导数应用八个专题汇总.doc

1.1.导数应用之函数单调性导数应用之函数单调性 题组 1：1.求函数32()3912f xxxx的单调区间.2.求函数2()3lnf xxxx的单调区间.3.求函数2()3lnf xxxx的单调区间 .求函数1()lnf xxx的单调区间.5.求函数ln()lnln(1)1xf xxxx的单调区间.题组:1讨论函数4322411()(0)43f xxaxa xaa的单调区间.2讨论函数32()3912f xxaxx的单调区间 求函数321()(2)4132mf xmxxx(0)m 的单调递增区间 4讨论函数1ln)1()(2axxaxf的单调性.5.讨论函数1()ln1af xxaxx的单调性.题组:.设函数32()1f xxaxx.（）讨论函数()f x的单调区间;()设函数()f x在区间21()33，内是减函数,求a的取值范围.2(1)已知函数2()lnf xaxxx在区间(1,3)上单调递增，求实数a的取值范围.(2)已知函数2()lnf xaxxx在区间(1,3)上单调递减,求实数a的取值范围.3.已知函数32()(3)xf xxxaxb e()若3ab，求()f x的单调区间;(2)若()f x在(,),(2,)单调递增,在(,2),(,)单调递减,证明:6.解：（1)当 a=-3 时，f（)=(x+3x3-)e,故=3 分当 x-3 或 0 x;当3x3 时,0,从而 f（x)在(-,3）,(,3)上单调递增，在（-,),（3，+）上单调递减.分(2）.7 分.8 分 将 .1 分 .1 1分.由此可得6。12 分 设函数322()1f xxaxa x,2()21g xaxx,（）若0a,求函数()f x的单调区间；(2)若()f x与()g x在区间(,2)a a内均为增函数,求a的取值范围.2 2导数应用之极值与最值导数应用之极值与最值 1.设函数2132()xf xx eaxbx，且2x 和1x 均为()f x的极值点.(1)求a，b的值,并讨论()f x的单调性；(）设322()3g xxx,试比较()f x与()g x的大小.2.设函数2()()f xxxa()若(1)3f，求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程;(2)求函数()yf x在区间2,0上的最大值.3设函数233)(xaxxf.（）若2x是函数)(xfy 的极值点,求a的值;(2)若函数()()()g xf xfx,0 2x，在0 x处取得最大值,求a的取值范围 4.已知函数321()23f xxx.（1)设nS是正项数列na的前n项和,13a,且点211(,2)nnna aa在函数()yfx的图象上,求证:点(,)nn S也在()yfx的图象上;(2)求函数()f x在区间(1,)aa内的极值.5.设函数322()31f xaxbxa x在1xx,2xx处取得极值,且122xx.(）若1a,求b的值，及函数()f x的单调区间；(2）若0a,求实数b的取值范围 6 设函数321()(2)13f xaxbxb x在1x处取得极大值，在2x处取得极小值,且12012xx.证明:0a,并求2ab的取值范围.7.已知1x 是函数3213()(1)532f xaxxax的一个极值点,(1)求函数()f x的解析式;(2)若()yf x的图像与直线2yxm有三个不同的交点,求实数m的取值范围.已知3x 是函数2()ln(1)10f xaxxx的一个极值点.(1)求()f x的解析式及其单调区间;（2)若直线yb与曲线()yf x有三个交点,求b的取值范围 9.设函数432()2()f xxaxxb xR.()若函数()f x仅在0 x 处有极值，求a的取值范围;(）若对于任意的2 2a ，,不等式()1f x 在11，上恒成立,求b的取值范围.1.设3x 是函数23()()xf xxaxb e的一个极值点(1）求a与b的关系式(用a表示b）,并求函数()f x的单调区间；(）设0a,225()()4xg xae.若存在12,0,4x x,使12()()1f xg x总成立，求a的取值范围.11.已知函数21()kxf xxc(0c 且1c)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是xc (1）求函数()f x的另一个极值点;()求函数()f x的极大值M和极小值m,并求1Mm时k的取值范围 12设函数32()f xaxbxcxd的图像上有两个极值点,P Q,其中P为坐标原点,(1)当点Q的坐标为(1,2)时,求()f x的解析式；(2)当点Q在线段50 xy(13)x上时，求曲线的切线斜率的最大值.3.3.导数导数应用应用之函数的零点之函数的零点 题组 1：.函数2()3xf xx在区间 1,0内有没有零点？为什么？2函数()23xf xx的零点所在的一个区间是【】.A(2,1)B.