人教版七年级数学同步授课公开课ppt课件第四章-几何图形初步.ppt

第4章 几何图形初步,4.1几何图形4.1.1立体图形与平面图形,课前预习1.下列几何图形中为圆柱体的是（）2.下面的图形中，不是平面图形的是（）A.角 B.圆柱 C.直线 D.圆3.写出从图中圆锥正面看到的图形的名称.4.如图，是 立体图形的表面展开图 第3题 第4题,C,B,等腰三角形,三棱柱,课堂精讲知识点1.立体图形的认识 立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形 几种常见的立体图形如下表：,注意：(1)圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲面，棱柱的侧面是四边形(2)圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆，侧面是曲面；棱锥的底面是多边形，侧面是三角形(3)球与圆的区别：球是立体图形，而圆是平面图形，这是易误点,【例1】将图中的几何体进行分类，并说明理由,解析：分类首先要确定标准，可以按组成几何体的侧面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分（1）长方体是由平面组成的，且两地面平行，属于柱体；（2）三棱柱是由平面组成的，且两地面平行，属于柱体；（3）球体是由曲面组成的，,1、使教育过程成为一种艺术的事业。2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2023/4/12023/4/12023/4/14/1/2023 1:11:39 PM3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2023年4月2023/4/12023/4/12023/4/14/1/20237、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2023/4/12023/4/1April 1,20238、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2023/4/12023/4/12023/4/12023/4/1,属于球体；（4）圆柱是由平面和曲面组成的，且两地面平行，属于柱体；（5）圆锥是由曲面与平面组成的，属于锥体；（6）三棱锥是由平面组成的，属于锥体；（7）六棱柱是由平面组成的，且两地面平行，属于柱体,答案：若按组成几何体的面的平或曲来划分：（1）（2）（6）（7）是一类，组成它的各 面全是平面；（3）（4）（5）是一类，组 成它的面至少有一个是曲面，若按柱、锥、球来划分：（1）（2）（4）（7）是一类，即柱体；（5）（6）是一类，即锥体；（3）是球体,变式拓展1.如图所示为8个立体图形 其中，是柱体的序号为；是锥体的 序号为；是球的序号为.,知识点2.平面图形 平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形.几种常见的平面图形如下表：,一些简单的平面图形可以组合成许多优美的图案，如某些国家的国旗，各种标志，由各种形状的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面等,解析：根据三角形、圆、平行四边形以及线段的定 义进行解答解：机器猫由三角形、圆以及线段组成；邮箱由矩形、三角形以及圆组成；会笑的人由圆、三角形以及线段组成,【例2】图中的几何图形可看作由哪些简单的图形 组成的？,变式拓展:2.如下图所示，下列各标志图形主要由哪些简单的 几何图形组成？,答：（1）由圆组成；（2）由长方形和正方形组成；（3）由四边形（或菱形）组成；（4）由圆和圆 弧组成.,知识点3.从不同方向看物体 一般地，从立体图形的正面、左面、上面三个角度观察立体图形，往往会得到不同形状的平面图形,几种常见几何体，分别从正面、左面和上面看到的平面图形如下表：,【例3】从正面、左面、上面观察如图所示的几何 体，分别画出你所看到的几何体的形状图.,解析：从不同方向观察物体和几何体，将所观察的 平面图形画出解：根据分析几何体图可知：,变式拓展：3.如图，是由3个相同的小立方块搭成的几何体，请分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的 形状图,解：绘图如下：,知识点4.立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形这样的平面图形称为相应立体图形的展开图 几种常见立体图形的展开图如下表：,注意：(1)不是所有的立体图形都可以展开，如球 体就不能展开.,(2)对于同一个立体图形，按不同的方式展 开，可以得到不同的平面图形.(3)由立体图形的展开图可以识别出立体图 形的形状，具体方法是：展开图中有圆，一般考虑圆柱或圆锥；展开图中有三角 形，一般考虑棱柱或棱锥；展开图中只 有长方形或正方形，一般考虑四棱柱,【例4】如图是几种立体图形的展开图，请指出它 们分别是哪种立体图形的展开图？