，BC=11，试求x的最大值和最小值；,（2）在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗?（3）AB、BC、CD能围成一个三角形吗？,解：（1）x最大值=AB+BC+CD=19.x最小值=BC AB CD=3；（2）3 x 19；（3）不能.,应用,稳定性,三角形独有性质,四边形具有不稳定性,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,课后作业,11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角,第一课时,三角形的内角和,我的形状最小，那我的内角和最小.,我的形状最大，那我的内角和最大.,不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.,一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.,2.会运用三角形内角和定理进行计算.,1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180.,我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180.与三角形的形状、大小无关.,思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180呢?,折叠,还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？,三角形的内角和,剪拼,测量,480,720,600,6004807201800,锐角三角形,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.,观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？,三角形的内角和定理的证明,在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.,还有其他的拼接方法吗？,验证结论,三角形三个内角的和等于180.,求证：A+B+C=180.,已知：ABC.,证法1：过点A作lBC，B=1.(两直线平行，内错角相等)C=2.(两直线平行，内错角相等)2+1+BAC=180，B+C+BAC=180.,1,2,证法2：延长BC到D，过点C作CEBA，A=1.(两直线平行，内错角相等)B=2.(两直线平行，同位角相等)又1+2+ACB=180，A+B+ACB=180.,E,D,E,D,F,证法3：过D作DEAC，作DFAB.C=EDB，B=FDC.(两直线平行，同位角相等)A+AED=180，AED+EDF=180，(两直线平行，同旁内角相补)A=EDF.EDB+EDF+FDC=180，A+B+C=180.,同学们还有其他的方法吗？,思考：多种方法证明三角形内角和等于180的核心是什么？,借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.,同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.,试一试,为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.,思路总结,为了证明三个角的和为180，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.,作辅助线,例1 如图，在ABC中，BAC=40，B=75，AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.,解：由BAC=40，AD是ABC的角平分线，得,BAD=BAC=20.,在ABD中，ADB=180B BAD=1807520=85.,利用三角形的内角和定理求角的度数,如图，CD是ACB的平分线，DEBC，A50，B70，求EDC，BDC的度数,解：A50，B70，ACB180AB60.CD是ACB的平分线，BCD ACB30.DEBC，EDCBCD30，在BDC中，BDC180B BCD=80.,2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中A=150，B=D=40.求C的度数.,解：C1802(4040150)130.,1.在ABC中，B40，C80，则A的度数为()A30B40 C50 D60,D,3.如图，在ABC中，B46，C54，AD平分BAC，交BC于点D，DEAB，交AC于点E，则ADE的大小是()A45 B54 C40 D50,C,例2 如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEAB于E，交AC于F.已知A30，FCD80，求D.,解：DEAB，FEA90在AEF中，FEA90，A30，AFE180FEAA60.又CFDAFE，CFD60.在CDF中，CFD60，FCD80，D180CFDFCD40.,4.