分孩次生育率与人口总量关系探究数学专业毕业论文.doc

（2013届）本科毕业设计（论文）题 目 名 称： 分孩次生育率与人口总量 学 院（部）： 理学院 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 班 级： 应数091 学号：09411300136指导教师姓名： 职称：副教授最终评定成绩： 年 月湖南工业大学本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文（设计），题目是本人在指导教师的指导下，进行研究工作所取得的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文章以明确方式注明。除此之外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。本人完全意识到本声明应承担的责任。作者签名：日期： 年 月 日分孩次生育率与人口总量摘 要这篇文章大体上需要解决的问题是怎样由分孩次生育率的数据以及人口总量的数据来大致取得两个数据之间函数关系，以此来表示这两个变量之间的关系，并以此来作为人口统计的一个参考.大体上的研究思路是这样的：对于分孩次生育率来说，通过决策分析的一些研究方法，并利用各年的分孩次生育率的数据得到加权之后的总和生育率数据（此篇文章是通过基于离差最大化的决策方法来获取权值），并以这个数据作为由分孩次生育率数据所得到的生育率数据.其次是获得人口总量的数据（国家统计局的数据库中查到）.最后是把这两个数据进行拟合，这里将采用最小二乘法以及多变量数据拟合的方法来获取这两个数据之间的关系.并比较这两个方法之间的优劣，使得最终的结果更加直观的呈现出来！关键词：分孩次生育率；离差最大化；最小二乘法；多变量的数据拟合ABSTRACTThis article generally need to solve the problem is how from the parity fertility data and population data to approximate function to obtain the relationship between the two data, in order to express the relationship between the two variables, and to serve as a reference population statistics.Research ideas in general is this: for the parity fertility rate, through some of the decision analysis method, and the years of the parity fertility data are weighted after the total fertility rate data (this article is through the deviation decision method based on maximum to obtain weights), taking the data as obtained from the parity fertility data fertility data. Second is to obtain the total population data (National Bureau of statistics database to check). Finally, thefitting of the two data, uses the least square method and the fitting methodOf multivariate data to obtain the relationship between the two data. And a comparison between these two methods, so that the final results more intuitive! PresentationKeywords: the parity fertility rate; maximum deviation; least square method; data fitting multivariate目 录摘 要3Abstract41 引言62 人口总量63 妇女生育率73.1妇女生育率的定义73.2妇女生育率的获取94 分孩次生育率与人口总量114.1 最小二乘法124.2多变量的数据拟合15小 结19参考文献19致谢201 引言自古以来我国一直是一个人口大国,如此大量的人口基数确实对我国的发展延续以及文化传承做出了莫大的贡献，但是也必须看到人口过多所带来的如环境及资源的问题。基于以上的原因,我认为研究人口总量对于一个民族来说是非常重要的！