硕士学位论文高中生函数应用题理解障碍研究.doc

高中生函数应用题理解障碍研究 目 录摘要Abstract第一章 引言1一、 问题提出的背景1二、 本文研究的主要问题4第二章 高中生函数应用题理解障碍的研究综述5一、 数学理解障碍的涵义及生成机制5二、 对函数概念理解的研究6三、 对数学应用题解决的研究及其现状9四、 对文献的思考13第三章 高中生函数应用题理解障碍的调查研究14一、 研究目的14二、 调查对象与方法14三、 调查设计与实施14四、 测试题目的简要分析16第四章 数据整理与分析17一、数据处理17二、问卷分析17三、测试题分析21第五章 高中生函数应用题理解障碍的研究结论32 一、高中生函数应用题理解障碍归类32二、高中生函数应用题理解障碍归因33第六章 教学建议37 一、激发学生“有意义学习”的意向，消除心理障碍37 二、加强数学阅读理解38三、加强对函数概念的理解38四、重视数学模型方法在教学中的应用，提高学生建模能力39五、注重数学交流39六、提高运算能力，注重运算的正确性40第七章 结束语41一、本研究的不足41二、可继续研究的课题41注释42参考文献43附录A 45附录B 46致谢48 中 文 摘 要函数是高中数学的一条主线。函数的观点和方法贯穿整个高中代数的全过程，又渗透到立体几何和解析几何中。函数的重要性表现在其自身的深刻性和应用的广泛性上，对函数概念的透彻理解，是求解有关函数应用题的基础；而函数应用题是函数概念在实际问题中的应用。随着新课标的深入实施，应用题已经成为高考的热点之一，函数应用题更是首当其冲。应用题所涉及的问题背景取材广泛，贴近生活，然而其得分率却很低。由于函数应用题对知识间相互联系要求较高，综合性较强，所以解函数应用题历年来都是令学生最头痛的，许多学生都对此类问题感到心有余悸，坐卧不安，存在严重理解障碍 。本研究就是在这样的背景下，通过问卷、测试、访谈等形式，对高一学生函数应用题的理解障碍进行了深入细致的调查分析和研究。一、本研究，主要关注以下几个问题：1、 调查高一及高三的学生学习函数应用题的兴趣、态度、自信心，学习函数应用题的现状，为进一步的研究作铺垫。2、 研究学生在理解几类函数应用题时所出现的主要障碍。3、 给出相应的教学建议。二、研究表明，学生在理解函数应用题时存在：1、 认知障碍，包括： 无从下手；读不懂题意，对题意理解不准确；混淆函数值与自变量的关系；对一些数学语言不熟悉；搞不清题目中的数量关系；数学建模困难；定义域错误；对函数概念理解不透彻，导致对几类特殊函数的理解存在困难；基础知识不牢固，基本技能不扎实。2、情感障碍。三、针对这些障碍，提出以下建议：1、激发学生“有意义学习”的意向，消除心理障碍。 2、加强阅读理解。 3、加强对函数概念的教学。 4、重视数学模型方法在教学中的应用，提高学生数学建模能力。5、注重数学交流。6、提高运算能力，注重运算的正确性。 关键词：函数； 函数应用题； 理解障碍分类号：G633.6AbstractFunction is one of the most important key points in high school mathematics. The concept and methods of functions is not only throughout the whole process in high school algebra but also penetrate into the three-dimensional geometry and analytic geometry. The importance of the function expresses both in its own deep and wide application, therefore a thorough understanding of the function concept is applied to solve problems on the basis of the function; the whole function of the concept of understanding problems is a function of practical problems. With the deepending of the implementation of new curriculum, application problems have become one of the hot points in college entrance examination, the function problems in understanding are particularly affected. Application of the background issues involved questions drawn wide range of life, but its rate in getting scores is very low. The function applied between the interconnected problems of knowledge are higher, more integrated, so the solution is the function application problems over the