(1,0)(0,1)D.(1,2)3.函数()f x的零点与()422xg xx的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x可以是【】A.()1xf xe B.()41f xx C.2()(1)f xx .1()ln()2f xx.若234ab，且函数()logaf xxxb的零点0(,1)xn n()nZ,则n【】A.1 B.2 .3 D.4 题组2:设函数)(xfy 的图像在,a b上连续,若满足_,则方程0)(xf在,a b上有实根.6.已知0 x是函数1()21xf xx的一个零点.若10(1,)xx，20(,)xx,则【】.A.1()0f x，2()0f x B.1()0f x,2()0f x 1()0f x,2()0f x D.1()0f x,2()0f x.函数1()f xxx的零点个数为_.8.求证:函数23()21f xxx在区间(0,2)内没有零点.题组 3：9函数2()logf xxx在区间(0,1)内是否有零点?为什么？0求证:函数4()21f xxx在区间 1,2内至少有两个零点.11.求证:函数()(3)(8)1f xxx有且只有两个零点 12.求证:函数2()ln1f xxxx有且只有两个零点.13.设函数cbxaxxf2)(,若0)1(f,0)2(f，则)(xf在区间)2,1(上的零点个数为【】.至多有一个 .有且只有一个 C有一个或两个 D.一个也没有 14.设(1,)m,求证:函数()ln()f xxxm有且只有两个零点.15.判断函数2()lgf xxx在区间(0,10)内的零点个数,并说明理由.题组:6.设函数()1nnfxxx*(,2)nNn.(1)证明:()nfx在区间)1,21(内存在唯一的零点;（)设nx是()nfx在)1,21(内的零点,判断数列23,nx xx的增减性.17.设函数2()(2)lnf xxaxax(2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值;()若方程()f xc有两个不等实根12,x x，求证:12()02xxf.18.设函数2ln2)(xmxxxf有两个零点21,xx，求证:12()02xxf.19设函数()lnf xxax有两个零点1x,2x,求证:21 2x xe.20.记函数!2!11)(2nxxxxfnn()nN,求证：当n为偶数时,方程0)(xfn没有实数根;当n为奇数时,方程0)(xfn有唯一实数根nx,且nnxx2.21设函数232222()1123nnxxxxfxn (,)xR nN，（1)证明:对每个nN，存在唯一的2,13nx,满足()0nnfx；()证明:对任意pN，由（1)中nx构成的数列nx满足10nn pxxn 4.4.导数应用之图像的切线导数应用之图像的切线 题组:.求平行于直线910 xy,且与曲线3231yxx相切的直线方程.2.求垂直于直线320 xy,且与曲线3231yxx相切的直线方程.3.求与直线320 xy夹角为45,且与抛物线22yx相切的直线方程.4.设函数()sinf xx图像上动点P处切线的倾斜角为,求的取值范围.题组 2：5.求函数3()2f xx的图像C在点(1,2)P处的切线l方程，以及曲线C与切线l的所有交点坐标.求函数3()2f xx的图像经过点(1,2)P的切线方程.7.求函数3()2f xx的图像经过点(1,10)P的切线方程.8.求经过坐标原点,且与函数9()5xf xx的图像相切的直线方程 9.设函数()bf xaxx,曲线C:()yf x在点(2(2)f，处的切线为74120 xy（1)求函数()f x的解析式；(2)求证:曲线C上任意一点处的切线与直线yx，以及y轴所围成三角形的面积为定值.0.已知直线23 ln20 xy 是函数()lnmf xxx的图像C的一条切线.(1）求()f x的解析式；(2)若(,)P s t是曲线C上的动点,求曲线C在点P处的切线纵截距的最小值.题组 3：11.已知直线yx是函数32()31f xxxax图像的一条切线,求实数a的值.1已知0a，且过点(,)P a b可作函数3()f xxx图像的三条切线,证明:()abf a.1.设函数3211()32f xxaxbxc(0)a 的图像C在点(0,(0)Pf处的切线为1y.(1)确定,b c的值；（2)设 曲 线C在1122(,(),(,()A xf xB xf x处 的 切 线 都 过(0,2)Q,证 明:若12xx,则12()()fxfx；（)若过点(0,2)Q可作曲线C的三条不同切线,求a的取值范围 14已知函数3211()32f xxaxbx在区间 11)，,(13，内各有一个极值点(1)求24ab的最大值;（2)当248ab时，设曲线C:()yf x在点(1(1)Af，处的切线l穿过曲线C(穿过是指：动点在点A附近沿曲线C运动，当经过点A时,从l的一侧进入另一侧),求()f x的表达式.15.