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基于MATLAB的非线性模糊系统的非脆弱控制 专业：自动化班级：姓名： 目 录引言 31 基于模型的T-S模糊控制 71.1基于模型的T-S模糊控制系统的理论研究 71.2基于模型的T-S模糊控制系统的描述 81.3基于模型的T-S模糊控制的优点 91.4基于模型的T-S模糊控制的稳定性分析102 基于连续系统的T-S模糊模型的非脆弱控制122.1T-S模糊模型的描述122.2考虑加性非脆弱状态反馈控制器132.2.1控制器的设计132.2.2研究所得出的主要成果142.2.3仿真结果152.3考虑乘性非脆弱状态反馈控制器162.3.1控制器的设计162.3.2研究所得出的主要成果172.3.3仿真结果183 基于连续不确定系统的T-S模糊模型的非脆弱控制213.1 T-S模糊模型的描述213.2考虑加性非脆弱状态反馈控制器223.2.1控制器的设计223.2.2研究所得出的主要成果233.2.3仿真结果243.3考虑乘性非脆弱状态反馈控制器253.3.1控制器的设计253.3.2研究所得出的主要成果263.3.3仿真结果274 基于连续时滞系统的T-S模糊模型的非脆弱控制304.1 T-S模糊模型的描述304.2考虑加性非脆弱状态反馈控制器314.2.1控制器的设计314.2.2研究所得出的主要成果324.2.3仿真结果334.3考虑乘性非脆弱状态反馈控制器344.3.1控制器的设计344.3.2研究所得出的主要成果354.3.3仿真结果37结论39致谢40参考文献41附录1 源程序清单2.144附录2 源程序清单2.246附录3 simlink图2.148附录4 simlink图2.249附录5 源程序清单3.150附录6 源程序清单3.252附录7 simlink图3.154附录8 simlink图3.255附录9 源程序清单4.156附录10 源程序清单4.258附录11 simlink图4.160附录12 simlink图4.261摘 要本文基于T-S模糊系统，结合鲁棒控制理论，采用Lyapunov(李亚谱诺夫)稳定性理论、LMI技术，研究了T-S模糊系统的稳定性问题，并得到了系统稳定的充要条件。然后着重研究了基于连续系统的T-S模糊模型的非脆弱控制器的设计问题，并推广到基于连续不确定系统的T-S模糊模型的非脆弱控制器的设计及基于连续时滞系统的T-S模糊模型的非脆弱控制器的设计。针对连续T-S模糊系统，基于Lyapunov(李亚谱诺夫)稳定性理论和线性矩阵不等式的方法，设计非脆弱状态反馈控制器，将控制器的求解转换为线性矩阵不等式问题，同时给出了理论推导和证明过程，利用LMI Toolbox工具箱进行求解并在Matlab环境下利用simlink进行仿真实验，得出的simlink仿真图显示具有收敛性，说明所设计的基于连续T-S模糊系统的非脆弱状态反馈控制器具有可行性。利用相同理论和方法对连续系统的推广进行研究，得出的simlink仿真图显示也具有收敛性，说明设计的基于连续不确定系统的T-S模糊模型的非脆弱控制器及基于连续时滞系统的T-S模糊模型的非脆弱控制器也都具有可行性。关键词：T-S模糊系统；非脆弱控制；不确定；时滞；线性矩阵不等式AbstractThe stabilization of T-S fuzzy system was studied based on T-S fuzzy system with the theory of robust control using Lyapunov stability theory and LMI technique. Moreover, the necessary conditions on the system stability were addressed. The design of T-S fuzzy non-fragile controller based on continuous system is researched. And the investigated