,解析：（1）展开是四个三角形和一个四边形，说 明是四棱锥；（2）展开上下两个三角形，其 他面是长方形，说明是三棱柱展开得到的；（3）展开由两个相同的圆和一个长方形说明 是由圆柱展开的；（4）展开由一个扇形和一 个圆，说明是圆锥展开的解：图（1）是四棱锥展开的，图（2）是三棱柱展开的，图（3）是圆柱展开的，图（4）圆锥展开的,随堂检测1.下列图形中属于棱柱的有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,变式拓展：4.把下图中的三棱柱展开，所得到的展开图是(),B,C,A,B,4.在圆、正方形、圆锥、长方体、线段、球、三棱 柱、直角三角形中，是立体图形的有个5.如图所示，图（1）中的平面图形有；图（2）中的平面图形有.,4,长方形、圆,三角形、圆扇形、半、圆,4.1.2 点、线、面、体,1.将一个长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几 何体是（）A.圆柱 B.三棱柱 C.长方体 D.圆锥2.汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应 用是（）A.点动成线 B.线动成面C.面动成体 D.以上答案都不对3.笔尖在纸上快速滑动写出了一个又一个字,这说 明了；车轮旋转时,看起来像一个整体 的圆面,这说明了；直角三角形绕它的 直角边旋转一周,形成了一圆锥体,这说明了.,A,B,点动成线,线动成面,面动成体,4.长方体有 个面，有 个顶点，过每个顶点有 条棱，长方体共有 条棱.5.三棱锥是由 个面围成的，有 个顶点，有 条棱.,课堂精讲知识点.点、线、面、体 几何图形都是由点、线、面、体组成的，几何体简称为体，包围着体的是面，面和面相交的地方是线，线和线相交的地方是点也可以说成点动成线，线动成面，面动成体,6,8,3,12,4,4,6,【例1】图中的立体图形是由哪个平面图形旋转后得到？请用线连起来,解析：三角形旋转可得圆锥，长方形旋转得圆柱，半圆旋转得球，结合这些规律直接连线即可.解：如图,变式拓展：1.如图，直角三角形绕直线 旋转一周，得到的立 体图形是（）2.枪扎一条线给了我们以 的形象，打开的折扇给了我们以 的形象.,随堂检测1.把右图绕虚线旋转一周形成一个几何体，与它相似的物体是（）A.课桌 B.灯泡 C.篮球 D.水桶,C,点动成线,线动成面,D,2.下面的几何体中，不能由一个平面图形通过旋转 得到的是（）A.圆锥 B.棱锥 C.圆柱 D.球3.将一个圆围绕它的直径所在的直线旋转180形 成的几何体是（）A.圆锥 B.半球 C.球体 D.圆柱4.如下图,三棱锥有 个面,它们相交形成了 条 棱，这些棱相交形成了 个点.,5.用数学知识解释下列现象：（1）一只蚂蚁行走的路线可以解释为；（2）自行车的辐条运动可解释为,B,C,4,4,点动成线,4,线动成面,4.2 直线、射线、线段4.2.1 直线、射线、线段,课前预习1.一根拉得很紧的线给我们的形象似.2.激光笔发射出去的光线给我们的形象似.3.下列图形中的线段和射线，能够相交的是（）4.平面上有A、B、C三点，过其中的每两点画直线，最多可以画 条线段，最少可以画 条直线.,线段,射段,D,3,1,5.右图中共有 条直线，是；有 条线段，是.；以D点为端点的 射线有 条，是；射线DA与射线DC的公共部分是，线段，和射线 相交于点B.,1,直线AC,6,线段AB、BD、BC、AD、AC、CD,3,射线DA、DB、DC,点D,AB,BC,DB,课堂精讲知识点1.直线（1）直线的概念：直线是最简单、最基本的几何 图形之一，是一个不作定义的原始概念，直 线常用“一根拉得很紧的细线”“一张纸的 折痕”等实际事物进行形象描述.,注意：两条不同的直线不能有两个或两个以上的公共点，如果有两个公共点，这两条直线就互相重合,（2）点与直线的位置关系：点在直线上，如图（1）所示，点A在直线m上；点在直线外，如图（2）所示，点B在直线n外.（3）常用几何语句：如图（1）所示，点A在直线m上或直线m经过 点A.如图（2）所示，点B不在直线n上或直线n不 经过点B 如图（3）所示，直线a与直线b相交于点O,【例1】我们知道：平面上有一个点，过这一点可 以画无数条直线 若平面上有两个点，则过这两点可以画的 直线的条数是；若平面上有三个点，过每两点画直线，则 可以画的直线的条数是；若平面上有四个点，过每两点画直线，则 可以画的直线的条数是,解析：直线公理：经过两点有且只有一条直线可知 过两点可以画的直线的条数；过平面内三点、四点画直线时，要根据平面上三点、四点的 位置关系要分情况讨论根据直线公理：经过两点有且只有一条直线可知：若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条,数是：1.