years, and it is always not only the biggest troublesome problem to students but also a serious understanding obstacle. in this context, through questionnaires, tests, interviews, etc.,this study was completed on the function of understanding problems high school students conducted in-depth understanding of obstacles to the investigation and detailed analysis and research. First, this study focuses on the following questions: 1、 the survey and the third year high school students interested in studying the function word problems, attitudes, self-confidence, learning function application question the statusquo, to pave the way for further research. 2、 several types of research students in understanding the function of application problems occur when the main obstacle. 3、the corresponding teaching suggestions. Second,research shows that students in understangding the function of word problems exist:1、cognitive impairment,including: no start； not read the meaning of problems, inaccurate understanding of the meaning of the questions； confusion function value and the relationship between the independent variables； not familiar with some mathematical language；confuse the relationship between the number of the title； mathematical modeling difficult； domain error； not a thorough conceptual understanding of function, leading to several special kind of difficult to understand the function； basic knowledge is not solid, basic skills are not solid. 2、 affective disorder Third, the response to these obstacles, the following recommendations: 1、to inspire students to "meaningful learning" the intention to eliminate the psychological barrier. 2、to enhance reading comprehension.    3、to strengthen the teaching of the concept of function. 4、attention to mathematical model in the teaching and improve student mathematics modeling.5、focusing on math communication.6、increased computing power, focusing on the correctness of operation.Key words:function；the function application； barrier to understanding Classification: G633.6第一章 引言一、问题提出的背景20世纪初，现代数学教育的领军人物英国数学家贝利和德国数学家克莱因，积极地推动了数学教育改革。克莱因提出了一个重要的思想-以函数概念和思想统一数学教育的内容。他认为“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。” 100多年来，经过几代人的努力，函数和函数的思想进入了中小学数学，成为了中小学数学课程的基本脉络。纵观数学发展的整个历史，可以得知，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用，有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。