特殊的线性变换毕业论文.doc

毕 业 设 计（ 论 文 ）题目特殊的线性变换作者xx学院数学与计算科学学院专业数学与应用数学学号xxx指导教师xxxx 毕业设计（论文）任务书 xxxxxx 院 xxxxxx 系（教研室）系（教研室）主任: （签名） 年 月 日学生姓名: xx 学号: xxxxx 专业: 数学与应用数学 1 设计（论文）题目及专题： 特殊的线性变换 2 学生设计（论文）时间：自 2012年 2 月 20 日开始至 2012 年 5 月 27 日止3 设计（论文）所用资源和参考资料：1 钱吉林.高等代数题解精粹M.武汉:中央名族大学出版社,2005.2 杨子胥.高等代数习题解M.济南:山东科学技术出版社,2003.3 方保镕.矩阵论M.北京:清华大学出版社,2004.4 程云鹏.矩阵论M.西安:西北工业大学出版社,2000.5 王萼芳.高等代数（第三版）M.北京:高等教育出版社,2005.6 钟太勇.幂等矩阵与幂等变换性质的探讨J.郧阳师范高等专科学校学报,2005,25(3).7 郭素霞.关于幂等变换性质的讨论J.衡水学院学报,2008,10(4).4 设计（论文）应完成的主要内容：（1）主要讨论对称变换、反对称变换、幂等变换、对合变换、幂零变换五类特殊的线性变换；（2）讨论以上这些特殊线性变换的定义及性质；（3）对上面每一种线性变换给出它们与对应矩阵之间的关系；（4）讨论以上这些特殊的线性变换对应的特殊矩阵的性质；5 提交设计（论文）形式（设计说明与图纸或论文等）及要求：提交一份8000字以上的纸质文档和电子文档，要求打印格式按湖南科技大学关于本科生毕业论文的要求，论文内容要求结论正确，论证充分，而且有一定的创新6 发题时间： 2012 年 1 月 05 日指导教师： （签名）学 生： （签名） 线性变换无论在数学基础理论还是在应用中都有重要的地位，尤其是一些特殊的线性变换如对称、反对称变换，幂等变换、对合变换及幂零变换，也是线性变换中的重要内容。随着特殊的线性变换的应用越来越广泛，越来越多的人关注特殊的线性变换的研究，并且已经取得了丰富的成果。本文在前人的基础上比较系统、深入和细致地研究了五类特殊的线性变换的若干性质，更全面的探讨特殊的矩阵，还讨论了这些特殊的线性变换及其矩阵之间的关系。关键词：对称变换；反对称变换；幂等变换；对合变换；幂零变换ABSTRACTLinear transformation in terms of the theory of mathematical foundations and applications have an important role, especially in some special linear transformation, such as symmetric, asymmetric transformation idempotent transformation involutory transformation and nilpotent transformation, is also a linear transformationthe important content. With the special linear transformation more widely, more and more people are concerned about the special linear transformation, and has achieved fruitful results. On the basis of previous systems, in-depth and detailed study of the five special linear transformation of a number of nature, a more