当三点在同一条直线上时，可以画1条直线，当三点不在同一直线上时，可以画3条故平面上有三个点，若过三点画直线，则可以画出直线的条数为1或3条如图所示：分别根据四点在同一直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线可知：平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为1或4或6,答案：1 1或3 1或4或6,变式拓展：1.平面内有三个点，过任意两点画一条直线，则可 以画直线的条数是（）A.2条 B.3条 C.4条 D.1条或3条,D,知识点2.射线,注意：表示射线时，一定要把表示端点的字母写在前面.,【例2】如图，点A、B、C在一直线上，则图中共有 射线（）A.1条 B.2条 C.4条 D.6条,解析：根据射线的定义，这条直线上的每个点都有 两条射线，故图中共有射线6条答案：D,变式拓展：2.射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的 是（）,C,知识点3.线段,（1）常用几何语句：连接AB，就是指画出以A，B为端点的线段.延长线段AB，是指按照从A到B的方向画出 的不属于原线段的几何图形，如图所示，线段的延长线一般用虚线表示延长线段 AB可以看做反向延长线段BA.,（2）线段、射线、直线的区别与联系：,【例3】图中共有线段（）A.8条 B.9条 C.10条 D.11条,解析：根据线段的定义来解答本题即可图中有线 段AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB，共10条答案：C,变式拓展:3.如图所示，图中共有几个线段（）A.4 B.5 C.10 D.15,随堂检测1.木工师傅在锯木板时，往往先在木板两端用墨盒 弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是（）A.两点确定一条直线B.两点之间线段最短C.在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且 只有一条直线垂直于已知直线D.经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已 知直线平行2.下列说法中正确的是（）A.画一条3厘米长的射线B.画一条3厘米长的直线C.画一条5厘米长的线段D.在线段、射线、直线中直线最长,A,C,3.如图，在射线AB上取三点B、C、D，则图中共有 射线 条 4.如图，图中的线段共有 条，图中的射线共有 条.5.要在墙上钉牢一根木条，至少要钉 颗钉子，根据是：.,4,3,6,2,两点确定一条直线,4.2.2 线段的度量与比较,课前预习1.如图AB=CD，则AC与BD的大小关系是（）A.ACBD B.ACBD C.AC=BD D.无法确定2.若点C是线段AB的中点，且AC=2.5cm，则AB=cm.3.如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小 颖家，他应该走第 条路，其中的道理是,C,5,两点之间线段最短,课堂精讲知识点1.线段的画法及比较 线段的画法：可用刻度尺先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段，也可以用直尺和圆规画一条线段等于已知线段.例如：已知线段，如下图，请用圆规、直尺做一条线段AB，使AB=.可以这样做：作点A、N，过A画射线AN.用圆规量出已知线段 的长度.在射线AN上，以点A为圆心，以 为半径作弧交射线AN于点B，即截取AB=.则线段AB即为所求(如下图).,线段的大小比较：线段的大小比较即线段长度大小的比较.（1）度量法：直接用刻度尺量出线段的长度来比较；（2）叠合法：把一条线段移到另一条线段上进行比较.,【例1】如图，已知线段AB，请用尺规按下列要求 作图（1）延长线段AB到C，使BC=AB；（2）延长线段BC到D，使CD=AC,解析：（1）利用直尺延长AB，再截取BC=AB；（2）再次延长BC，截取CD=AC,解：如图所示：,【例2】比较下列每组线段的长短：,解析：这里可以用度量法，也可以用圆规作叠合法.答案：图一CD长，图二CD长，图三AB最长.,1.从直观上看，下列线段中最长的是（）2.已知线段a、b和射线OA，如图,在OA上截取 OB=2a+b，OC=2a-b,B,解：（1）如图所示：OB、OC即为所求,知识点2.线段的中点及等分点的概念 线段的中点的概念：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点如图所示，M是线段AB的中点，则AM=BM=AB.另外线段还有三等分点、四等分点等.,【例3】已知线段AB，延长AB到C，使BC=AB，D为 AC的中点，若BD=6cm，求AB的长,解析：先根据BC=AB可知AC=AB，再由D为AC的中 点可用AB表示出CD的长，再根据BD=CD-BC=6 即可求出AB的长,解：BC=AB，AC=AB，D为AC的中点，CD=AC=AB=AB，BD=CD-BC=AB-AB=AB=6，解得AB=16cm答：AB的长是16cm,变式拓展:3.