problem is developed into the non-fragile controller design of continuous parametric uncertainty T-S fuzzy system and the continuous time-delay T-S fuzzy system. The non-fragile state feedback controller is derived for continuous T-S fuzzy system via using Lyapunov stability theory and linear matrix inequalities method. The problem of solution was converted into linear matrix inequalities problem, moreover, the theory deduction and demonstration course were given. The solution was got via using LMI Toolbox. And the simulation experiment was given under the environment of MATLAB. The simulation graphs illustrate the effectiveness of the proposed non-fragile state feedback controller design methods for continuous T-S fuzzy system. Using the same theory and method the development of continuous system was researched. The simulation graphs also illustrate the effectiveness of the proposed non-fragile controller design of continuous parametric uncertainty T-S fuzzy system and the continuous time-delay T-S fuzzy system.Keywords:T-S fuzzy system; non-fragile controller; parametric uncertainty; time-delay; linear matrix inequalities 引 言自动化科学作为一门学科起源于20世纪初，自动化科学与技术的基础理论来自于物理学等自然科学和数学、系统科学、社会科学等基础科学1。早期自动控制系统的应用可以追溯到两千多年前古埃及的水钟控制2与中国汉代的指南车控制3，但当时未建立起自动控制的理论体系。 随着1769年，英国科学家James Watt设计的内燃机引发了现代工业革命，自动控制理论体系也得到了进一步的完善和发展。在1788年Watt设计的内燃机飞锤调速器可以认为是最早的反馈控制系统的工程应用。1868年MaxWell在Watt研究的基础上，对具有调速器的蒸汽发动机系统进行线性常微分方程的描述及稳定性的理论研究4。并由Nyquist（1932年）、Bode(1945年)、Nichols（1946年）等人研究成果的基础上，诞生了第一代控制理论经典控制理论5。经典控制理论基于被控对象的精确数学模型来解决线性定常单输入，单输出控制系统的设计与分析问题。主要采用传递函数、频率特性和根轨迹为基础的频域分析方法。对于非线性系统，采用描述函数分析法和一般不超过两个变量的相平面分析法。经典控制理论目前仍在工业过程中发挥着重要的作用，解决了许多控制问题。但对于解决大规模的复杂控制问题仍远远不够。20世纪60年，出现了以状态空间为基础的现在控制理论，弥补了经典控制理论只能解决单输入，单输出控制系统的问题。