comprehensive discussion of the special matrix, was also discussed between special linear transformation and its matrix relationship.Keywords: symmetric transformation；anti-symmetric transformation；idempotent transformation； involution transformation；nilpotent transformation目 录第一章 前 言1第二章 对称变换22.1 对称变换的定义及性质22.2 对称变换和对称矩阵3第三章 反对称变换7第四章 幂等变换104.1 幂等变换定义及性质104.2 幂等矩阵及其性质11第五章 对合变换155.1 对合变换定义及性质155.2 对合矩阵及性质15第六章 幂零变换18第七章 结 论21参考文献22致 谢23第一章 前 言线性变换是研究线性代数问题的重要工具，线性变换在给定的一组基下对应唯一矩阵，并且这种对应保持很多性质，比如线性性、可逆性等等这给我们提供了研究线性变换的一种思想方法线性变换的思想不仅在日程数学的学习和研究中有着重要的重要，在物理、化学、经济等诸多领域也起着非常重要的作用。在学习线性变换的内容是我们会经常提到一些特殊的线性变换，通常都会出现在解决特定的问题上面，通过使用特殊的线性变换定义，发现起到了很好的效果，不仅仅在解决问题方面简明快捷而且比较容易理解。但是对于特殊的线性变换我们了解甚少，比如对称变换、反对称变换、幂等变换、对合变换和幂零变换作为特殊的线性变换无论在理论方面，还是在实际应用方面都有重要的意义我们在研究线性变换及学习有关数学知识时，经常要讨论这些特殊的线性变换这些特殊的线性变换并没有引起我们足够的关注，也很少有同学更加深入的去学习和研究特殊的线性变换，包括其定义和推理证明。因为在日常的学习中我对于特殊的线性变换的内容应用的比较多，觉得特殊的线性变换需要引起我们的足够重视，所以特在此总结我的学习成果。本文先给出这些特殊线性变换及对应矩阵的定义，这些特殊矩阵的性质在高等代数的学习中没有系统的研究过然后系统地研究了这五类特殊的线性变换及其矩阵的性质，并给出了相应的证明算是粗略的对特殊的线性变换进行额一次总结。第二章 对称变换2.1 对称变换的定义及性质定义2.1 设为欧氏空间的一个线性变换，若对任意两个向量都有成立，则称为的对称变换对称变换是线性变换中经常用到的特殊的变换，教材中在讨论对称变换时只给出了定义，但对其性质的研究很少，下面讨论对称变换的几个性质性质2.1 设是维欧氏空间的对称变换，则对中任意，都有的充要条件是的特征根都是非负实数证明 设是的一组标准正交基，且由于是对称变换，所以，令，则于是是半正定阵 的特征根都是非负实数 的特征根都是非负实数性质2.2 若为维欧氏空间的对称变换，则是的正交补证明 ,，则，于是所以，此即，从而又因为故1 性质2.3 设为维欧氏空间的一个线性变换，则为对称变换的充分必要条件是有个两两正交的特征向量证明 必要性：设为对称变换，且在标准正交基下的方阵为，则为实对称方阵，从而存在正交方阵，使 （1）其中为的全部特征值令，则也是标准正交基，在此基下的方阵为，从而由（1）知即有个两两相交的特征向量充分性：设有个两两正交的特征向量，且令则为的一组标准正交基，且在此基下的矩阵为由于是实对称的，故为对称变换性质2.4 设为维欧氏空间的一个对称变换，是的一个特征值，则的重数等于特征子空间的维数（即对称变换的任一特征值其代数重数等于几何重数）证明 设是的特征多项式的重根，则又因是对称变换，故存在基，使在此基下的方阵为，则有其中为的全部特征值现不妨设，则从而为中个线性无关的向量，所以故22.2 