泰勒公式及其应用毕业论文2.doc

本科毕业论文(设计)论文题目：泰勒公式及其应用 学生姓名： 学 号： 专 业： 数学与应用数学 班 级： 指导教师： 完成日期：2012年 5月20日泰勒公式及其应用内 容 摘 要本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用.通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础.关键词：泰勒公式 Lagrange余项 Peano余项 应用The Taylor Formula and The Application Of Taylor FormulaAbstractThis paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor formula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula.By reading this paper,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference.Key Words: Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application目 录一、泰勒公式1（一）带Lagrange余项的泰勒公式1（二）带Peano余项的泰勒公式2二、公式的应用3（一）、泰勒公式在近似运算上的应用3（二）、泰勒公式在求极限中的应用5（三）、泰勒公式在方程中的应用6（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用8（五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用9（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用10（七）、泰勒公式在级数中的应用11（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用13三、结 论14参 考 文 献15序 言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数.这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.因为泰勒公式在解决一些数学问题时的确有着不可替代的作用，故有关它的理论在教材中一般都有比较详细的介绍，而关于它的应用则介绍甚少或不全面.本文比较详细地介绍了泰勒公式在近似计算、求极值、方程、证明中值公式、关于界的估计、证明不等式、级数、高阶导数值等方面的应用.作者在阅读了大量参考文献的基础上，通过例题给出了泰勒公式的许多应用，使我们能更直接的看到泰勒公式在各方面的运用.一、泰勒公式 对于函数，设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构造一个次多项式，称为函数在点处的泰勒多项式.泰勒公式根据所带的余项的不同有不同的定义.泰勒公式的余项分为两类，一类是定量的，一类是定性的，它们的本质相同，但性质各异.下面我们来介绍一下：（一）带Lagrange余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Lagrange余项是一种定量形式.定理1 若函数在上存在直到阶的连续导函数，在内存在直到阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得，该式称为（带有Lagrange余项的）泰勒公式.证明 作辅助函数，所以要证明的式子即为. 不妨设，则与在上连续，在内可导， 且 ， 又因，所以由柯西中值定理证得， 其中. 所以定理1成立.（二）带Peano余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Peano余项是一种定性形式.定理2 若函数在点存在直到阶导数，则有，即，称为函数在点处的（带有Peano余项的）泰勒公式，该公式定性的说明当趋于时，逼近误差是较高阶的无穷小量.证明 设 ， 现在只需证. 由可知，. 并易知， 因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数.于是，当 且时，允许接连使用洛必达（L'Hospital）法则次，得到 所以定理2成立. 当时，得到泰勒公式，该式称为（带有Lagrange余项的）麦克劳林公式. 当上式中时有，它称为（带有Peano余项的）麦克劳林公式.二、公式的应用（一）、泰勒公式在近似运算上的应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为，其误差是余项.例1：计算的值，使其误差不超过.解 应用泰勒公式有，估， 当时，便有， 从而略去而求得的近似值为.例2: 求的近似值，精确到.解 因为中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达），现用泰勒公式的方法 求的近似值.在的展开式中以代替得，逐项积分，得 ，上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项的估计式知，所以.由于泰勒公式可以将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，所以当选定函数中的自变量时，就可以进行近似计算.在这个应用中主要注意选择适当的函数，然后运用麦克劳林展开式，带入数值.（二）、泰勒公式在求极限中的应用为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简洁的求出.接下来我们用两个例子来说明：例3：求极限.解 考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取） ，因而求得，.例4: 求极限 . 解 ， ，原式=.由上边两个例子可见，因为通常情况下对于函数多项式和有理分式的极限问题的计算是十分简单的，所以对于一些复杂的函数可以根据泰勒公式将原来的复杂的问题转化为类似多项式和有理分式的极限问题.综上所述，在式子满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限：(1)用洛必达法则时，次数比较多、求导过程和化简过程比较复杂的情况.(2)分子或分母中有无穷小的差， 且此差不容易转化为等价无穷小替代形式.(3)函数可以很容易的展开成泰勒公式.