几类随机微分方程解的稳定性的分析硕士学位论文.doc

硕士学位论文几类随机微分方程解的稳定性的分析Stability Analysis of solution for Several Classes of Stochastic Differential Equations赵鹏程哈尔滨工业大学2014年6月国内图书分类号：×××× 学校代码：10213国际图书分类号：×××× 密级：公开 理学硕士学位论文几类随机微分方程解的稳定性的分析硕士研究生：赵鹏程导 师：李龙锁教授申请学位：理学硕士学科：概率论与数理统计所 在 单 位：理学院答 辩 日 期：2014年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index: ×××× U.D.C: ×××× Dissertation for the Master Degree in ScienceStability Analysis of solution for Several Classes of Stochastic Differential EquationsCandidate：Zhao PengchengSupervisor：Prof.Li longsuoAcademic Degree Applied for：Master of ScienceSpeciality：Probability and Mathematical statisticsAffiliation：School of ScienceDate of Defence：June, 2014Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology摘 要随机微分方程（SDES）广泛的被应用于生物、物理、经济、控制等领域。很久以来，因为缺少有效的求解随机微分方程的数值方法和可以利用的计算机资源，使得在建立数学模型时往往都忽略了随机因素的影响。近年来，一些学者在随机微分方程数值解方面已经取得一定的成果，这也将意味着某些随机模型可以借助数学软件进行研究。本文首先介绍了随机微分方程的背景知识以及其解析解的一些性质，给出了解的存在唯一性定理及其表达式。由于随机系统非常的复杂，通常情况下很难得到方程理论解的解析表达式，所以数值方法的构造就变得极其重要。本论文主要研究了两类随机延迟微分方程解的阶矩和均方稳定性的条件，并给出了相应的数值模拟。将Euler-Maruyama方法应用于随机延迟微分方程，证明了此数值方法是均方稳定的，同时给出了方法满足均方稳定的条件。关键词：随机微分方程；阶矩稳定性；均方稳定性；Euler-Maruyama方法AbstractStochastic differential equations are widely used in biology, physics, economics, control and other fields. For a long time, because the lack of effective numerical methods for solving SDES and computer resources available so that when you create mathematical models tend to ignore the influence of random factors.Recently, some scholars have achieved certain useful results in the numerical solution of stochastic differential equations, which will also mean some random model can be studied by means of mathematical software.Firstly,this paper describes the background knowledge of SDES and some properties of their analytic solutions, existence and uniqueness theorem and their expression. Due to the complex stochastic systems, it is usually difficult to obtain the analytical expression of the theoretical solution of the equation, so the construction of the numerical method