对称变换和对称矩阵下面考虑对称变换对应的矩阵与对称变换的关系设为欧氏空间中的一个对称变换，是的一组标准正交基，并设在基下的矩阵为，即 ，由对称变换的定义，有，即，因为是标准正交基，故有， 这说明是一个实对称矩阵反之，任给一个阶实对称矩阵，在维欧氏空间中取定一组标准正交基，由定义一个线性变换，使，于是，记在下的坐标分别为，则，这说明是一个对称变换由此可得下面的定理：定理2.1 维欧氏空间的线性变换是实对称变换的充要条件是：在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵，即有3这样，我们就建立了对称变换和对称矩阵之间的对应关系利用定义，我们还可以得到矩阵在内积运算中的转移规则，这个规则有时是很有用的，下面分两种情况讨论（1）若是对称矩阵，且，则在内积中的转移规则为（2）若不是对称矩阵，且，则有，事实上，了解了这些性质后，我们接着讨论实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量有下面的重要性质，现以定理形式给出3定理2.2 实对称矩阵的特征值都是实数证明 假定是实对称矩阵，是它的一个特征值，是属于的特征向量，则，两边取共轭得 ，再由共轭复数的性质，有，取转置，且注意，从而有，用右乘上式子，便得，即 ，但，故有，这就表明是实数定理2.3 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的证明 设,是实对称矩阵的两个不相同的特征值，且由于，因而，即 ，但是，因而所以，就表明与正交应该注意，就实对称矩阵而言，属于同一特征值的的线性无关的特征向量不一定是正交的但是，可以使用Schmidt正交化方法将它们正交化4对角矩阵是形式最简单的矩阵，而矩阵对角化在线性变换和二次型的主轴问题中起着关键作用，下面我们来研究实对称矩阵的对角化问题定理2.4 对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使成对角形证明 由于实对称矩阵和对称变换的关系，只要证明对称变换有个特征向量做成标准正交基就行了我们对空间的维数作数学归纳法，显然定理的结论成立设时定理的结论成立对维欧氏空间，线性变换必有一特征向量，记其对应的特征值为实数把单位化，还用代表它作的正交补，设为,由北大编高等代数C9§6中引理3知，是的不变子空间，其维数为又显然也满足，仍是对称变换据归纳法假设，有个特征向量作成的标准正交基，从而是的标准正交基，它们都是的个特征向量5从上面的证明可以知道，任意一个实对称矩阵可以对角化，则任意一个对称变换可以对角化第三章 反对称变换定义3.1 设为欧氏空间的线性变换，如果对中任意向量均有则称为反对称变换定义3.2 设为阶实矩阵，如果，则称为实反对称矩阵下面我们来研究反对称变换与反对称矩阵的对应关系，反对称矩阵的特征值及对角化问题定理3.1 设是维欧氏空间，线性变换为反对称变换的充分必要条件是在标准正交基下的矩阵为反对称方阵证明 证法：设是的一组标准正交基，且在此基下的矩阵为，令为中任意向量，且，则它们在该组基下的坐标分别是，而且与在该基下的坐标分别为与，而内积，于是有，比较上两式知：为反对称变换，即的必要且充分条件是，亦即，即为反对称矩阵证法：任取的一组标准正交基，且令在此基下的矩阵为，即有，由此得 （1）设为反对称的，则有，于是由（1）可得，即为反对称矩阵反之，设为反对称矩阵，即有，则由（1）得 （2）设，则由（2）可推出，即为反对称变换2定理3.2 实反对称矩阵的特征根是零或纯虚数证明 设为实反对称矩阵，是它的任意一个特征根，而是属于特征根的一个特征向量，即一方面，有；另一方面，又有，故 但是，故，即为零或纯虚数由于是根为0或纯虚数的实系数多项式，其虚根成对出现，故可设的全部特征根为：，其中均为实数于是可以得到下面的定理定理3.3 对任意实反对称矩阵，必存在正交矩阵使，其中为非零实数，从而的特征根为，即0或纯虚数2第四章 