然而影响人口总量的因素是非常多的,其中分孩次的妇女生育率是影响人口总量的一个至关重要的因素,对于妇女生育率来说,采用给分孩次的生育率加权的方式去获取妇女生育率能更加直观的把各孩次生育率的重要性程度体现出来,使之能更真实的反映妇女生育率水平的情况.从国家统计局数据库可以查询各年的人口总量.最后数据的拟合，用两种方法进行数据的拟合，并比较那种方法更加的合适. 2 人口总量我国有着五六千年的文明历史，一直是以开放，强大而文明。而这所有的一切都来自于各民族人的共同努力！众所周知，我国长久以来都是拥有庞大的人口基数，这是我们国家的基础，也是我国的优势，对于中华民族的传承繁衍来说都是至关重要的。人口基数大确实是优势，但从长远来看却不能适应时代的发展，这是需要我们特别注意的地方.处理庞大的人口数据需要有极大地耐心和优秀的数据处理能力，这里为了减小由于人口统计所带来的问题，将把人口单位设置为以万人为单位，这样虽然会使计算的精度有所下降，但这不会带来特别大的影响。而且国家统计局的一些数据也只是精确到万人，因此由于上述的原因而采用万人为单位。为了弥补由于精度降低而带来的数据损失，我在小数点的后面加上了两位的有效数字。在尽可能降低计算的繁琐程度的同时，也尽可能地在一定程度上保证了人口数据的稳定性，用以降低数据误差而带来的结果的误差过大。 在这篇文章之中截取的年份人口的数据时从2005年一直到2011年七年之间的年份数据，而下文妇女生育率的截取年份也是从2005年的数据到2011年数据的。人口数据是从国家统计局的官方网站中查询得到的，主要的来源是网站中的中国人口统计年鉴1以及中国统计年鉴2 的数据。 人口的数据是从中国统计年鉴2上查询而得，查看统计局官网的结果，得到2005年到2011年的人口数据，查询而得的人口数据如下：2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年人口（万）130756131448132129132802133450134091134735采用上面所提到的给每年的人口数据都在小数点后面的加上两位有效数字提高精度的办法，得到的处理之后的人口数据，结果如下表（单位：万）：2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年人口130756.00131448.00132129.00132802.00133450.00134091.00134735.00经过上述方法的处理，结果即是从2005年到2011年人口的总数，人口总数的统计就告一段落，接下来是处理妇女生育率的问题。3 妇女生育率3.1妇女生育率的定义这篇文章主要使用的生育率是分孩次的妇女生育率，但是为了更好的体现妇女生育率的全面情况，也对一般妇女生育率以及分年龄组的妇女生育率也做了适当的介绍。定义3.1.13:一般生育率(General Fertility Rate),一般说来指的是在一段期限内(大体上为1年内)平均一千名育龄妇女中出生人数的比率.在这之中的育龄妇女主要是指15岁到49岁这一年龄阶段的女性,基本情况是,只要是处于这个年龄段之中的妇女,不去考虑她是否婚配 ,不去考虑她是否能够孕育后代,这样的妇女都是属于育龄妇女的.一般生育率的基本表达式为:;各个数据所代表的意思:B为1年之中出生婴儿数量的总和;W为育龄妇女年中人数,相当于和出生人口数相应年份的育龄妇女年平均人数.由这个公式就可以计算出一般生育率。定义3.1.23：分孩次生育率, 一般说来指的是一段期限内(大体上为1年内)平均一千名育龄妇女中分孩次的出生人数的比率.大体上划分为一孩生育率,二孩生育率,三孩及以上生育率.1. 一孩生育率是指一孩生育婴儿数的出生比率:;公式之中的指的是1年之中一孩出生人数(下文中的一孩),W指的是育龄妇女年中人数.2. 二孩生育率是指二孩生育婴儿数的出生比率:;公式中的指的是1年内二孩出生人数(下文中的二孩), W指的是育龄妇女年中人数.3. 三孩及以上生育率是指三孩及以上生育婴儿数的出生比率:;公式之中指的是1年内三孩及以上出生人数(下文中的三孩),W指的是育龄妇女年中人数.定义3.1.14:分年龄组生育率，又被称为年龄别生育率或者说是按龄生育率，与一般生育率的区别在于它是以某一年龄组的妇女为总体的。它是指在一段时间内（通常是一年内）该年龄组妇女生育的婴儿数与该年龄段妇女的年平均人数的比值。其表达式为：式中：为岁育龄妇女的生育率；为岁育龄妇女的年内出生人数；为岁育龄妇女的年平均人数。以上就是三种妇女生育率的定义。3.2妇女生育率的获取文章采用的生育率分孩次的妇女生育率，数据可以直接从国家统计局的文献中查询得到，再用决策分析中的离差最大化的方法对分孩次生育率进行决策。3.2.1 分孩次生育率在国家统计局数据库中查询得到中国人口统计年鉴1以及中国统计年鉴2上历年分孩次生育率的实际情况,这个即是各年分孩次生育率的情况（七年）,查询得到的各年数据如下表:2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年一孩21.6823.0225.0426.2224.2420.7119.75二孩10.9010.6211.0511.1810.6010.428.72三孩1.851.361.371.431.302.181.29基于从国家统计局数据库之中所获取的分孩次生育率的数据采用基于离差最大化的决策分析方法来取得妇女生育率加权生育率作为妇女生育率.