becomes extremely important. In this thesis, it mainly gives the conditions of two types of SDES p-moment stability and mean square stability, and gives their corresponding numerical simulations. The Euler-Maruyama method is applied to SDES, and numerical methods to prove this is mean-square stable, and gives the method satisfies mean square stable condition. .Keywords: SDES, p-moment stability, mean square stability, Euler-Maruyama Method目 录摘 要IABSTRACTII第一章 绪论11.1问题的背景11.2随机微分方程的简单介绍21.3 随机微分方程数值方法稳定性的发展概况41.4随机延迟微分方程数值方法延迟依赖稳定性的研究现状51.5本文的结构及主要研究工作6第二章 随机微分方程的预备知识72.1概率论基础和随机过程72.2 随机微分方程102.3 随机积分及Itô微分法则112.4 随机微分方程解的存在唯一性及其矩估计132.5本章小结15第三章 随机延迟微分方程解的P阶矩稳定性163.1 引言163.2 随机微分方程数值解的p阶矩指数稳定163.2 解析解的性质163.4 本章小结20第四章 线性随机延迟微分方程EM方法的均方稳定性214.1 引言214.2 解析解的稳定性214.3 Euler-Maruyama方法稳定性分析234.4数值模拟264.5 本章小结27结论28参考文献29哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限33致 谢34ContentsAbstract (In Chinese).Abstract (In English).Chapter 1 Introduction.11.1 Background, objective and significance of the subject.11.2 Developmental of gas-lubricated bearing and correlated theories.11.2.1 Developmental of gas-lubricated bearing.11.2.2 Classification of gas-lubricated bearing.1.1.2.5 Research on porous externally pressurized gas bearing.3.1.4 Main research contents of this subject.3Chapter 4 Research on static characteristics of bearing based on FLUENT software.44.1 Introduction.4.4.2.3 Initialization of boundary conditions.44.4 Brief summary.4Chapter 6 Experiment on partial porous thrust bearing.5 6.1 Introduction.56.2 Experiments on permeability of porous graphite.5.6.5 Brief summary.6Conclusions.7References.8Papers published in the period of Ph.D. education.9Statement of copyright and Letter of authorization.10Acknowledgements.11Resume.12第一章 绪论1.1问题的背景二十世纪五十年代，Itô发表了他的划时代的著作“On Stochastic Differential Equation”，给出了随机微分方程（SDE）的严格科学描述，并且定义了Itô型随机微分方程。从那以后，读随机微分方程的研究越来越受到人们的关注。因为考虑到环境噪声对系统变化的影响，随机微分方程较之确定性方程能够更准确地描述现实生活中的事物和现象发展的客观规律，在现实世界的许多的许多领域中，例如经济学、生物学、物理学、电子、无线电通讯等科学与工程技术领域，随机微分方程模型得到了广泛的应用。