泰勒公式的新证明及其应用毕业论文.doc

泰勒公式的新证明及其应用中文摘要数学分析与微积分学中，泰勒公式是将函数展成类似多项式的一个重要公式且数学分析和微积分的关键一环。本文章新证明了泰勒公式且到出了泰勒公式的两个推广形式。着重论述了泰勒公式在证明不等式，极限运算，部分分式，级数的敛散性判别等方面的具体应用方法。关键词：泰勒公式；泰勒余项；罗尔定理；等式和不等式；极限；高价导数；级数; 敛散性目录中文摘要1引言11.泰勒公式及其有关定理11.1罗尔中值定理的两种推广形式22. 泰勒公式的新证明42.1 泰勒公式的推广53.泰勒公式的应用73.1利用泰勒公式求极限。73.2泰勒公式在证明不等式中的应用93.3泰勒公式在部分分式中的应用103.4泰勒公式在 近似计算中的应用143.5讨论级数的敛散性。154.总结17参考文献18致谢19引言泰勒公式是数学分析和微积分学的一个重要公式，他有广泛的应用。下面我重新证明泰勒公式及简单的介绍泰勒公式在求极限，证明不等式，分解部分分式，求近似解，判别级数的敛散性等方面的应用1.泰勒公式及其有关定理大家都知道，一元函数泰勒公式指：定理1.1（泰勒定理）设在内存在 阶连续导数，那么对，有这里称为在在的次泰勒余项，简称泰勒余项。（1）特别低称为佩亚诺余项。（2）称为拉格朗日余项，其中在与之间。（3）称为积分型余项。由于泰勒余项形式的不同，文（1）、（2）、(3)分别利用洛比达法则、柯西中值定理及分部积分法证明了泰勒公式。本文先探寻得到了罗尔中值定理的两种推广形式，然后利用其重新证明了泰勒公式，并进而导出了泰勒余项的两种更一般形式。本文还论述了泰勒公式的有些最方便的应用。1.1罗尔中值定理的两种推广形式引理1： 设函数满足：(i)在上存在直到阶的连续导数；(ii)在内阶可导；(iii)，且 。（ 或者，且 = ）那么在内至少存在一点，使。证：在条件(iii)中仅就，且 = 的情形给出证明，至于后一情形可类似证明。由假设，在上连续、可导，且，从而由罗尔定理知在内至少存在一点，使。注意到在上也连续、可导，且，再由罗尔定理知在内至少存在一点，使，结合假设条件，再反复使用罗尔定理， 次，可得 在 上连续，在 内可导，且，故知在内至少存在一点，使。引理2：设函数满足：(i)在上存在直到阶的连续导数；(ii)在内，阶可导；(iii) ，且，= ，（ 或者，且 ）那么对任何常数，在内至少存在一点，使证：由假设可完全类似引理1前面部分的证明，连续使用次罗尔定理即知在内至少存在一点，使。于是对任何常数 ，函数在上连续、在内可导，且由罗尔定理知， 在内至少存在一点，使。注意到在内， ，从而有。 ，显然，引理1是引理2的特殊情形 2. 泰勒公式的新证明定理2.1：设在内存在直到阶连续导数， 那么，对，有 （1）这里， 证：由假设对，不妨设： （2）那么：在（或者）上存在直到阶连续导数，且注意到(2)，有且，从而依引理1知存在，使。这里在与 之间，而故有 ，代入(2) 即知结论成立。2.1 泰勒公式的推广定理2.2：设，在内存在直到阶连续导数，且，。那么对有： (3)这里 证：首先由假设知， 对， 有 ( k=1,2, n)，否则将与引理l矛盾，故先设:那么，由假设知在(或者)上存在直到阶连续导数,且，依引理1知存在， 使， 这里在与 之间，然而注意到结合 ，就有 代入（4）即知定理1成立。显然当。由于， 故(3)就是(1)，即定理2.1仅是定理2.2中的情形，同样易知文【3】中的定理4就是定理2.2中 的情形。定理2.3：设，在内存在直到阶连续导数，且，若对常数 ，且，那么对有 这里(5),(c在与 之间)。