现代控制理论主要解决的是多输入，多输出和时变系统的问题，包括线性系统理论，最优控制理论，系统辨识和随机控制理论等几个主要分支。在现代控制理论中，系统的数学模型主要是用一个一阶微分方程组(即状态方程)或者差分方程组来描述，这是一种时域表示方法。该描述法的优点是便于计算机运算，同时给人以时间上直观清晰的概念。现代控制理论已经在工业生产过程、军事科学以及航空航天等许多领域都取得了成功的应用。例如：极小值原理可以用来解决某些最优控制问题;利用卡尔曼滤波器可以对具有有色噪声的系统进行状态估计；预测控制理论可以对大滞后过程进行有效的控制。无论是经典控制理论还是现在控制理论，他们都有一个基本的要求:需要建立被控对象的精确数学模型。对于存在精确数学模型的自动控制系统，经典控制理论或现代控制理论发挥了巨大的作用，并取得了令人满意的控制效果，但现实世界中存在着大量复杂的多变量系统，这类被控对象往往具有非线性、时变性、多参数间的强烈耦合、反应机理复杂、检测困难等特点，因而难以建立精确的数学模型或由于对系统的了解不可能完全清楚和完全正确，所以建立的数学模型不可能与实际系统完全吻合，也就得不到精确的数学模型，而只能是一种近似，有些系统往往为了在数学上处理方便从而简化了数学模型，降低其阶次，以牺牲准确性来换取处理上的方便。利用这样的数学模型来设计、综合系统，其结果有时是不能令人满意的甚至还会产生错误的结论。总而言之，经典控制理论和现代控制理论，由于需要精确的数学模型而存在着一定的局限性，要对以上这些不具有数学模型的被控对象进行控制，经典控制理论和现代控制理论往往显得无能为力。由于计算机技术的飞速发展，包含将人类思维这样复杂操作由计算机代替的领域日益增加，这是经典控制理论和现代控制理论无法胜任的，必须寻求新的控制理论，而人工智能，模糊控制理论就是在这样的背景下产生和发展起来的。1965年，美国加利福尼亚大学的Zadeh教授发表了题为：“Fuzzy Sets” 的开创性论文，将集合论的要素与隶属函数有机的结合起来，提出了模糊集合理论6。模糊集合的引入，可将人的判断、思维过程用比较简洁的数学形式表达出来，从而使对复杂系统做出合乎实际的、符合人类思维方式的处理成为可能。尔后，Zadeh提出了一种将逻辑规则的语言描述转化成相关控制律的思想，为早期模糊控制器的形成奠定了基础。1974年，英国的Mamdani首先成功的把Fuzzy集理论用于锅炉和蒸汽机的控制7，取得了优于常规调节器的控制品质，标志着模糊控制的诞生。1979年英国Proeyk和Mamdani研究了一种自组织的模糊控制器，它在控制过程中不断修改和调整控制规则，使控制系统的性能不断完善8。自组织模糊控制器的问世，标志着模糊控制器智能化程度进一步向高级阶段发展。1983年日本学者Sugeno和Murakani将一种基于语言真值推理的模糊逻辑控制器应用于汽车速度自动控制，并取得成功91011。此后，模糊控制在化工、机械、冶金、工业炉窑、水处理、食品生产等多个领域中得到使用。所谓模糊控制，既不是指被控对象是模糊的，也不是指控制器是不确定的，它是指在表示知识、概念上的模糊性。虽然模糊控制算法是通过模糊语言描述的，但它所完成的却是一项完全确定的工作。目前获取模糊控制规则的方法主要有四种：（1）基于专家的经验和知识；（2）建立操作者的控制行为模型；（3）自组织、自学习；（4）建立被控对象模型。根据获取模糊控制规则的方法可知，目前模糊控制器共分为两大类：基于经验推理的Mamdani模糊控制器和基于模型的T-S模糊控制器12。鲁棒控制的目标是:对象模型在所允许的变化范围内变化时,寻找反馈控制器C,使得闭环系统稳定且满足给定的性能指标。Keel等通过实例指出传统的最优和鲁棒控制器设计,不管是,还是综合,都可能会出现脆弱的控制器,即控制器的系数发生极微小的偏移,将导致闭环系统的稳定性被破坏和(或)性能下降。因此,鲁棒控制的前提条件是控制器C必须是准确实现的。然而实际上由于控制器数字实现时受到诸多因素的影响(如字长限制、数模()转换和模数()转换精度及数值运算中截断误差,以及由于环境温度的变化引起元器件老化或失效等原因造成电子元件参数的变化等),控制器的参数会发生一定程度的变化。