现在，SDE已经积累了很丰富的结果。随着Itô积分的建立以及随机微分方程理论的逐渐完善，他帮助人们研究和解决由非线性、不确定因素所形成的系统提供强有力的理论依据。另一方面，人们在随机微分方程理论研究中，针对一些具有实际意义的问题得到了一系列有价值的结果。如，随机神经网络模型其中 物理上，表示第个神经元的输入电压，代表转移函数，从1998年Chua和Yung首次引入细胞神经网络模型，人们在其理论和应用方面进行了深入的研究。该模型方程在许多方面有重要的应用价值，如：信号处理、最优化问题、错误判断、模式识别和图像处理等等。而应用于这些领域主要取决于网络神经元的平衡点的稳定性，这是因为所设计的神经网络的优劣主要看神经元是否达到平衡稳定时的指标。 另一个著名的随机微分方程模型是生态学中描述的人口增长的Logistic方程： 其中表示时刻人口的数量，表示时刻的人口增长率。当考虑外部环境随机变化的影响时，增长函数经常不能确定下来，我们可以将它表述为+”噪声”，这里是确定函数。 又如著名的随机Lotka-Volerra生物种群模型:其中这些模型方程都是近年来非常受关注的模型类型，人们研究这些方程也取得了很好的成果。微分方程和动力系统理论的一个备受关注的中心课题是研究它们的稳定性，即：解在时间程序中具有什么样的极限状态，以及极限状态如何依赖于初值，Mao的专著“On Stochastic Differential Equations and their applications”就详细地研究了随机微分方程的稳定性问题。随机延迟微分方程可以视为确定延迟随机微分方程的推广。由于同时考虑了延迟以及环境的随机噪声对系统的影响，随机延迟微分方程（SDDEs）在计算机辅助设计、电路分析、力学系统、化学反应模型以及自动控制系统的实时仿真等科学与工程应用领域中有着非常广泛的应用，因此研究此类问题具有十分重要的理论的意义以及实用价值。延迟微分方程的稳定性条件分为延迟依赖和延迟不依赖两钟。延迟稳定条件中包含延迟的信息，延迟不依赖稳定性条件则适用于具有任意长度的延迟问题。比较而言，延迟依赖稳定性条件更为灵敏，尤其是针对延迟量较小的情况。因此随机系统的延迟依赖稳定性分析引起了许多学者的注意。他们针对随机延迟微分系统给出了许多延迟依赖稳定的有效判断依据，而他们经常运用 的手段是LMI方法或者Lyapunov泛函。除了少数线性方程，大部分的随机微分方程的显式解很难获得，因而构造适当的数值方法求解随机微分方程具有重要的理论和应用价值。因此人们提出了许多优秀的数值算法，参加专著和文献9-23。其中非常著名的有Euler-Maruyanma方法、Milstein方法、Runge-kutta方法等等。稳定性是数值计算方法是否有效的一个很重要的衡量标准。对于确定性延迟随机延迟微分方程，一下数值方法的延迟依赖性分析已有结论。截止到目前，有关随机延迟微分方程数值方法延迟依赖稳定性的文献还未可见，这就凸显出眼睛这样一个问题是很有意义的。1.2随机微分方程的简单介绍 首先我们介绍本论文所要用到的一些符号。 样本空间称为样本或基本事件。设是任一非空集， 。若集合满足以下条件:(i) ，其中表示空集；(ii)，其中 代表中的补集；(iii).则称为上的一个代数。 若 ，则称右连续；若右连续且包含所有零测集，则称满足通常条件。代表次可积函数(或随机变量)的空间。表示所有有界适应的值随机过程的全体。表示满足的函数的空间。设是完备概率空间， 是该空间上给定的代数流且满足通常条件:是给定的维标准Brown运动;是迹范数;记。本论文研究随机微分方程初值问题 (1.1)初始条件为。定义1.1 若值随机过程满足如下条件(i)是连续适应过程；(ii) (iii)满足如下随机积分方程则称为方程(1.1)的具有初值的真解。随机微分方程在诸多科学领域内都具有重要的应用价值，比如经济学，控制论，物理学。有关随机微分方程理论解的唯一性研究已有很多结论。下面给出(1.1)解的存在唯一性定理。定理1.2 设函数和在上满足条件:(i)一致Lipschitz条件：存在正常数，使得 (1.2)(ii)线性增长条件：存在正常数，使得 (1.3)则对任给，方程(1.1)存在唯一解，且 随机延迟微分方程解的存在唯一性研究也获得了很多的结论，X.Mao也讨论了随机延迟微分方程解的存在唯一性(参见34)。对于随机泛函微分方程解的存在唯一性可见文献1，34。从此以后，学者不断改进随机系统解存在唯一的条件。Mao1将一致Lipschitz条件改进为一个更弱的局部Lipschitz条件。局部Lipschitz条件:存在正常数，使得当时有。当方程(1.1)满足Lipschitz条件和线性增长条件时，方程存在唯一解。1.3 随机微分方程数值方法稳定性的发展概况简单地来说，稳定性理论解决的是这样的一类问题：一个微分方程的解在时具有什么样的极限状态，以及极限状态如何依赖于初值？