直线l1l2，一块含45角的直角三角尺如图放置，185，则2_,40,基本图形,由三角形的内角和定理易得 A+B=C+D.,由三角形的内角和定理易得1+2=3+4.,归纳总结,例3 在ABC 中，A 的度数是B 的度数的3倍，C 比B 大15，求A，B，C的度数.,解:设B为x，则A为(3x)，C为(x 15)，从而有,3x x(x 15)180.,解得 x 33.,所以 3x 99，x 15 48.,答：A，B，C的度数分别为99，33，48.,几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.,方程的思想与三角形内角和定理的综合应用,在ABC中，A B ACB，CD是ABC的高，CE是ACB的平分线，求DCE的度数,解析：根据已知条件用A表示出B和ACB，利用三角形的内角和求出A，再求出ACB，ACD，最后根据角平分线的定义求出ACE即可求得DCE的度数,比例关系可考虑用方程思想求角度.,解：A B ACB，设Ax，B2x，ACB3x.ABACB180，x2x3x180，得x30，A30，ACB90.CD是ABC的高，ADC90，ACD180903060.CE是ACB的平分线，ACE 9045，DCEACDACE604515.,在ABC中，A:B:C=1:2:3，则ABC是 _三角形.,在ABC中，A=35，B=43，则 C=.,在ABC中，A=B+10，C=A+10，则 A=，B=，C=.,102,直角,60,50,70,5.完成下列各题.,解析：设A=x，B=2x，C=3x，由三角形的内角和定理得：x+2x+3x=180，解得x=30，3x=90.,例4 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80 方向，C岛在B岛的北偏西40 方向.从B岛看A，C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？,利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题）.,解：CAB=BAD CAD=80 50=30.,由AD/BE，得BAD+ABE=180.,所以ABE=180 BAD=18080=100，ABC=ABE EBC=10040=60.,在ABC中，ACB=180 ABC CAB=1806030=90，,答：从B岛看A，C两岛的视角ABC是60，从C岛看A，B两岛的视角ACB是90.,如图，B岛在A岛的南偏西40方向，C岛在A岛的南偏东15方向，C岛在B岛的北偏东80方向，求从C岛看A，B两岛的视角ACB的度数.,解：如图，由题意得BEAD，BAD=40，CAD=15，EBC=80，EBA=BAD=40，BAC=40+15=55，CBA=EBCEBA=8040=40，ACB=180BACABC=1805540=85,D,E,6.如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角BAC是多少度？,解：在B处测得灯塔A在北偏东60的方向，ABD60.又 DBE90，ABE90ABD906030.在C处测得灯塔A在北偏东40的方向，ACE904050.BACACEABE503020.即在灯塔A处观看B和C处时的视角BAC是20.,（2018长春）如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，过点D作DEBC交AC于点E若A=54，B=48，则CDE的大小为（）A44 B40 C39D38,解析：A=54，B=48，ACB=1805448=78，CD平分ACB交AB于点D，DCB=78=39，DEBC，CDE=DCB=39,C,1.求出下列各图中的x值,x=70,x=60,x=30,x=50,3.如图，则1+2+3+4=_.,280,2.（2018滨州）在ABC中，若A=30，B=50，则C=,100,1.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，A+ADE=180，B=78，C=60，求EDC的度数,解：A+ADE=180，ABDE，CED=B=78 又C=60，EDC=180（CED+C）=180（78+60）=42,2.如图，在ABC中，B=42，C=78，AD平分BAC求ADC的度数.,解：B=42，C=78，BAC=180B C=60.AD平分BAC，CAD=BAC=30，ADC=180BCAD=72.,如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，若BAC=60，求BPC的度数,解：ABC中，A=60，ABC+ACB=120BP平分ABC，CP平分ACB，PBC+PCB=（ABC+ACB）=60PBC+PCB+BPC=180，BPC=18060=120,你能直接写出BPC与A 之间的数量关系吗？,解：BP平分ABC，CP平分ACB，PBC+PCB=（ABC+ACB）=60PBC+PCB+BPC=180，BPC=180（ABC+ACB）=180（180A）=90+A,求角度,证法,应用,转化为一个平角或同旁内角互补,辅助线,三角形的内角和等于180,作平行线转化思想,第二课时,直角三角形,在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？,内角三兄弟之争,老大的度数为90，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90，而三角形的内角和为180，相互矛盾，因而是不可能的.,在这个家里，我是永远的老大.,3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.,1.了解直角三角形两个锐角的关系.,2.掌握直角三角形的判定.,如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度?,直角三角形的两个锐角互余,问题1：,如图，在RtABC中，C=90，两锐角的和等于多少呢？,在RtABC中，因为 C=90，由三角形内角和定理，得 A+B+C=90，即 A+B=90.,由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？,问题2：,直角三角形的两个锐角互余(直角三角形的性质定理）,应用格式：在RtABC 中，C=90，A+B=90,直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC 可以写成RtABC,归纳总结,方法一（利用平行的判定和性质）：B=C=90，ABCD，A=D.