由坐标原点(0,0)O向曲线xxxy233引切线,切于不同于点O的点111(,)P xy,再由1P引切线切于不同于1P的点222(,)P xy,如此继续下去,得到点(,)nnnP xy,求1nx与nx的关系,及nx的表达式.巩固练习：巩固练习：1.求函数3()2f xx的图像经过点(1,8)P的切线方程.2.求函数23()3xf xx的图像经过点1(3,)2P的切线方程 3.如图,从点1(0,0)P作x轴的垂线交于曲线xye于点1(0,1)Q,曲线在1Q点处的切线与x轴交与点2P;再从2P作x轴的垂线交曲线于点2Q,依次重复上述过程得到一系 列的点:1P,1Q,2P,2Q,nP,nQ,记点kP的坐标为(,0)kkP x(1,2,3,)kn.(1)求1kx与kx之间的等量关系；(2）求112233.nnPQPQPQPQ.5 5导数应用之存在与任意导数应用之存在与任意 1.已知函数()(0)af xxb xx,其中,a bR.(1）若曲线)(xf在点)2(,2(fP处的切线方程为13 xy,求函数()f x的解析式；（2)若对于任意的1,22a，不等式10)(xf在1,14x恒成立,求b的取值范围.2.已知函数2()(1)2ln(1)f xxx.(1）求()f x的单调区间；()若()f xm对11,1xee恒成立，求m的取值范围;3设函数1()lnf xxx.(1)求()f x的单调区间;（2)若12axx对(0,1)x恒成立,求a的取值范围 4.已知函数22()ln(1)1xf xxx.(1）求()f x的单调区间；(2)若1(1)nen对nN都成立,求的最大值.5.设函数2)1()(axexxfx.(1）若21a,求)(xf的单调区间;(2)若当0 x时，0)(xf,求a的取值范围.6.设函数xaxexfx2)()若0a,求)(xf的最小值;()若当0 x时，()1f x 恒成立,求a的取值范围.7设函数()xf xeax的图象与y轴交于点A,曲线()yf x在点A处的切线斜率为1a.（)求()f x的极值；()证明:当0 x时,xex 2;(）证明:对任意给定的正数c,总存在0 x,使得当，0 xx,恒有xcex 2.设函数()cosf xaxx,（1）讨论函数()f x在区间0,内的单调性；(2)若()1 sinf xx 对0,x恒成立，求实数a的取值范围.9设函数()cossin,0,2f xxxx x.（1)求证：()0f x；（)若sin xabx对(0,)2x恒成立,求a的最大值与b的最小值.10已知函数1ln)1()(2axxaxf,（1)讨论函数)(xf的单调性;（)设1a,且对任意的),0(,21xx,都有|4)()(|2121xxxfxf,求a的取值范围 1.已知3x 是函数23()()xf xxaxb e的一个极值点(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求函数()f x的单调区间;(2)设0a,225()()4xg xae.若存在12,0,4x x,使得12()()1f xg x成立，求a的取值范围.12.已知函数321()cos22f xaxxxc的图像过点37(1,)6,且在 2,1上递减,在1,)上递增.（1)求()f x的解析式;（)若对任意的12,3x xm m都有1245()()2f xf x成立,求正实数m的取值范围.3.设函数5)(,14)22(31)(23mxxgxxmmxxf.(1）当0m 时，求函数)(xf的递增区间;（2)是否存在负实数m,使得对任意的12,1,2x x,都有1)()(21xfxg？若存在,求m的范围；若不存在，请说明理由.6 6导数应用之极值点偏移导数应用之极值点偏移 1.(1)设不同的两点1122(,),(,)A x yB x y均在二次函数2()f xaxbxc(0abc）的图像上,记直线AB的斜率为k,求证:12()2xxkf;(）设不同的两点1122(,),(,)A x yB x y均在“伪二次函数”2()lng xaxbxcx(0abc)的图像上,记直线AB的斜率为k,试问：12()2xxkg还成立吗？2.设函数2()(1 2)ln()f xaxa xx aR(1）当0a 时,求函数()f x的单调递增区间；(2)记函数()yf x的图像为曲线C,设11(,)A x y，22(,)B x y是曲线C上不同的两点,M为线段AB的中点,过点M作x轴的垂线交曲线C于点N.试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB?3.设函数2()(2)lnf xxaxax(1)求函数()f x的单调区间；(）若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值；()若方程()f xc有两个不等实根12,x x,求证:12()02xxf 4设函数2ln2)(xmxxxf.