这一问题的解答关系着方程所描述的发展系统的长期行为，自然成为各领域学者所关注的一个课题。常见的稳定性指的是解关于初值的稳定性。对于随机微分方程，其定义至少有三种:随机稳定(Stochastic stability)又称依概率稳定(Stability in probability)、几乎必然稳定(Almost sure stability)、矩稳定(Moment stability)。下面给出这几种稳定性的定义(参见436)定义1.3 若对任意的和，存在，使得，有则称方程(1.1)的零解是依概率1稳定的或者是随机稳定的。定义1.4 若对任意的，有负Liapunov指数，即则称方程(1.1)的零解是几乎必然指数稳定的。定义1.5 若存在两个正常数且对任意的初值，当时，有则称方程(1.1)的零解是阶矩指数稳定的。时，称为均方指数稳定。因为绝大多数随机微分方程的显式解很难获得，所以人们因而构造了许多优秀的算法求解这些方程，故研究随机微分方程的稳定性和收敛性就有着十分重要的意义。近年来有关随机微分的稳定性研究已经取得了不少成果。1993年，Saito和Mitsui67对一些数值格式提出了轨道稳定的定义。Hofmann和Platen68专门对一些显式和半隐式的数值格式研究了它们的数值稳定性并讨论了它们的稳定域Milstein，Platen，和Schurz（1998），Burrage（1999）以及Burrage和Tian（2000）分别研究了随机微分方程的一些数值格式的渐进稳定性且通过数值试验（参见69）并且针对线性随机微分方程画出了它的均方稳定区域。2000年，Higham71研究了一类随机微分方程随机方法的均方渐进稳定性。Winkler7273研究了非线性随机微分方程Euler-Maruyama方法的均方稳定性。Abukhaled74研究了一类SDE弱二阶数值算法的均方稳定。Rodkina和Schurz75共同讨论了随机微分方程半隐式Euler方法的几乎必然渐进稳定性。2002年，Tocino和Ardauny17考察了Runge-kutta方法的稳定性。后来，Tocino76研究了随机微分方程二阶Runge-kutta方法的均方稳定性。Mao77研究了随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法的均方指数稳定性。Pang等人78一起讨论了一类SDE Euler-Maruyama方法的几乎必然稳定性和矩指数稳定性。Bastani等人79考察了自适应的随机Runge-kutta方法的均方稳定性。Safique Ahmad等人80研究了一类求解刚性随机微分方程的全隐式数值格式。Ding等人81分析了随机微分方程复合Milstein方法的收敛性和稳定性。2007年，Higham，Mao，和Yuan84研究了Euler-Maruyama和Bachward Euler方法阶矩（）阶矩稳定性和几乎必然稳定性。1.4随机延迟微分方程数值方法延迟依赖稳定性的研究现状微分方程是人们经常用来描述事物运动变化规律的认知工具。延迟随机微分方程是微分方程中的一个重要的组成部分。通常将延迟问题称为滞后问题。在现实生活当中，事物的发展往往是复杂多样的，它们当前状态的变化经常与过去的状态密切相关。因此，大多数情况下，实际的微分系统都受到时间延迟的影响。比如，通讯，化工，生命科学及机械工程等科学，都存在时间延迟的现象。具体到某些系统，例如卫星发射、核反应堆、导弹制导、温度控制及宇宙飞船的控制等等，这些领域中就不能忽略时间延迟所带来的影响，而忽略这些时间延迟的影响经常会使得问题解决不太理想甚至有可能导致无法估计的后果86为了满足实际问题的需要，延迟微分方程应运而生。延迟微分方程(DDEs)的初值问题其中是常数，是给定的初值函数。是给定的连续的映射。几十年以来，有关延迟微分方程理论和应用的研究取得了巨大的进步，并成为工程和科学领域的重要研究工具。1.5本文的结构及主要研究工作目前有关随机延迟微分方程解的稳定性的研究成果非常的丰富，著名学者们获得了大量有意义的结果。本论文在前人基础上，对随机延迟微分方程的稳定性进一步的研究，对稳定性条件更加深化的证明。并结合具体的算例来进行数值模拟，更形象化。本论文的主要研究内容具体如下：第一章，简单的介绍了随机微分方程的背景和发展状况。第二章，主要介绍随机微分方程的基本知识和理论。第三章，研究了随机延迟微分方程（3.1），给出了此方程利用Euler方法求随机延迟微分方程解的阶矩指数稳定条件以及均方稳定条件。第四章，研究了利用Euler-Maruyama方法讨论随机延迟微分方程（4.1）的均方指数稳定性。第二章 随机微分方程的预备知识 本章主要简单介绍一些必备的概率论、随机过程和随机微分方程及其数值解法的基本知识。