日本1931年的教授要目中提出：“在讲授时，必须经常注意培养函数的观念。”美国数学教师协会(NCTM)在1989年出版的中小学数学课程及评量标准中强调将函数概念当作中学与高等数学课程的中心组织原则。函数概念在数学中扮演一个中心的角色，亦是数学教育领域中所不可缺少的。法国的数学课程在四、五年级就要求学生认识和使用在小数集上定义的数值函数；七年级开始用图表表示情景，通过消费、发展、环境、财务、信息生活、健康等让学生初步感受函数；八年级学生能用图、表或解析式等多种方式表示函数，但不会给出严格定义；到九、十年级用表格、数表、图表处理一些来自横向各领域的问题，定义处理仍十分谨慎；进入高中阶段，大量增加函数内容，并在教学大纲上明确表示学习函数的目的。英国的A水平SMP教材第一册就有数学模型函数、导函数，第二册有多项式函数，第三册是对数函数和指数函数，函数内容贯穿于整个数学教学内容。德国从8年级就引入函数概念，学习一次函数，9年级学习二次函数，10年级学习幂函数、指数函数和对数函数，11年级学习实函数。我国真正意义上的函数教学起始于1941年颁布的初中数学课程标准，“教学目标”中较为明确地规定要“培养学生分析能力，归纳方法，函数观念及探讨精神”；在数学教学大纲中规定的教学内容有:“函数及其图解，一次函数及其图象”。需要指出的是，那时虽有了函数内容，但对函数概念的理解只处在18世纪的发展水平一依赖于变量之间的变化。1952年的教学大纲中进一步强调指出“发展函数相依关系和图解的概念”。在1960年2月召开的中国数学会第二次代表大会上，提出了对于中小学数学教材内容现代的建议，建议指出“以函数为纲”，而后函数教学内容经历了精简和变迁。1978年提出“要把集合、对应等思想渗透到初中教材中”。普通高中数学课程标准要求学生把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习；结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法；收集函数模型的应用实例，了解函数模型的广泛应用；利用信息技术探索和了解指数函数、对数函数的变化规律和性质；将函数思想和方法贯穿在整个高中数学的学习中，不断加深对函数本质的认识和理解等等”。显然，标准对函数教学的定位仍是高中核心内容，要求把函数作为模型来教，并在教学过程中让学生感受建立模型的过程与方法，要求给学生举出大量函数模型的例子，使学生从中体味函数模型有着极其广泛的应用。由此可以看出 ，无论是国际还是国内，都特别强调函数思想方法要贯穿在整个高中教学当中，函数是高中数学的核心内容。 另一方面，被人们称为20世纪数学教育的第一声春雷的培利克莱茵运动，拉开了20世纪数学教育改革的序幕，提出了“数学教育应该面向大众”和“数学教育必须重视应用”的思想。紧随其后，五、六十年代的兴起的“新数”运动，以及80年代以来的“问题解决”、“大众学”的提法，都说明了数学应用已成为一股不可阻挡的国际潮流。近年来，伴随着数学建模、数学应用于实际等教学实验的相继展开，数学应用逐渐成为了国际数学教育改革的主旋律，数学应用的广泛性也备受关注。1959年5月华罗庚教授在人民日报发表的大哉数学之为用一文，精彩地叙述了数学应用之广泛：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁”；进入九十年代，中国科学院物理学部在今日数学及其应用(王梓坤执笔)一文中，对数学及其应用也进行了酣畅淋漓的论述。国际数学联盟(IMU)把2000年定为“世界数学年”，并且制定了如下宗旨:“使数学及其对世界的意义被社会所了解，特别是被普通公众所了解” 。这些都是对数学应用的充分肯定。在这样的背景之下，加强数学应用成为许多国家课程关注的焦点。英国的国家数学课程十分重视培养学生的数学应用能力，课程标准将数学应用定位在解决实际问题、探索数学内容之间的联系以及数学与其他学科之间的联系上。美国十分注重学生问题解决能力的培养，强调数与生活、与其他学科的关联并提出了“用数学于现实世界”的口号。日本注重学生对日常事物进行有条理的思考能力，使学生明白用数学问题的长处，培养学生自觉地把数学运用于日常生活的态度。一贯重视理论性和逻辑体系的德国，在数学教学上也强调理论与应用相结合，强调内容的实在性，即重视学生通过数学教学获得的知识能在以后的学习与工作中得到直接运用。香港于1999年底正式出版了中学课程纲要：数学学科，从其课程改革的动向中，也体现了对应用能力的重视，特别设立“数学进一步应用”单元注重数学在日常生活中的应用，让学生了解到数学知识是源于现实生活所遇到的问题并经过多年研究形成的知识系统。目的是鼓励学生进一步运用数学知识，以解决较复杂的现实生活或数学环境下遇到的问题。由以上的分析可以看出：国外教育发达国家普遍认为数学教育的目标并不仅仅是为了让学生学到一些数学知识，更重要的是要让学生能够把数学应用于现实生活，解决实际问题。在我国，数学应用更是源远流长，中国古人历来主张“学以致用”，并形成了中国古代教育的一大特色。数术九章作者秦九韶主张“数术之传，以实为本”，就是强调数学的应用性和实践性。周骸算经、九章算术等文献也基本上从生活中的实例出发，研究数学概念和原理。在近代，1941年修订的数学课程标准，要求帮助和引导学生在日常生活经验中发现数学知识，在自然科学、生产生活中运用数学解决问题。