因此,所设计的控制器参数必须能够承受某种程度的变化。同样,由于任何一个性能指标均不能满足一个控制系统的所有性能要求,控制器参数的微小变化将会引起其他性能的恶化，这就要求所设计的控制器系数应有足够的调节余地以满足不同的性能要求,即所设计的控制器应具有一定的非脆弱性。因此，非脆弱控制的目标应是:对于给定对象P，寻找非脆弱反馈控制器C,保证控制器的参数在其所允许的变化范围内变化时,闭环系统稳定且满足给定的性能指标13。本文针对T-S模糊系统，采用李亚普诺夫稳定性理论给出了基于T-S模糊模型的非脆弱控制器使系统稳定的条件，同时利用Matlab LMI Toolbox软件包简化求解过程，并在Matlab环境下利用simlink进行仿真实验，研究连续T-S模糊模型描述的非线性系统及连续不确定T-S模糊模型描述的非线性系统等一些问题。1 基于模型的T-S模糊控制1.1 基于模型的T-S模糊控制系统的理论研究T-S模糊模型最早是由Takagi和Sugeno、Sugeno和Kang分别于1985年及1988年提出建立的，也有人称之为TSK模糊模型系统。T-S模糊模型规则的后件采用线性集结方式，模型总的输出一般是对每条规则的输出进行加权平均。这类模型用局部线性环节的加权和来实现非线性系统的近似。由于后件部分的先行集结，用该模型对非线性系统建模所需的规则数大大少于Mamdani模型。在1992年，K.Tanaka和M.Sugeno提出了其设计方法，并在Lyapunov稳定性理论的基础上分析了系统的稳定性。其方法是：首先用局部T-S模糊模型进行建模，然后对所有的局部模型进行控制器设计，它必须找到一个公共的正定矩阵p，以满足Lyapunov方程的解。但实际上这是非常困难的因为这相当于关于p的一个超定线性方程组(l>1)解存在的问题, 而一般超定线性方程组解存在的可能性几乎为零。但在许多情况下，即使不能找到一个公共的P，仍可以用其它方法镇定系统，而且这种方法仅适应于离散时不变系统。在1995年，S.G .Gao等人将模糊逻辑理论与现代控制理论相结合，提出了基于状态空间的模糊模型，并在此模型的基础上进行了模糊系统的闭环稳定性分析。该方法是在状态空间形式下将模糊控制系统的稳定性分析转化为线性不确定系统的稳定性分析，进而能够利用线性系统理论来进行分析和设计。Gao将模糊系统的稳定性问题分解成一系列子系统的稳定性问题，大大降低了分析的复杂性，为模糊系统的稳定性分析提供了新的思路。然而，该方法的出发点是将系统的非线性部分等效成线性系统的不确定部分，这一等效使得控制律的设计不可避免的带有保守性。而且该方法只给出了模糊控制系统渐近稳定的充分条件，对于许多模糊控制系统来说，稳定性条件很难得到满足。1.2 基于模型的T-S模糊控制系统的描述 T-S (Takagi-Sugeno-Kang)模糊模型是一种非线性模型，这种模糊系统的基本思想是将非线性系统在合适的工作点进行局部线性化，然后把每个单个的线性模型根据相应的隶属度函数关系合并为一个非线性模型，从而实现了用线性模型表示复杂的非线性系统。T-S模糊模型由下列一组规则构成: 形式：如果是并且是并且并且是 (1-1)则其中：是第j个模糊规则，N是系统模糊控制规则数目，是指第个输入变量。表示模糊集合，并且也可以用输入输出的形式表示： (1-2)其中： 满足如下条件：其中：表示对的隶属度函数，这里用高斯型函数，是模糊基函数。1.3 基于模型的T-S模糊控制的优点T-S模糊模型与传统的模糊模型相比有许多优点，其主要优点为:(1)它的输出能由规则库中变量的诸隶属度函数以及规则的输出精确确定，解决了纯模糊系统输入变量和输出变量均为模糊集合，不易为绝大多数工程系统所应用的问题。(2)普通模糊模型可以看作是用在非线性控制中的普通分段线性近似方法的扩展。通过分段线性化的非线性系统的控制可以通过在名义操作点附近对系统进行线性化获得，然后可以使用线性反馈控制方法。因为这样的方法是将输入空间分成精确的子空间，它不能将各个线性子系统平滑的连接成一个全局系统模型。而T-S模糊模型因为将输入空间划分成多个模糊子空间，并且在每一个模糊子空间中建立线性模型，然后使用隶属度函数将局部模型平滑的连接，从而形成非线性模型的全局模糊模型。