如图所示，点C、D为线段AB的三等分点，点E为 线段AC的中点，若ED=9，求线段AB的长度,解：C、D为线段AB的三等分点，AC=CD=DB 又点E为AC的中点，则AE=EC=AC CD+EC=DB+AE ED=EC+CD=9 DB+AE=EC+CD=ED=9，则AB=2ED=18,知识点3.线段的基本事实及两点的距离（1）线段的基本事实：两点之间，线段最短 如图所示，在连接A、B两点 的线中，线段AB的长度是最短的.（2）两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离,【例4】在看中央电视台“动物世界”节目时，我 们可以看到这样的画面：非洲雄狮在广阔 的草原上捕食鹿时，总是沿直线狂奔，其 中蕴含的数学知识是.,解析：根据线段的性质解答沿直线狂奔蕴含的数 学知识是：两点之间，线段最短答案：两点之间，线段最短,【例5】如图，设A、B、C、D为4个居 民小区，现要在四边形ABCD 内建一个购物中心，试问应 把购物中心建在何处，才能 使4个居民小区到购物中心的 距离之和最小？说明理由,解析：此题为数学知识的应用，使4个居民小区到 购物中心的距离之和最小，即需应用两点间 线段最短定理来求解,解：应建在AC、BD连线的交点处 理由：根据两点间线段最短定理，两点之间线 段最短，将A、C，B、D用线段连起来，路程最短，两线段的交点处建超市则使4 个居民小区到购物中心的距离之和最小.,变式拓展：4.下列三个日常现象：用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩,其中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的 现象是（填序号）5.如图，A、B是公路 两旁的两个村庄，若两村要 在公路上合修一个汽车站，使它到A、B两村的距离和 最小，试在 上标注出点P 的位置，并说明理由,解：点P的位置如下图所示：作法是：连接AB交 于 点P，则P点 为汽车站位置.理由是：两点之间，线段最短,随堂检测1.在直线 上顺次取A、B、C三点，使得AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的 长度是（）A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm2.A、B、C、D四个村庄之间的道路如图，从A去D有 以下四条路线可走，其中路程最短的是（）A.ABCD B.ACD C.AED D.ABD3.如图，为抄近路践踏草坪是 一种不文明的现象，请你用 数学知识解释出这一现象的 原因,B,B,两点之间线段最短,4.如图，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则 AC=cm 5.如图，已知线段a、b、c，请用尺规和圆规画图（保留画图痕迹）（1）画一条线段，使它等于a+b；（2）画一条线段，使它等于a-c 并用字母表示出所画线段,4.6,解：（1）如图，以A为圆心，线段a的长为半径 画圆交直线于B点，再以B为圆心，线段b的长 为半径画圆交于点C（C在AB外），则线段AC 即为所求；,（2）如图，以A为圆心，线段a的长为半径画圆交直线与B点，再以B为圆心，线段c的长为半径画圆交于点C（C在AB内），则线段AC即为所求；,4.3 角4.3.1 角,B,C,1,1.如图，射线AB与AC所组成的角不正确的表示方法 是（）A.1 B.A C.BAC D.CAB2.下列说法中，正确的是（）A.直线是一个平角 B.周角是一条射线C.角的两边是射线 D.角的两边是直线3.周角=平角=直角4.42.34=度 分 秒；562512=度.,56.45,5.如图，由O点引射线，则这三条射线形成 个角，其中AOB用数字表示是，2用三个字母 表示是,3,1,BOC,课堂精讲知识点1.角的认识 角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，在角的形成过程中，射线旋转时经过的平面部分是角的内部，如图所示.,射线OA绕点0旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图所示，继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角，如图所示,【例1】下列关于角的说法正确的是（）A.两条射线组成的图形叫做角 B.角的大小与这个角的两边的长短无关 C.延长一个角的两边 D.角的两边是射线，所以角不可度量,解析：根据角的定义和概念进行判断A.两条有公 共端点射线组成的图形叫做角，所以选项错 误；B.根据角的度量知道角的大小与这个角 的两边的长短无关，故选项正确；C.由于角 的两边是射线，故不能说延长角的两边，故 选项错误；D.虽然角的两边是射线，但是角 的度量不是度量边，所以角是可以度量的，故选项错误.答案：B,【例2】如图，图形表示的是（）A.直线 B.射线 C.平角 D.周角,解析：根据直线、射线、平角、周角的定义，结合 图形作出判断周角可以看做一条射线绕端 点旋转一周或始边与终边成一条射线，由图 形特点可知图形表示的是周角答案：D,B,D,知识点2.