改革开放以后，我国教育事业进入了高速发展时期，严士键、张奠宙教授率先在1993年提出把数学应用纳入高考数学试题中，并在上海、北京举行了数学应用知识竞赛，1995年以后高考数学每年都有应用题。2000年修订的国家高中数学教学大纲要求“进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想像能力、解决实际问题能力，以及创新意识。”解决实际问题的能力是指：“会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和生活中的数学问题，会使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识。”2003年的普通高中数学课程标准(实验)中指出：高中数学课程要有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其它学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。数学应用题作为数学理论与实际联系的桥梁，在数学素质教育实施中已占有越来越重要的地位。高中数学应用题的教学正是给学生提供了一个根据客观现实而形成数学概念的极好机会，学生可以通过建构性数学学习来理解和把握数学之外的生活世界的能力；在数学应用题的解答过程中，学生可以感受到数学在实际生活的广泛应用，体验到数学巨大的思维价值和实际价值。因此，重视应用问题的教学，有利于培养学生分析综合能力 ；有利于促进学生的数学创新能力的发展；有利于培养学生科学的实事求是的态度和理论联系实际的思想方法。二、本文研究的主要问题近年来，高考数学应用题已成为高考数学卷的重要组成部分。正是由于高考数学应用题体现了学生学习数学的应用性能力的考查，应用题作为高考的热点问题倍受人们关注。 “函数的应用”一直是重点，是学生在高中首先接触的应用题类型，也是高考数学应用题中的热点类型。学生在初中时就已经接触过一次函数、二次函数应用题，到了高中将更加系统地学习。但很多学生在理解函数应用题时感觉到很困难，思路不清晰，这是我们一线数学教育工作者一直都很重视的问题。这就需要我们认真研究函数应用题的教与学，从中去寻找解决问题的方法。笔者通过查阅大量的文献、资料发现，国内外在针对有关函数应用题理解障碍方面的研究较少。对目前应用题教学的研究成果的概总来看，都只是对广泛意义上的应用题进行解题错误的原因以及解题策略的研究，没有具体到针对某种类型的应用题，比如函数应用题。本文希望对以往文献中有关高中函数应用题方面尚未仔细深入研究过的问题作进一步的探究，拓展已有的成果，也希望通过本研究取得一些结论，对高中函数应用题的教与学提供参考。第二章 高中生函数应用题理解障碍的研究综述关于高中生函数应用题的教学研究，大都是函数应用题解答方面的，而关于高中生函数应用题理解障碍方面的研究鲜见报道。因此，对相关文献研究的介绍，我们将从关于“数学理解障碍的研究”、“函数概念的研究”和“对数学应用题解决的研究及其现状”三部分加以介绍。一、数学理解障碍的涵义及生成机制 （一） 数学理解障碍的涵义 所谓数学理解障碍，通俗地说，就是指学生在理解数学知识时遇到的困难。但就整个理解过程来说，具体是指学生在现有的认知水平范围内，试图以目前自身已有的知识经验对数学知识信息进行思维加工，但尚未能正确地重新加以解释，重新建构其意义，以至无法把新的学习内容正确地纳入原有的认知结构，在思维过程中出现断层的一种认知状态。 由于数学本身所具有的特点，使得学生要想理解、学习后面的知识，必须理解好前面的知识。如果学生不能把握数学知识等的本质内涵及其所蕴涵的内在联系，就会产生理解障碍。所以，教师在讲授新的内容时，必须要事先了解学生与与新知识有关的认知情况，并根据学生原有的理解状况进行教学。（二）生成机制 理解是一个独特的学习过程，在理解过程中，由于个人感性认识的独特性、知识经验水平的差异性，使得每个学生在特定的学习条件下理解的方式也是独特的。从认知心理学的角度看，在理解的初始阶段，每个个体对于输入的信息，都会先形成一个初步的表象，再作进一步的信息加工。在这个过程中，如果要理解的知识的某些要素或某一侧面，原有认知结构储存的相关信息比较薄弱，或是起干扰作用的某些负面因素同知识的其他要素相比，占据优势，那么这些负面因素作用于大脑皮层上引起的兴奋就会减弱或抑制其他要素的刺激作用，从而导致理解障碍的发生。从理解的必要条件来看，(l)假若学生对新知识根本没有理解的意向，那么，他们也就不愿激活原有认知结构中的有关信息，势必会产生理解障碍；(2)当要理解的新知识超出了学生现有的认知水平，学生不具备理解新内容的知识与能力时，也会产生理解障碍；(3)如果学生不具备学习新知识所需要的合理的数学认知结构，那么学生在理解时，原有认知结构中就没有相关知识信息可与新知识联系起来发生作用，从而也会产生理解障碍。对于中学数学教材来讲，它的内容主要是概念、性质、数学思想方法等。其中对概念的理解是基础，如果理解概念时出现障碍，那么势必会导致理解其他内容时也会出现障碍，正确理解概念非常重要。由此可看出，学生对函数概念的理解困难是导致对函数应用题理解障碍的不容忽视的因素。关于中学生数学理解障碍的实证性研究，国内主要有：何小亚在数学应用题认知障碍的研究分析中指出，学生学习数学应用题的障碍表现在：（1）由复杂的问题背景引起的障碍；（2）由不理解基本术语的意义引起的障碍；（3）由泛化律引起的障碍；（4）由认知图式的检索引起的障碍。