幂等变换4.1 幂等变换定义及性质定义4.1 设是线性空间的一个线性变换，若，则称是幂等变换性质4.1 设是数域上的线性空间，是的幂等变换，则证明 已知是的幂等变换，则一方面，有，于是，故，即另一方面，则存在，使得，于是，则，即故有性质4.2 设是数域上的线性空间，是的幂等变换，则，即：可以分解为的核与值域的直和证明 证法：由有现只需证，则使，且，于是有所以所以再由，得6证法：已知是的幂等变换，则因为和都是的子空间，由子空间的运算性质，也是的子空间1、显然另一方面，,，由性质4.1 ，则，而，得，即故有2、，由，则，由，存在，使得，于是，即由的任意性知故有性质4.3 设是数域上的维线性空间，是的幂等变换，则存在的一组基，使得在该基下的矩阵为，其中证明 由性质4.2，设，则取的一组基，取的一组基由知，是的一组基，且，则在基下的矩阵为性质4.4 设是数域上的线性空间，是的幂等变换，则的特征值只能是1或0证明 设是的任意一个特征值，是的属于的特征向量，即，由于，故有，即，又，则，所以或74.2 幂等矩阵及其性质定义4.2 设是阶矩阵，若，则称是幂等矩阵性质4.5 设是阶矩阵，若，则的特征值只能是1或0性质4.6 设是阶矩阵，若，设为的最小多项式，则或或性质4.7 设是幂等矩阵，则可以对角化证明 证法：由，易知是的零化多项式，且的特征值只能是1或0，而无重根，故可以对角化证法：设是维向量空间，是的一组基，则存在线性变换，使得关于这组基的矩阵为，即由，得，由性质4.2知，另设的基是，而的基是，则有 ， ， 由是与的直和得是的一组基所以关于的基的矩阵是对角矩阵故与对角矩阵相似，所以可以对角化6推论 设为数域上的一个阶方阵，且，则与对角矩阵相似性质4.8 设是幂等矩阵，则的秩等于的迹证明 设的秩为，由性质4.7知：，而相似矩阵有相同的特征值设为的全部特征值，则为的全部特征值则，而，所以=秩性质4.9 设是阶幂等矩阵，则秩()+秩()=证明 证法：设秩()=由性质4.7，存在可逆矩阵使，则，故秩()=，所以秩()+秩()=证法：设，其中是的列向量因为，得设的解空间为，则而，即，所以，则得又由于同型矩阵和的秩不大于秩的和得，故有性质4.10 设是秩为的幂等矩阵，则，其中，而为秩为的矩阵证明 由性质4.7，存在可逆矩阵使，即，令，则性质4.11 设为阶实对称矩阵，且证明：存在正交矩阵，使证明 证法I：设为的任一特征根，且由于，故,从而，故或0，即的特征值只能是1或0由于是实对称的，故存在正交方阵使，其中证法：因为为实对称矩阵，故存在正交方阵，使（1）其中为的实特征根由于，故由上式可知，从而故或0适当调整（1）式中的次序（把1都集中前面），就相当于对（1）式乘上适当的正交方阵，即得，其中，为正交矩阵第五章 对合变换5.1 对合变换定义及性质定义5.1 设为维线性空间的一个线性变换，且(上的单位变换)，则称为欧氏空间的对合变换性质5.1 对合变换的特征根只能是证明 设是的任意一个特征根，而是相应的一个特征向量，则由于，故有，从而，故性质5.2 设是对合变换，则，其中是的属于特征根1是特征子空间，是的属于特征根-1的特征子空间证明 任取，令，因为，所以，故，显然有，所以再设，则，于是，即故2 5.2 对合矩阵及性质定义5.2 满足条件的阶矩阵叫做对合矩阵性质5.3 对合矩阵的特征值只能是1或-1性质5.4 对合矩阵可对角化性质5.5 为阶对合矩阵，则性质5.6 设为实对称矩阵，且，则存在正交矩阵使证明 因为实对称矩阵，故存在正交方阵，使 （1）其中为的特征值由于，故得又 ，从而即把（1）式右端对角线上的中的+1都集中到前面（交换相同的行与列，即乘上适当的正交矩阵），即存在正交方阵，使，即 ，其中为正交矩阵，而为阶单位矩阵2在高等代数中有这样一个性质：设是阶对合矩阵，其中（=秩则（1） 相似于矩阵；（2） 当是实对称矩阵时，正交相似于矩阵；（3） 