方法二（利用直角三角形的性质）：B=C=90，A+AOB=90，D+COD=90.AOB=COD，A=D.,例1（1）如图，B=C=90，AD交BC于点O，A与D有什么关系？,图,利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数,解：A=C.理由如下：B=D=90，A+AOB=90，C+COD=90.AOB=COD，A=C.,（2）如图，B=D=90，AD交BC于点O，A与C有什么关系？请说明理由.,图,与图有哪些共同点与不同点？,1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60，则另一个锐角的度数是()A120 B90 C60 D30,D,2.如图，ABCD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EPEF，与EFD的平分线FP相交于点P，且BEP50，则EPF()度A70 B65 C60 D55,A,例2 如图，C=D=90，AD，BC相交于点E.CAE与DBE有什么关系？为什么？,解：在RtACE中，CAE=90 AEC.,在RtBDE中，DBE=90 BED.,AEC=BED，CAE=DBE.,解：CDAB于点D，BEAC于点E，BEA=BDF=90，ABE+A=90，ABE+DFB=90.A=DFB.DFB+BFC=180，A+BFC=180.,如图，ABC中，CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于点F，A与BFC又有什么关系？为什么？,3.如图，在ABC中，已知ACB67，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，DCB45.求ABE的度数,解：CD是AB上的高，DBC90DCB904545.BE是AC上的高，EBC90ECB906723.ABEABCEBC452322.,思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？,基本图形,A=C,A=D,归纳总结,有两个角互余的三角形是直角三角形吗？,如图，在ABC中，A+B=90，那么ABC是直角三角形吗？,在ABC中，因为 A+B+C=180，又 A+B=90，所以C=90.即ABC是直角三角形.,有两个角互余的三角形是直角三角形,A,B,C,应用格式：在ABC 中，A+B=90，ABC 是直角三角形,有两个角互余的三角形是直角三角形.(直角三角形的性质定理）,归纳总结,例3 如图，C=90，1=2，ADE是直角三角形吗？为什么？,解：在RtABC中，2+A=90.,1=2，1+A=90.,即ADE是直角三角形.,利用直角三角形的判定定理识别直角三角形,4.已知A37，B53，则ABC为()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D以上都有可能,C,5.具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是()AABCBA B CCABC123DA2B3C,D,例4 如图，CEAD，垂足为E，A=C，ABD是直角三角形吗？为什么？,解：ABD是直角三角形.理由如下：CEAD，CED=90，C+D=90，A=C，A+D=90，ABD是直角三角形.,6.如图，BD平分ABC，ADB60，BDC80，C70.试判断ABD的形状,解：在DBC中，DBC180BDCC 180807030.BD平分ABC，ABDDBC30.在ABD中，ADBABD603090，ABD是直角三角形,（2018永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则BDC=_,解析：CEA=60，BAE=45，ADE=180CEABAE=75，BDC=ADE=75.,75,1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中1+2的度数是_.,90,2.如图，AB、CD相交于点O，ACCD于点C，若BOD=38，则A=_.,52,第1题图,第2题图,3.在ABC中，若A=43，B=47，则这个三角形是_.,直角三角形,4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40，则另 一个锐角的度数是（）A40 B50 C60 D70,B,5.具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（）AA+B=C BAB=C CA：B：C=1：2：3 DA=B=3C,D,如图所示，ABC为直角三角形，ACB=90，CDAB，与1互余的角有（）AB BA CBCD和A DBCD,C,如图，在直角三角形ABC中，ACB=90，D是AB上一点，且ACD=B求证：ACD是直角三角形,证明：ACB=90，A+B=90，ACD=B，A+ACD=90，ACD是直角三角形.,直角三角形的性质与判定,性质,直角三角形的两个锐角互余,判定,有两个角互余的三角形是直角三角形,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,11.2 与三角形有关的角11.2.2 三角形的外角,足球比赛中的数学知识,在绿茵场上，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射门不易射偏？（不考虑其他因素）,在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（1，2，3），那么回到原来位置时（方向与出