2.1概率论基础和随机过程概率论主要讨论的是那些依赖于可能性的数学模型问题。先介绍一些基本的概念。定义2.1 （代数）设为一非空集合，为其子集族，如果满足如下条件：（i） ；（ii） ；（iii） ，则称为上的一个代数，且称为可测空间，故称的元素为-可测集.如果是的子集族，则必有包含的代数，称为生成的代数，记为.若且为的所有开集族，则称为代数，中的元素称为可测集。定义2.2 （概率测度）若一个函数，满足以下条件：（i） ；（ii） ；（iii） 当且互不相交时，则称为可测空间上的一个概率测度，且称为概率空间。 此外，如果为概率空间，令则为代数，称作的完备化，也就是一个概率空间不完备，我们也可以通过完备化使其完备，故今后考虑的概率空间均为完备的概率空间。定义2.3（随机变量） 如果为可测空间上的实值函数，且则称为实值随机变量，也称为-可测函数，如果可测空间，则为-可测集。 定义2.4 （概率分布函数）设为概率空间上的随机变量，其分布函数为：如果为连续随机变量，绝对连续，则存在非负的-可测函数，使得这样的称为随机变量的概率密度函数或密度函数。定义2.5 （条件概率）若，且，则关于的条件概率为 在概率论基础当中，一个重要的概念就是条件期望。下面来介绍一般情况下条件期望的定义及一些性质。 设为的子代数，是上的一个测度，且关于绝对连续，即则由Radom-Nikodym定理知，存在-可测的函数，使得在等价测度意义下，是唯一的，通常记为. 定义2.6（条件期望）设，则称为随机变量在下的条件期望。条件期望有以下重要性质：（i） ；（ii） 若关于-可测，则， 特别的，（iii） 若和相互独立，则 特别的，若 相互独立，则；（iv） .定义2.6 （随机过程）一族随机变量称为以参数集的随机过程，简记为或，我们在这一般取参数集为.如果对每一个，是-可测的，则称该过程是-适应的.定义2.9 （停时）若随机变量满足：则称为一个停时或者是-停时. 定义2.10 （鞅）是-适应的随机过程，若时，都有则称为关于的鞅.定义2.11 （布朗运动）设是-适应的随机过程，且满足以下条件：（i） ；（ii） 若则；（iii） 若则与相互独立，则称为一布朗运动（Brownian Motion）或维纳过程（Wiener Process）. Wiener过程有很多非常重要的性质，具体的可见文献14等著作。2.2 随机微分方程设是给定的完备的概率空间，是上的代数流，满足一般的条件(即是右连续的)。如无特殊说明，问题都是在区间或者上进行研究的。因此，随机微分方程的一般形式可以写为: (2.1)其中是定义在此概率空间维Wiener过程，是给定的Borel可测函数，分别称为漂移函数和扩散函数，初值。上述方程在通讯、粒子滤波和控制论领域中有着非常广泛的应用。主要是因为:白噪声是Brown运动的导数，但实际上Brown运动是处处不可导的，即白噪声是认为构造的一个数学模型，但它与电子通信技术中的许多噪声过程非常相似;另外，方程(2.1)的表达式很简单，是最优化与控制学科中经典的状态空间里了的一种推广，且方程的解是Markov过程，可用Markov已经成型的理论去处理和研究。1827年，英国植物学家Brown在显微镜下观察液体中的花粉微粒，发现它们在极端不规则的运动。以后的研究者发现了更多的类似的现象。，如空气中的烟雾的扩散。Einstein于1905年作了量化的分析，建立了物理模型，并给出了数学表达式;以后又经过Ornstein和Uhlenbeck，以及Langevin等人的完善。到1918年，Wiener在对Brown运动建立了用随机过程的语言描述的数学模型，此外他进一步讨论分析了Brown运动的轨道性质，提出了Brown运动空间上定义的测度和积分。故Brown运动也称为Wiener过程。对于wiener过程我们可以通过Matlab来进行模拟，如下图所示：图2-1 wiener过程样式我们先来求Brown运动的分布密度表达式：先由独立增量性质得到 因为是关于连续的，由微积分的可知必有表达式，其中是一个常数，是单位时间内粒子平方位移的均值，称它为扩散常数，根据分子运动学Einstein可得： ，其中是由分子的特性决定的一个普适常数，是绝对温度，是Avogadro常数，是摩擦系数。2.3 随机积分及Itô微分法则随机微分方程(2.1)的积分形式为 (2.2)式中的第一个积分为一般意义下的均方Rieman-Stieltjes积分，然而把第二个积分也定义成Rieman-Stieltjes积分则没有意义。因为，若定义随机变量此随机变量序列并非均方收敛于唯一的极限，它的极限依赖于的选取，因此积分 在通常意义下的均方积分值是不存在的。因为Wiener过程满足，即当时，方差也趋于无穷，而其期望值则保持不变，且恒等于0，这或说是因为的不可微性。