当是Hermit矩阵时，酉相似于矩阵对这一性质的证明，一般都利用线性（欧氏、酉）空间中的线性变换在两个不同的（标准正交）基下所得的矩阵，再找这两个基之间的过渡矩阵，从而得到在这里，我们只利用向量组线性相关性、线性方程组及分块矩阵运算等知识来证明上述结论（1），然后再利用Schmidt标准正交化方法来证明上述结论（2）与（3）下面给出其证明先证（1）：已知，则设的秩是，则在中可取个线性无关的列，同时在齐次线性方程组中，可取一个基础解系这样就可得（2）易知是线性无关的作方阵，则是可逆矩阵，使所以再证（2）：因为是实对称矩阵，所以（3）式中所得的列向量都是实的，利用Schmidt标准正交化方法，可把与分别化为两个标准正交向量组，再作方阵，注意到则是正交矩阵，它使，即得类似于（2）的证明，即得结论（3）综上所述性质成立10第六章 幂零变换定义6.1 设是数域上的向量空间，是的线性变换，如果存在正整数，使，即对任意，有，则称为幂零线性变换定义6.2 设是数域上的阶矩阵，如果存在正整数，使，则称为幂零矩阵定理6.1 设是数域上的维向量空间，是的线性变换，若是幂零变换，则在某一组基下的矩阵是幂零矩阵证明 由于是幂零变换，即存在正整数，使对任意，有设是的一组基，关于基的矩阵是，即所以有由于是基，所以，因此是幂零矩阵性质6.1 设，若都不等于零，但，则线性无关证明 证法：反证法若线性相关，则存在不全为零的数，使设是第一个不等于零的系数，即，则两边施以变换，得由于，故对任意都有，从而由上式得但，故，这与假设矛盾所以线性无关证法：对作数学归纳法当时，向量组即，当然是线性无关的假定时结论成立，下证时成立设，但是，即于是由归纳法假设 （1）线性无关而如果 （2）线性相关，则必可由（1）线性表示设，两边施以，由于，故得这与矛盾故（2）必线性无关 根据归纳法原理，结论普遍成立2性质6.2 设是维线性空间的线性变换，且求证：在某组基下的矩阵是证明 因为，故存在向量，使，但，故有由性质6.1知线性无关，所以是的一组基，而且故在基下的矩阵为2性质6.3 是维向量空间的幂零线性变换当且仅当它的特征值都为零证明 必要性：设是幂零变换的特征值，是属于特征值的一个特征向量,则 ，由于，所以，即充分性：设线性变换的特征值都为零，关于的某个基的矩阵是，那么的特征值全部是0，所以上存在可逆矩阵，使得（上三角矩阵）故 所以，因此，即是幂零变换11第七章 结 论通过上面的讨论我们知道，要掌握特殊的线性变换的相关性质和定理，可以在定义的基础上对特殊的矩阵的性质进行研究本文通过对对称、反对称、幂等、对合、幂零五种特殊的线性变换和相应矩阵的定义及其性质的讨论，认识到特殊的线性变换与对应的特殊矩阵之间的密切关系，且对每种特殊的线性变换都证明了在一定的条件下可以对角化而对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，所以这个性质对于进一步研究这些特殊的线性变换具有很重要的意义参 考 文 献1 钱吉林.高等代数题解精粹M.武汉:中央名族大学出版社,2005.2 杨子胥.高等代数习题解M.济南:山东科学技术出版社,2003.3 方保镕.矩阵论M.北京:清华大学出版社,2004.4 程云鹏.矩阵论M.西安:西北工业大学出版社,2000.5 王萼芳.高等代数（第三版）M.北京:高等教育出版社,2005.6 钟太勇.幂等矩阵与幂等变换性质的探讨J.郧阳师范高等专科学校学报,2005,25(3).7 郭素霞.关于幂等变换性质的讨论J.衡水学院学报,2008,10(4).8 谢守波.幂等矩阵的对角化问题J.克山师专学报,2002,23(2).9 钱吉林.高等代数解题精粹M.武汉:中央名族大学出版社,2005.10 周士藩.对合矩阵相似于对角矩阵的一个简单证法J.江苏师院.11 张素梅.线性变换的幂零性J.邯郸学院学报,2007,17(3).