(1)若曲线)(xfy 在点)1(,1(f处的切线方程为nxy 2，求实数nm,的值;（)若4m,求证:当0ba时,有2)()(22babfaf;(3)若函数()f x有两个零点21,xx)(21xx,且0 x是21,xx的等差中项,求证:0)(0 xf 5.设函数()lnf xxax有两个零点1x,2x，求证:21 2x xe.6设函数()xf xeaxa的两个零点为1x,2x，求证:2121xxxx 7设函数()xf xeax,其中ae，(1)求证：函数()f x有且仅有两个零点1x,2x,且1201xx;()对于(1)中的1x,2x,求证:12()()0fxfx.8.设函数()xf xemx的图像在点(0,(0)Pf处的切线方程为210 xy,求证:对满足abc的实数,a b c,都有()()()()f bf af cf bbacb成立 7.7.导数导数应用应用之之不等式证明不等式证明()1证明:对任意的nN,都有3211)11ln(nnn 2.已知,m nN,且1mn,求证:(1)(1)nmmn.3.设函数1()ln(1),1)nf xaxx（(1)当2n 时，求函数()f x的极值；（2)当1a 时,证明：对任意的nN，当2x 时,都有()1.f xx 4.已知函数()ln(1)1xf xeax在点(0,(0)Pf处的切线垂直于y轴，(1）求函数()f x的单调区间；()当0mn时,求证:1ln(1)ln(1)m nemn.设函数xexxf)(,且)()(1xfxf,)()(1xfxfnn()nN (1）求)(1xf,)(2xf,)(3xf,)(xfn的解析式；()求证：对任意的实数ba,以及任意的正整数n，都有)()()(122nfbfafnn.设函数xxmxxfln)(在1x处取得极值,数列na满足111ae,1()nnaf a()nN.(1)求函数()f x的单调区间;(2)求证:对任意的*Nn,都有11nae；()求证：对任意的*Nn,都有122nnnaaa 7.记函数!2!11)(2nxxxxfnn()nN，求证：当n为偶数时,方程0)(xfn没有实数根；当n 为奇数时，方程0)(xfn有唯一实数根nx,且nnxx2 .设函数232222()1123nnxxxxfxn (,)xR nN，(）证明:对每个nN，存在唯一的2,13nx,满足()0nnfx;(2)证明:对任意pN,由(1）中nx构成的数列nx满足10nn pxxn.导数导数应用应用之之不等式证明不等式证明(2)(2)1.设函数1()lnxf xxax.(1)若函数()f x在),1 上为增函数，求正实数a的取值范围；(2)当1a 时,求证:对大于1的任意正整数n,都有1111ln234nn.2.设函数()ln()f xxxa的最小值为0,其中0a (1)若对任意的0,+)x,有2()f xkx成立，求实数k的最小值；（）证明:对大于1的任意正整数n,都有)12ln(211215131nn.3.设函数2()f xkx,()lng xx,(1)讨论关于x的方程()()f xg x在区间1,ee内的实数根的个数；(2）求证:对任意的正整数n,都有44444ln1ln2ln3ln4ln112342nne .设函数2()ln(1)f xxax,()若函数()f x在区间1 2(,)3 3上递增,求实数a的取值范围;（2）证明:当0 x 时,2ln(1)xx；(3)证明:对大于1的任意正整数n,都有44441111(1)(1)(1)(1)2123en.5设函数2()xf xaxb,其中(1)1f,12()23f.在数列nx中,112x,且1()nnxf x（)求数列nx的通项nx.（2)求证:对任意的正整数n，都有12312nx x xxe 6.设函数()1xf xeax,()若()0f x 对xR均成立,求正实数a的取值集合；(2)求证:对任意的正整数n,都有123()()()()1nnnnnennnne.设函数()1xf xex,()求证:函数()f x有且只有一个零点；(2）求证：对任意的正整数n,都有13521()()()()22221nnnnnennnne.(1）设函数rxrxxfr1)()0(x,其中10 r.求函数)(xf的最小值;(2)用(1)的结果证明命题:设01a，02a,21,bb为正实数，若121bb,则22112121babaaabb；(3）请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题 9.(1)求函数1ln)(xxxf的最大值;（2）设,kka b均为正实数,证明:若1 12 212nnna ba ba bbbb,则12121nbbbna aa;（)设,kka b均为正实数,证明:若121nbbb，则1222212121nbbbnnb bbbbbn.