在实际计算当中为了求，我们先看一个简单的随机项的积分例子: 考虑的等距划分令 ，用来近似代替，那么就有 所以随机积分的值与参与的取值有关。当取值不同时，积分值也相应的不同。当=0时， ，这个积分成为Itô积分。当=0.5时，我们称这样的积分为Stratonovich积分。可以发现Stratonovich积分和一般的传统积分形式一样，而Itô积分比传统的积分多了这项，这一项是很重要的修正项，它是为了确保Itô积分是一个鞅，即满足 当(2.2)中的第二个积分是Itô积分时，方程(2.2)就成为Itô型随机微分方程。当(2.2)中的第二个积分是Stratonovich积分时，方程(2.2)成为Stratonovich型随机微分方程，其相应的积分形式为 虽然上述两种积分不同但它们是可以相互转换， Itô型随机微分方程和Stratonovich型随机微分方程之间有相应的转化规则。令: 则对应的Stratonovich型随机微分方程是 在常微分理论中，若 对于给定函数，其微分为 但是在随机微分的体系中，有区别于上述的微分法则。定理2.12 (Itô微分法则)设，是方程(2.1)的解，则也为Itô过程，且其中 形式上更为复杂的Itô公式有一个有意思的解释: 即。所以，可得到以下规则:写出的Taylor展开式的一阶与二阶项，然后再进行化简，就得到微分: 2.4 随机微分方程解的存在唯一性及其矩估计在这儿我们说明随机微分方程的概念，此种情况要比常微分方程复杂一些，实际上，随机微分方程分为两种类型的解。一，给定漂移系数、扩散系数和随机微分项所确定的一个随机过程，使它的路径满足方程。易发现依赖于时间以及Wiener过程的过去和现在的值。我们称这类解为强解。二，先确定一个过程，这时Wiener过程与同时确定，我们称这类解为弱解。对于弱解只要给出漂移系数和扩散系数即可。先介绍两个本论文用到的重要不等式:Hölder不等式:设是定义在上的非负可积函数，则其中。Grownwall-Bellman不等式：设函数定义在区间上，是非负可积函数，和绝对连续，且有不等式这时有 接下来给出强解的定义和解存在的条件。定义2.13 若随机过程满足以下三个条件（i） 是连续适应过程;（ii） ;（iii） 满足如下随机积分方程:则称为方程(2.1)的具有初值的解或解过程。如果与方程(2.1)的任何其他具有的解没区别，即，则称是方程(2.1)的具有初值的唯一解。定理2.14 (强解的存在唯一性定理)若随机微分方程满足如下条件:（i） (可测性)和可测，且:；（ii） 一致Lipschitz条件:存在常数使得:；（iii） 线性增长条件: 存在常数使得: 对于任意的，方程(2.1)存在唯一的强解， 。2.5本章小结在本章当中，主要介绍了概率论基础、随机过程和随机微分方程的基本理论知识。第一节中介绍了概率论和随机过程的基本知识。第二节介绍了Brown运动产生的物理背景和定义。第三节中介绍了随机微分方程中的积分和微分法则，主要是Itô公式，依据参数的不同，随机微分方程可分为Itô型随机微分方程和Stratonovich型随机微分方程，它们在不同的数学模型当中都有各自不同的用处。第四节介绍了两个重要不等式以及解的定义及满足存在唯一性定理所需的条件。第三章 随机延迟微分方程解的p阶矩稳定性3.1 引言 上世纪四十年代初期，Itô等人创建了随机微分方程理论，从此人们对随机微分方程的研究一直进行.L.Arnold,S.E.A.Mohanmed,TC.Gard,K.Burrage,X.R.Mao等人先后完成了许多重要的研究工作。近年来，以X.R.Mao和C.T.H.Baker为代表的学者开始研究随机延迟微分方程。X.R.Mao在7,41中研究了随机延迟微分方程解的稳定性与存在性条件。然而，对于随机延迟微分方程解的p阶矩指数稳定条件的研究很少。本章利用Euler-Maruyama方法研究了随机微分方程均方稳定时的步长的取值范围，也就是获得了EM方法均方稳定的充分条件。3.2 随机微分方程数值解的p阶矩指数稳定对于方程（3.1），假设序列是以是初始收敛的数值方法产生的，其中是步长，。定义3.1 （数值解的阶矩指数稳定） 数值解是阶矩指数稳定的，若存在正常数使得，其中是步长，。若果称是均方指数稳定的。3.2 解析解的性质设是上一维Wiener过程，是到上所有的连续函数全体，是所有可测、有界、取值于的随机变量全体。考虑一维非线性随机微分方程 （3.1）的均方稳定性和一维随机延迟微分方程 （3.2）其中，初值， 解析解的存在唯一性定理：定理3.1 7假设存在使得对于所有 （i） （Lipschitz）条件；（ii） （线性增长条件）成立，那么（3.2）有唯一解，另外.在这里用表示向量内积，用表示空间上的Euclid范数，假设：（i） ；（ii）