以便体现各孩次生育率对于妇女生育率贡献的真实水平.提取各孩次的综合贡献值.3.2.2 基于离差最大化的决策方法5 多属性决策，一般是对决策的方案综合属性值得排序比较，如果在某属性下决策的方案属性值的差距越小，则越说明该属性的排序的作用越小。反之则说明该属性对于排序来说起着更大的作用。因此，从方案排序的方面来讲，偏差值越大的属性应该赋予更大的权重。特别的，若所有方案在某一属性下的属性值无差异，则该属性对于方案的排序来说是不起任何作用，可令其权重为06，而离差最大化的方法正是在这一前提条件下通过计算方案的离差，并求解方案的离差模型达到最优值而求解出最终的结果。 但是考虑到本篇文章的特殊性，即不需要对方案进行最后的排序，只需要在计算出权重属性后计算出各年的决策属性值即可，因此舍去了决策分析的最后过程，具体的步骤4如下：步骤1 对于一个多属性决策问题,我们首先需要做的是要构造一个决策矩阵,并利用适当的方法把它规范化为.规范化的方法为:如果属性权重的类型是效益型，即属性值越大越好的属性,那么:;或者;若属性权重值是成本型,也就是说属性值越小越好的属性,那么:;或者;其中,N为各个方案,I为属性.效益型以及成本型;由此得到我的规范化矩阵.步骤2 .利用公式.计算出各方案的最优权重向量，属性权重值就算出来了步骤3 根据上一步所计算出来的属性权重值给各个方案进行加权.以此计算出来的结果即是每个属性的综合决策属性值。由于本文并不需要对各年的妇女生育率属性进行排序，所以最后的步骤也就是排序的步骤就省略了。3.2.3 由计算所得的决策权重计算各年的综合决策值步骤1 由上述提到的离差最大化的决策步骤计算得出本文之中的妇女生育率的规范化矩阵如下表，考虑到我国的实际情况是既要保证繁衍，又不能是人口总量超过环境的承载能力，在这种情况下我认为把一孩生育率设置为效益型，而把二孩生育率与三孩生育率设置为成本型。2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年一孩0.826850.877960.95510.924490.789860.75324二孩0.80.821090.789140.779960.822640.838651三孩0.69730.948530.628440.90210.992310.591741这就是利用上文提到的规范化方法而计算出的规范化矩阵步骤2 计算得出规范化矩阵后就可以直接利用公式求出决策属性值，但是为了更加直观的求解出决策属性的权重值，我将先计算出公式的上半部分也就是要计算计算出的矩阵如下表：2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年一孩0.560560.509540.64760.87260.556070.671620.85472二孩0.313280.292190.345860.391760.293740.341771.14852三孩1.228161.069791.434741.023361.201131.618241.23958然后再利用公式计算出决策权重，决策权重为：属性一孩生育率的决策权重值是=0.2812,属性二孩生育率的决策权重值是=0.18834,属性三孩生育率的决策权重值是=0.53046.步骤3 根据离差最大化决策方法的决策方法以及上一步的决策权重值计算出各年的加权之后的妇女生育率，计算的结果如下：2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年生育率0.7535780.9046840.7505350.9066260.9412830.6939540.930611这就是给各年的分孩次生育率赋予权值之后的结果，仔细的分析观察之后可以看到这个结果确实有其不合理的地方，一个是得到的数值太小了，与人口总量的数量级差距是比较大的，这样就会对拟合的函数造成较大的影响。另外这也不太符合实际情况，一般说来我国的妇女生育率是必然要大于一的，为了适当的减少这两个问题对结果造成的影响，必然要对这个数据做适当的处理，以期适当的减少这个问题带来的结果不准确的影响。我采用的放大倍数是3倍，这是考虑到这里有三种决策属性。也就是说由上面的修正公式对结果进行适当的修正，修正的结果如下：2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年生育率2.2607342.7140512.2516052.7198772. 8238492.0818632.791833修正的结果在一定程度上弥补了数据过小的问题，但是这数据在体现个孩次生育率对于总生育率的贡献上是比一般的数据更好的。这样就是最终的妇女生育率。至此已经把该篇文章的两种数据都处理完毕了，可以进行这两个数据的数据拟合了。4 分孩次生育率与人口总量 数据的拟合采用的方式是最小二乘法7以及多变量的数据拟合7的方法来进行处理。