（三）、泰勒公式在方程中的应用 泰勒公式在函数方程中应用比较广泛，题型也比较多，主要有判断根，方程次数等等一些证明类问题，做此类题，要注意观察题目中导数阶数，以便用泰勒公式展开到相应阶数.我们用三个例子来说明：例5: 设在上二阶可导，且，对， 证明 在内存在唯一实根.分析： 这里是抽象函数，直接讨论的根有困难，由题设在上二阶可导且，可考虑将在点展开一阶泰勒公式，然后设法应用介值定理证明.证明 因为，所以单调减少，又，因此时， 故在上严格单调减少.在点展开一阶泰勒公式有 .由题设，于是有，从而必存在，使得，又因为，在上应用连续函数的介值定理，存在，使，由的严格单调性知唯一，因此方程在内存在唯一实根.例6： 设在内有连续三阶导数，且满足方程，. （1）试证：是一次或二次函数.证明 问题在于证明：或.为此将（1）式对求导，注意与无关.我们有 ， （2）从而. 令取极限，得，. 若，由此知为一次函数；若，（2）式给出 ，此式两端同时对求导，减去，除以，然后令取极限，即得，为二次函数.例7： 已知函数在区间内有二阶导数，且，试证：，使得内. 证明 为了证明在处的邻域内恒为零.我们将（3）式右端的，在处按公式展开.注意到.我们有，.从而，今限制，则在上连续有界，使得我们只要证明即可.事实上，.即.所以，在上.由以上例题可见，在函数方程方面，泰勒公式对于求二阶或二阶以上的连续导数的问题来说十分的好用，主要是通过作辅助函数，对有用的点进行泰勒公式展开并对余项作合适的处理.（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用 由于泰勒公式将函数和它的高阶导数结合了起来，所以遇到这类有高阶导数的证明时，首先应考虑用泰勒公式来求解.接下来我们用一个例子来说明：例8： 设在上三次可导，试证：，使得.证明 设为使下式成立的实数：，这时，我们的问题归为证明：，使得.令. 则，根据Rolle定理，使得即：.这是关于的方程，注意到在点处的泰勒公式：.（五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用我们知道有些函数是有界的，有的有上界，而有的有下界，结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们将探讨泰勒公式关于界的估计，下面通过例题来分析.例9： 设在0，1上有二阶导数，时，.试证：当 时，.证明 ，所以 ，.例10： 设二次可微，试证.证明 因在上连续，有最大、最小值.又因，最大值在内部达到.所以使得.于是为最大值.由Fermat定理，有，在处按泰勒公式展开，使得：，.因此.而 时，时，所以 .由上边例题可以总结出一些经验，比如当遇到求有关于界的问题，且涉及高阶导数时，通常考虑用泰勒公式来解题.在解题时可以应用这个经验尝试解题.（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.例11： 设在上二次可微，.试证：，有.证明 取，将在处按泰勒公式展开有：， ， 以乘此式两端，然后个不等式相加，注意，得.例12: 当时，证明.证明 取，则.带入泰勒公式，其中，得，其中.故当时，.由此可见，关于不等式的证明，有多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.但归结起来都可以看做是泰勒公式的特殊情形，所以证明不等式时，注意应用泰勒公式这个重要方法.（七）、泰勒公式在级数中的应用在级数敛散性的理论中，要判断一个正项级数是否收敛，通常找一个简单的函数，在用比较判定法来判定，但是在实际应用中比较困难的问题是如何选取适当的（中的值）.如 当，此时收敛，但是，当时，此时发散，但是.在这种情况下我们就无法判定的敛散性，为了更好的选取中的值，使得且，在用比较判别法，我们就可以判定的敛散性.例13: 讨论级数的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法，注意到，若将其泰勒展开为的幂的形式，开二次方后恰与相呼应，会使判敛容易进行.解 因为， 所以，从而， 故该级数是正项级数.又因为，所以.因为 收敛，所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例14: 求的幂级数展开式.解 利用泰勒公式由例题可见，当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用如果泰勒公式已知，其通项中的加项的系数正是，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.例15: 求函数在处的高阶导数.解 设，则，在的泰勒公式为，从而，而中的泰勒展开式中含的项应为，从的展开式知的项为，因此，,.通过泰勒公式求高阶导数，这是泰勒公式比较简单的一种应用，重点就在于掌握，其通项中的加项的系数正是.在求导数时只需在系数上乘以即可.三、结 论泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具.它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用.本文介绍了泰勒公式以及它在八个方面应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解，对怎样应用泰勒公式解答具体问题有了更深一层的认识，只要在解题过程中注意分析，研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参 考 文 献1华东师范大学数学系，数学分析（上），高等数学出版社，2008，134-1412裴礼文，数学分析中的典型问题及方法，高等教育出版社，2009，150-1573同济大学数学教研室主编，高等数学，人民教育出版社，2007，139-1454刘玉琏，数学分析讲义，人民教育出版社，2000，120-1385张利凯，高等数学学习辅导，科学技术文献出版社，2002，138-1566M.克莱因，古今数学思想，上海科学技术出版社，1988，165-1687W.盖勒特、H.奎斯特纳等，简明数学全书.高等数学与现代数学，上海科学技术出版社，1985，295-2978H.J.巴茨，数学公式书册，科学出版社，1987，439-4409闵祥伟，高等数学学习指导与例题分析，北京邮电大学出版社，2004，520-521，539-54010吴炯圻，陈跃辉等，高等数学及其思想方法与实验（上），厦门大学出版社，2008，122-12711上海财经大学应用数学系，高等数学，上海财经大学出版社，2004，66-7112蔡子华，新编高等数学导学，科学出版社，2002，336-337，369-376