角的表示方法,注意：角的大小与边的长短无关，因为角的两边是射线，不可以度量角的大小只与构成角的两边张开的大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以参与运算 今后，如无特殊说明，所说的角都是小于平角的角,【例3】如图所示，下列表示角的方法错误的是（）A.1与AOB表示同一个角 B.表示的是BOC C.图中共有三个角：AOB，AOC，BOC D.AOC也可用O来表示,解析：根据角的表示方法表示各个 角，再判断即可A.1与 AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；B.表示的 是BOC，正确，故本选项错 误；C.图中共有三个角：AOB，AOC，BOC，正确，故本选项错误；D.AOC不能 用O表示，错误，故本选项正确.答案：D,【例4】如图所示，从一点O出发引 射线OA、OB、OC、OD，请 你数一数图中有多少个角，并把它们表示出来,解析：根据角的概念（有公共端 点的两条射线组成的图形 叫角）写出即可，注意不 要漏角解：共6个角，有AOB，AOC，AOD，BOC，BOD，COD，共6个角,变式拓展：3.如图，下列说法错误的是（）A.DAE也可以表示为A B.1也可以表示为ABCC.BCE也可以表示为C D.ABD是一个平角,C,4.如图，在图中有 条线段，有 个角,知识点3.角度制及换算（1）角的度量单位：把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1，把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1；把1分的角60等分，每1份叫做1秒的角，记作1（2）角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制（3）角度制的换算：1周角=360，1平角=180，1=60，1=60.,6,8,【例3】用度表示下列各角（1）3736；（2）516；（3）152436.,解析：（1）3736=37+=37+0.6=37+=37+0.01=37.01（2）516=51+=51+0.1=51.1.,（3）152436=1524+=1524+0.6=15+24.6=15+=15+0.41=15.41.答案：（1）37.01；（2）51.1；（3）15.41,变式拓展5.（1）2330=；（2）0.5=；（3）3.76=；6.周角=度=平角=直角,23.5,30,1800,3,45,36,180,1,2,随堂检测1.下列四个图形中，能用1、AOB、O三种方 法表示同一个角的图形是（）2.将下图中的角用不同的方法表示出来，填入下表：3.下列各角中，不可能是钝角的角是（）A.周角 B.平角 C.钝角 D.直角,B,BCE,2,BAC,DAB,5,D,4.如下图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分 针所成角的度数.5.计算：（1）5328+4732=；（2）1750-327=；（3）1524 5=；（4）3142 5=（精确到1）.,答：分别是巴黎30、伦敦0、北京120、东京90.,101,1423,77,62024,4.3.2 角的比较与运算,课前预习1.1=130，2=118，则1与2的数量关 系为（）A.1=2 B.1-2=12 C.1-2=22 D.2-1=122.把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则 ABC等于（）A.70 B.90 C.105 D.120,B,D,3.如图，点O在直线AB上，射线OC平分AOD，若 AOC=35，则BOD等于（）A.145 B.110 C.70 D.354.如图，OC平分AOB，如果AOB=36，则 AOC=第3题 第4题,B,18,如图所示，比较ABC和DEF的大小 如图所示，EF落在ABC的内部，那么DEF小于ABC，记作DEFABC.如图所示，EF落在ABC的外部，那么ABC小于DEF，记作ABCDEF 如图所示，EF和BC重合，那么ABC等于DEF，记作ABC=DEF.,【例1】若A=2018，B=201530，C=20.25，则（）A.ABC B.BAC C.ACB D.CAB,解析：A、B已经是度、分、秒的形式，只要 将C化为度、分、秒的形式，即可比较大小.,解：A=2018，B=201530，C=20.25=2015，ABC.故选A,变式拓展：1.若P=2512，Q=25.12，R=25.2，则下列结论中正确的是（）A.P=Q B.Q=R C.P=R D.P=Q=R,C,知识点2.角的和与差 如图所示，AOC是AOB与BOC的和，记作AOC=AOB+BOC.AOB是AOC与BOC的差，记作AOB=AOC-BOC.