最小二乘法适于求解线性的数据拟合，为使结果更加的丰富多彩，再采取多变量数据拟合的方法与最小二乘法所拟合出来的函数做一个比较，看哪种方法更加的适合。4.1 最小二乘法 接下来我会利用最小二乘法来拟合这两个数据之间的函数关系,并以此来作为最终的结果。与插值问题相比，最小二乘法并不要求函数通过所有的节点，只需要在曲线的附近即可，比较好的解决了由于观测数据不准确而带来的误差。只是画出一条近似的曲线，反映给定问题的一般趋势而已，就、比插值函数更适于本文的操作。也不会产生像拉格朗日插值公式所带来的隆格现象。而且由于本文两个变量的数据之间数量级的差距较大，且数据之间的变化比较平滑，可以近似的认为是一条直线，只用线性的就可以了。由图像可以看到确实点都近似在一条直线的两侧的。4.1.1 最小二乘法简介假设给定了一组函数节点 现在要找一条直线使该直线在节点的附近。 一般来说满足条件的线性方程是很多的，需要选择出一条最好的直线来契合条件，因此需要用某种方法把直线方程的,确定下假设已经有某种方法把两个系数固定下来了，这是有了的直接可以把的值算出来了，为：当然这样得到的和不一定相同，所以把这两个数据的差值记为这个数值称为误差，也称数据剩余。在原始的数据给定了之后，误差就只与,的选取有关了。因此，把误差的大小作为衡量,好坏的主要指标。最小二乘法就是确定最好参数的方法之一，其原理是让误差的平方和达到最小，也就是说要求为最小。这个原理也是符合一般的想法的，由于这些误差都是实数，他们的平方和是正数，要使这些误差的和尽可能的小也就保证了这些误差的绝对值尽可能的小。数学上的最小值点也就是满足条件的直线的最小二乘解。为了求解出,的最好的值，把式子带入到式子中，并且让现在需要解决的问题是，怎样去选择,使达到最小。可以用数学分析中求极值的办法，即求出后，对,求偏微商，再使偏微商等于0，得到,应该满足的方程即这俩个方程称为那些直线系数的正规方程组。解方程可以得出和，直线方程就可以确定出来了。最终的结果就求解出来了.总结前面的简介，现将上面的例子的计算步骤整理如下：第一步：由数据,计算以及，列成一个表格。第二步：将表中每列的数据相加之后写在表格的最后一行。第三步：写出正规方程。第四步：解方程组求出和。4.1.2 系数设置在这篇文章中主要涉及到两个变量,一个是人口总量,另一个是妇女生育率.但是人口总量的数量级是比较大的,如果是把人口总量作为自变量,妇女生育率作为因变量就会导致计算出的拉格朗日型插值函数的数量级过高而导致计算出的结果太大.因此我把人口总量作为因变量y,把妇女生育率作为自变量x,这样既不会导致数量级太大而影响精度,也方便了计算.各年的妇女生育率按2003年到2011年的顺序分别设置为(i=0,1,8),把人口总量按2003年2011年的顺数分别设置为(i=0,1,8).4.1.3 最小二乘法数据拟合根据前面的步骤，第一步是要绘制出表格，由上面的条件得出的表格如下：编号12.260734130756.005.110918219295604.534922.714051131448.007.366072831356756.575832.251605132129.005.069725076297502.31742.719877132802.007.397730895361205.105452.823849133450.007.974123175376842.649162.081863134091.004.334153511279159.091572.791833134735.007.7943315376157.619317.643812929411.0045.047055252343227.893这篇文章的正规方程是把上表格的数据代入到这个正规方程里面，则有：根据这两个方程组就可以求解出和。采用代入法消元得到：=130115.4504，=1054.355455。所以，计算出来的线性方程是：为了降低计算量，此处计算出的结果只精确到小数点后面的两位，因此降低计算量值后的线性方程是：接下来就是验证，解出的线性方程组的效果是否足够，这里利用2003年的数据进行验证，查询得到2003年的一孩生育率是26.12，二孩生育率是10.10，三孩生育率是1.79。而2003年的人口总量是129227万人。把生育率数据放入到前面的离差最大化的决策步骤中，得到加权之后的妇女生育率是2.475，把2.475代入到上面的线性方程中，得到人口总量的数据是132724.991，与当年的129227万的人口相比，多出了3498万，可以看多数据还是比较接近，这说明在人口增长相对稳定的状况下，利用最小二乘法求解人口总量是比较精确的。4.2 多变量的数据拟合7上面已经利用最小二乘法求解分孩次生育率与人口总量的线性函数关系了，发现利用最小二乘法求解的结果是比较精确的。下面就用多变量的数据拟合的对数据进行拟合，这里不需要对妇女生育率做加权处理了，直接把一孩生育率，二孩生育率，三孩生育率看做是三个变量，也就是把他们作为影响函数值的三个因素。与上面的结果进行比较。上文也已经提到了，由于人口与妇女生育率的相对稳定，大致上来说，是呈现线性关系的，因此采用多变量的数据拟合的方法对于这个问题来讲，也是比较合适的。