证明：由假设对，有，从而易知有， ，否则与引理1矛盾，先设当时，那么：在 (或者)上存在直到阶连续导数，且，由引理2知对， 常数 ，存在，使 （在与之间）(7)而，由（7），有 即 ， 代入(6)即知定理成立。显然定理2.2是定理2.3中的情形。3.泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求极限。对有些极限问题，利用带佩亚诺余项的泰勒公式求极限是十分有效的方法，要比暑洛比达法则，等价无穷小代等法来的更简便，但需对一些常用的函数的泰勒公式角熟。例1： 解： 又当时 ， 故 例2：求解：先做换元 ， 时 原式3.2泰勒公式在证明不等式中的应用例1：若在上二价可导，且（是正常数），求证 证：将和在处展成一价泰勒公式： ，在 与 之间（1） 在与 之间（2）（1）+（2）得，于是有 ， 例2：设函数处处二阶可导，且， 又为任意连续数， 证明： 证：写出在点处的一阶泰勒公式：（在与之间），（1）令 ，代入一式中，并对（1）式0 到积分，得，即 故 .3.3泰勒公式在部分分式中的应用下面介绍利用泰勒公式，把即约的真分式化为部分分式的方法。预备知识（1）：设有理分式，若分母可以写成两个互质多项式的乘积，即，且有则可以分解成：预备知识（2）:设 是上不可约多项式，那么有理分式 可以分解成：， 其中 是次数低于的次数的多项式或者是零次多项式。用泰勒公式把既约的真分式分为部分分式的方法，理论根据以下：设为既约的真分式，多项式在复数范围内分解成，则：，令：则：当时，有意义，故在点的领域内必然存在直至阶导数， 则 故：则： 令 令 ， 有前可得 有意义仿前可得： 仿前继续推到，并可得： （1）由预备知识（1）和（2）可知上述过程理论上是对的，但在实用上显得较繁。我门看出，分解的关键是获取每个这样 因子，与之相对应的一组阁简单方式 故可以这样处理：令 由于时，存在，且有意义，在点的领域内也是如此，故所分成的部分分式中含有：仿此，可的：（2）由于（1）和（2）式是恒等式，所以（1）式和（2）式的右式也可以构成恒等式，推得：，所以仍然可靠。例：把分式分为部分分式。解：令，则；令，则，；3.4泰勒公式在 近似计算中的应用例1：求的近似值 解：由可得到此时误差例2：求定积分的近似值解：由此得到 此时误差 (注意：因为的原函数不是初等函数，所以这个定积分不能直接用（牛顿莱布尼兹）公式求值。只能用泰勒公式 求近似解。3.5讨论级数的敛散性。例1： 讨论 的敛散性。解:由泰勒展开式得： 因故时，级数绝对收敛当 时，条件收敛从而绝对收敛当时，条件收敛，而发散，故元级数发散。例2：判断级数的敛散性解：有泰勒展开式得：故元级数收敛。4.总结本论文主要介绍了泰勒公式的最近的新证明和它的推广及其论述了它的有些比较方便的应用内容，我在论文中无方面讨论了泰勒公式的应用，特别是用泰勒公式求极限，证明不等式，分解部分分式，求近似解，判别级数的敛散性等方面。参考文献【1】孙宏仪写的泰勒公式在部分分式中的应用。北京师范大学出版社（1985.4）。45-46页【2】閐晓红。王贵朋主编的。数学分析全程导学及习题全解（华东师大第二版）上册。中国时代经济出版社（2006年版）。148-151页【3】刘玉琏主编的。数学分析讲义（第四版）上册。高等教育出版社（2003年版）。231-238页【4】唐仁献写的泰勒公式的新证明及其推广。湖南科技学院学报。第26卷（2005年11月）【5】白岩（女）写的泰勒公式的应用。长春师范学院学报。第19卷（2000年9月）16-17页【6】王三宝写的泰勒公式的应用举例。高等授学报。第19卷（2005年6月）32-33页【7】李福兴写的泰勒公式的若干应用。梧州师专学报。（1997年3期）