类似地，BOC=AOC-AOB.,【例2】如图，已知AOC=BOD=110，BOC=75，求：AOD的度数,解：AOC=110，BOC=75，AOB=AOCBOC=11075=35，又BOD=110，AOD=AOB+BOD=35+110=145 即AOD=145,解析：根据AOC=BOD=110，BOC=75，利用角的 和差关系先求出AOB的 度数，再求AOD,变式拓展：2.如图，AOC和BOD都是 直角，如果DOC=36，则AOB是 度,144,知识点3.角的平分线（1）定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线（2）性质：如图所示，OB是AOC的平分线，那么AOB=BOC=AOC.,【例3】如图所示，已知 直线AOB=90，BOC=30，OM 平分AOB，ON 平分BOC，求MON,解析：根据角平分线的定义得到MOB=AOB=45，BON=BOC=15，则 MON=MOB+BON=60,解：OM平分AOB，ON平分BOC MOB=AOB=45，BON=BOC=15 MON=MOB+BON=45+15=60,变式拓展：3.如图，COD=110，BOD=90，OA平分BOC，求AOD的度数.,解：（1）COD=110，BOD=90，COB=COD-BOD=110-90=20；OA平分BOC，AOB=BOC=10，AOD=AOB+BOD=10+90=100,随堂检测1.如果=3,=2，则必有（）A.=B.=C.=D.=,C,2.如图，已知AOC=BOD=90，AOD=150，则BOC的度数为（）A.30 B.45 C.50 D.603.由右图填空：第2题 AOC+；AOC-AOB；CODAOD-；BOC-COD；AOB+COD-.第3题,A,BOC,AOC,BOD,AOD BOC,4.如下图，OB是AOC的平分线，则AOB=BOC=；AOC=2=2.5.如图，COD=AOB=90若COA=40，则 DOB的大小为,AOC,BOC,AOB,40,4.3.3 余角和补角,A,37,150,30,课堂精讲知识点1.余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90（直角），那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角如果1+2=90，我们就说1是2的余角，同时2也是1的余角，这就是互余的含义（2）补角：如果两个角的和等于180（平角），那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角，如果+=180，我们就说 是 的补角，同时 也是 的补角，这就是互补的含义.（3）余角、补角的性质：等（同）角的余（补）角相等,【例1】如图，将RtABC的直角顶点C放在直线EF 上，若ACE=49，则BCF的度数是（）A.41 B.49 C.51 D.59,解析：由图可知ACE+BCF=90，根据余角的意义 直接求得答案即可 ACB=90，ACE=49 BCF=90-ACE=41 答案：A,【例2】（2015越秀区一模）若与互为补 角，则下列式子成立的是（）A.-=90 B.+=90 C.-=180 D.+=180,解析：根据两个角互为补角，它们的和为180，即可解答 与互为补角，+=180，答案：D,变式拓展：1.如图所示，点O在直线 上，1与2互余，=116，则的度数是（）A.144B.164 C.154D.1502.已知1=55，2与1互为余角，3与2互 为邻补角，则3的度数为（）A.35 B.145 C.125 D.55,C,B,知识点2.方位角 方位角就是用角度和方向表示方位的角，如图所示，与地面上的方向顺序相同，在平面图上方向为“上北，下南，左西，右东”，东北方向表示以正北为角的始边，向东转45时的射线的方向，又叫北偏东45；东南方向为南偏东45；西南方向为南偏西45；西北方向为北偏西45，方位角习惯上把南或北写在前，把东或西写在后，用两个方向表示（如北偏东60）一般地，方位角是以第一个方向为角的始边向第二个方向转动所形成的角,【例3】在灯塔O处观测到轮船A位于北 偏西54的方向，同时轮船B 在南偏东15的方向，那么 AOB的大小为（）A.69 B.111 C.141 D.159,解析：首先计算出3的度数，再计算AOB的度 数即可 由题意得：1=54，2=15，3=90-54=36，AOB=36+90+15=141.答案：C,变式拓展：3.一艘轮船行驶在B处同时测得小岛A，C的方向分 别为北偏西30和西南方向，则ABC的度数是（）A.135 B.115 C.105 D.95,C,随堂检测1.一个角的补角是（）A.锐角 B.直角 C.钝角 D.以上三种情况都有可能 2.70的余角是，补角是.3.（90）的余角是，它的补角 是.,D,20,110,90-,180-,4.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角 的度数.5.如下图，射线OA表示的方向是；射线 OB表示的方向是；射 线OC表示的方向是.,解：设这个角的度数为x 则180-x=4（90-x），解得x=60答：这个角的度数为60.,北偏西30,西南方向(或南偏西45),南偏东70,