至于系数的设置问题，由于条件的改变，需要从新设定，前面的已经不适用。4.2.1 多变量的数据拟合的简介 多变量的数据拟合的办法，主要针对的是多个变量同时对一个数据产生影响的情况。具体操作如下： 如果说影响变量y的因素不是只有一个，而是有几个，比如说有k个因素,同时对变量y产生影响，这是通过查询得到的n组数据可以得到下表：编号12N在一般的情况下来说>，如果选择的是近似方程为和前面提到的一样，把数据代入方程之后将得到一个矛盾方程组，所以这里任然利用最小二乘法的原理来确定方程中的全部系数。使得要求要使得达到极小。将式子分别对,求偏微商，而且分别令,的偏微商等于0.就得到也就是说：这也是一个正规方程组。当然这个这个正规方程组经过简化整理可以得到另一种形式，该形式如下：在这之中=1,2, ,k, =1,2, ,k., ,=1,2, ,k.通过求解线性方程组即可以求得(=1,2, ,k),再从式子计算出，通过这两个方程组就可以求得全部的系数了。 因为通常我们假设观测数据的数组大于自变量的个数（即N>K），并且假设任一自变量都不能用其他自变量的线性表出，这时方程总有唯一解。这就是多变量拟合的一般过程和原理，大体上看来与最小二乘法是差不多的，只是变量的个数多了一些。接下来就是利用多变量数据的拟合方法解决分孩次生育率与人口总量的数据拟合问题。4.2.2 多变量的数据拟合的系数设置与前面的最小二乘法数据拟合相比，多变量的数据拟合问题的系数有所不同，前面自由一个变量就是妇女生育率，而这里就涉及到了三个数据变量，他们分别是一孩生育率，二孩生育率，以及三孩生育率。同样的，为了不使数据溢出影响精度，仍然把人口总量作为因变量，而把妇女生育率作为自变量，因此，在这里把人口总量设置为，把一孩生育率设置为，把二孩生育率设置为，把三孩生育率设置为。因此这里涉及到7组数据。4.2.3 利用多变量的数据拟合求解在前文中已经已经查询到了关于2005年直到2011年七年的人口总量以及这几年的妇女生育的数据，这些数据如下表所示：编号121.6810.91.85130756223.0210.621.36131448325.0411.051.37132129426.2211.181.43132802524.2410.61.3133450620.7110.422.18134091719.758.721.29134735现在选择的近似方程是这是一个线性方程，现在用最小二乘法的原理来确定系数，也就是要使得取得极小值，为此，分别对，求偏微商，而且令他们的偏微商为0.得正规方程组由matlab解得ans = 1.0e+005 * 1.4615 0.0107 -0.04280.0451即=146150，=1070，=-4280，=4510。程序代码：A=7,160.66,73.49,10.74;160.66,3720.98,1695.58,245.35;73.49,1695.58,775.66,113.48;10.78,245.35,113.48,17.3;B=929411,21324171,9752657,1431203'>> inv(A)*B 解得的近似方程为=146150+1070-4280+4510这里把多属性的数据拟合函数解出来了，仍然要对其进行检测，所选取得年份仍然是2003年，从上文可以看到2003年我国的一孩生育率是26.12，二孩生育率是10.1，三孩生育率是1.79，当年的人口总量是129227万人，把分孩次生育率代入到刚才的近似方程中，解得的结果是138943.3万，与实际人口数量的偏差为9716.3万，误差是比较大的，比直接用最小二乘法解得的数据误差大一些，因此用最小二乘法解更加的合适。 小 结本文利用最小二乘法和多变量的数据拟合的方法来求解分孩次生育率与人口总量之间的函数关系，首先查询得到历年的人口数据，然后是查询得到历年的妇女生育率的数值，利用离差最大化的决策方法来给分孩次的妇女生育率加权，使各孩次的贡献程度比较直观的表示出来了。最后是分别用最小二乘法和多变量的数据拟合的方法分别拟合函数，并做一个比较，最终的结果是使用最小二乘法的效果比使用多变量的数据拟合的方法误差要小，在本文的条件下，使用最小二乘法来拟合函数是比较适合的。参考文献1 中国人口统计年鉴(1993年2002年).国家统计局2 中国统计年鉴(2003年2011年).国家统计局3 李勇胜. 人口统计学.成都:西南财经大学出版社,2002 4 温勇.人口统计学.南京:东南大学出版社,2006 5 徐泽水.不确定多属性决策方法及应用.北京：清华大学出版社,2004 6 王应明. 应用离差最大化方法进行多指标决策与排序. 系统工程与电子技术，1998,20(7):24267 徐萃微,孙绳武.计算方法引论,北京：高等教育出版社,2007致谢在论文结束之际,我要大力感谢李强老师对于本篇论文的严格审核,不厌其烦的指出了文章中的纰漏和错误,并给与了我大量的指导意见,让这篇存在着大量错误和漏洞的拙文变得流利通畅，在这里,我要再次感谢李强老师一次次的辛勤付出,在百忙之中抽出时间指导我的写作。在李强老师的帮助之下我顺利完成了这篇文章.同时也非常感谢汪新凡老师、赵育林老师以及其他任课老师的帮助.