王爱珍在中学生数学理解障碍及教学对策的探究中，对数学学习中的理解障碍分为三种类型：（1）认知结构缺损型障碍；（2）表象型障碍；（3）语言型障碍。吴春燕在高中生数学概念理解障碍的初步研究中认为，数学概念理解障碍分别受到学生认知结构、数学语言学习、数学概念体系、外部环境因素的影响。张杰在中学生数学学习认知理解障碍调查及其教学研究中对数学学习认知理解的影响因素进行了分析和阐述，并结合认知、心理以及综合学生在数学学习各个环节的主要表现，归纳出基础图式型、语言型、联系型三种主要障碍类型和八种主要表现。由以上研究可以看出，数学理解障碍中的认知理解障碍是一种主要学习障碍，它伴随着数学学习活动的进行而产生，这一障碍在函数概念以至于函数应用题的理解方面，体现尤为明显。二、对函数概念理解的研究大量的教学实践表明，函数概念是学生数学学习中最困难的概念之一。这是因为：(一)函数本身的复杂性是造成学生学习困难的主要因素。函数包含两个本质属性(定义域与对应法则)和较多的非本质属性(如值域、自变量、因变量、集合等)；函数还具有多种表示法；函数与其他内容有错综复杂的联系等。函数的这些复杂性决定了函数学习困难的必然性，其学习困难主要表现在：函数变量理解困难，许多学生不能正确地理解数学中的“变量”与日常生活经验的差异；函数符号抽象的困难，函数概念的符号化表示是学习的难点，有些学生到了高中毕业也没有真正弄明白到底是什么，“”的抽象性和隐蔽性，大大增加了函数的学习难度。函数图象运用困难，大多数学生常常把函数图象看成为函数之外的东西，没有把它当函数的一个有机组成部分。函数要求思维在符号语言与图形语言之间进行灵活转换，这恰恰是很多学生尤其是刚升入高中的学生最薄弱的地方。(二) 中学生思维发展水平。初中生以形式逻辑思维水平为主，刚进入高中的学生，思维刚刚脱离了经验型的逻辑思维，学会了对一些事物进行浅层次的抽象，但还无法上升到辨证思维阶段。这种认知发展的阶段性特点，限制了学生对于抽象的函数概念的理解和把握，构成了对函数概念学习的认识障碍，从而导致了对函数应用题的理解障碍。关于函数概念的学习和理解，国外的实证性研究比较多，主要有：Vinner 和Dreyfus 于1989年调查了以色列271名不同专业的大学生和36名初级中学的教师对函数概念的理解，研究发现，学生对函数的理解多种多样，函数概念的表象和定义间存在矛盾是很普遍的。调查显示，不同专业的学生对函数的理解有很大不同，除了数学专业的学生和教师，其他专业的学生对函数的理解都比较简单、肤浅，学生能给出正确定义叙述的比例随着他们所学数学水平的提高而增加。Evne的研究指出，表征体系是概念学习的关键，通过用不同的形式表示或识别不同形式表示的同一个数学概念的学习，能使学生明白概念内在的本质联系，达到更深的理解。最近20年的一些研究者都强调了数学概念的表征对概念理解的重要性。而函数有七种表征类型，形式十分丰富，每一种表征类型又有许多变化，学生在识别函数的各种表征形式上会存在很多困难。Markovits等人的一项研究比较全面地指出了学生在函数学习中常见的8个问题：有三类函数较难掌握：常数函数、分段函数和由离散点表示的函数；对象和原象的概念和表示，只能部分地掌握；常常忽视函数的定义域、值域；手头上具有的函数例子，常只限于图象和代数表达式两种，而且是代数形式偏多一些；由图象化为代数表达式的能力较差；有关函数的比较复杂的操作技巧是学习的难点；在描画图象时，会受到线形图形的影响；上述许多难点，在由约束条件定义的函数的问题中也有不少表现。Clement设计了28道有关函数的题目，在学期末对35名学生进行问卷调查并对其中5名学生进行访谈，得出：由于学生所接触过的函数仅限于课本中的原型，所以他们对函数的理解往往非常狭窄或者包含着错误的假设。他因此提出，课堂上师生之间要更深层次地讨论函数定义、函数的不同表示法以及这两者之间的关系。他还指出，应该改变评价学生思维的方法，通过多种方式来评价学生现有的理解，并由此来帮助他们更好地理解函数。Akkoc和Tall研究了学生对常数函数的识别，研究发现，很多学生只是根据他们所注意到的问题的某一方面特征来作出判断，而没有根据函数的本质含义(各种表征形式之间的内在联系)来作出一致性的判断。国内对函数概念理解方面的研究主要有：首都师范大学的朱文芳在题为函数概念学习的心理分析一文，从学生的概念形成水平、不同数学气质类型的影响以及学生思维发展水平三个方面论述了学生学习数学概念困难的根源。分析指出，函数是个较难形成的概念，当学生概念形成水平较低时，就会出现认识上的困难。因此，教学分两次学习来减轻学生认知上的困难是必要的；学生数学气质类型上的差异在函数学习中表现得尤为显著；对中学生的思维水平来说，建立函数这样一个复杂的概念在认知上需要克服许多障碍。广西师范大学的汤服成于 2001 年 9 月在辽宁师范大学学报杂志上发表题为图式理论与函数概念学习一文，基于图式理论，分别从函数概念图式的特征、函数概念图式的习得过程、函数概念图式的功能分析以及函数概念学习困难分析几个方面揭示了函数学习的本质。他指出：图式理论在函数学习中具有很重要的作用，有利于函数概念知识结构化，有利于学生形成良好的认知结构9。 上海控江中学的曾国光于 2002 年 5 月在数学教育学报杂志上发表了题为中学生函数概念认知发展研究一文，他调查了初三、高一和高二三个年级的学生，并对部分学生进行了个案访谈。分析表明：学生函数概念的认知发展有作为“算式”的函数、作为“变化过程”的函数、作为“对应关系”的函数三个阶段，这三个阶段符合由低级到高级、由具体