因此该模糊模型是表示复杂非线性系统的好方法。因为每个局部模型是一个线性模型。因此线性控制理论中经典的控制方法可以被用于分析和设计非线性控制系统。(3)T-S模糊模型是一个普遍的近似器，可以确保其输出表面的连续性，并以任意精度逼近连续的非线性系统。即任何紧集上的连续函数都可以用T-S模糊模型以任意精度逼近。(4)T-S模糊模型能够以较少的模糊规则去描述一个高度非线性系统，并且还有巨大的应用潜力，但其参数辨识过程的复杂性又在某种程度上限制了其应用的场合。1.4 基于模型的T-S模糊控制的稳定性分析Takagi和Sugeno提出的T-S模糊模型，不仅开创了模糊模型辨识的一整套方法，同时也为模糊控制系统的稳定性分析提供了模型基础，且许多结果能应用于实际对象中。进入90年代以来，模糊系统的稳定性分析主要是针对T-S模糊系统进行的，稳定性定义和条件都是在Lyapunov意义框架中的。 基于Lyapunov稳定性理论，Tanaka等研究了离散模糊系统的稳定性问题。他们讨论的是两类T-S模糊模型:模糊对象模型和模糊控制器。先用T-S模型对被控对象建模，再用T-S模型为所建的模糊模型设计模糊控制器。它的稳定性分析是建立在Lyapunov直接法基础上的。最后的稳定性判据归结为寻找一个公共的正定矩阵P，满足m(模糊规则数)个不等式.然而，这是非常困难的，一旦找不到公共的正定矩阵P，此方法就失效。因为这仅是充分条件，也就是说，找不到公共的正定矩阵P并不意味着系统无法镇定，还可以用其它方法来镇定系统。对于实际控制对象，单个变量一般至少用5-7条规则，如果多个变量，则变量组合以后，规则数很大。要寻找一个适合所有规则的公共的正定矩阵P是很困难的，因而，此方法的应用也大大地受到制约。Kim基于T-S模糊模型分析了语言模糊状态空间模型在Lyapunov意义下的稳定性问题，结果表明即使一些子系统含有不稳定矩阵，全局系统模型仍能稳定，同时给出一种简化稳定性判断的梯度算法。Kiriakidis等讨论了离散模糊T-S模型的稳定性充分判据。他们描述的模型和Tanaka所描述的模型的区别是在模型中可以带上偏移项，他们利用线性矩阵不等式来求解公共的正定矩阵。Wang等利用并行分布补偿(PDC: parallel distributed compensations)的概念提出T-S模糊闭环系统的稳定性设计方法，要求判定公共正定矩阵P的存在性，他们把稳定性分析问题转化为一系列线性矩阵不等式的求解问题，既解决了公共矩阵P的求解又可以直接得到控制器反馈增益的解。此后，很多作者依据LMI方法给出了条件更为宽松的稳定性条件。2 基于连续系统的T-S模糊模型的非脆弱控制2.1 T-S模糊模型的描述考虑由m条规则构成的连续T-S模糊模型描述的非线性系统14：(2-1)其中，表示第条模糊规则，为模糊规则的个数，表示模糊子集，为前件变量，为状态向量，为输入向量，为输出向量，表示模糊系统的第个局域模型参数，和为已知的具有适当维数的常数矩阵。另外，第条模糊规则被使用的可能性决定于所有和第条模糊规则相关的隶属度函数， (2-2)本章假设对于所有的至少存在一个不为零，因此，。从而，规范化隶属度可表示为： (2-3)易知，并且。因此，模糊系统的全局模型可描述为15： (2-4)2.2 考虑加性非脆弱状态反馈控制器2.2.1 控制器的设计假设系统（2-1）的状态可直接测量，状态反馈非脆弱控制器的设计，就是对给定系统（2-1）设计一个状态反馈控制器16 (2-5)其中：为控制器参数，为控制器参数变化假设2.1：考虑加性控制器参数变化时： (2-6)其中：、为具有合适维数的已知实矩阵，为Lebasgue(勒贝格)可测的时变扰动矩阵且满足 ，。将状态反馈控制器（2-5）代入（2-4）可得系统的闭环系统为：(2-7)2.2.2 研究所得出的主要成果引理2.117 对于所有具有适当维数的实矩阵和，任取，下面不等式成立： 定理2.1对于系统（2-1），存在非脆弱状态反馈控制器（2-5），其控制器参数变化满足式（2-6），使闭环系统（2-7）渐进稳定的充要条件是存在正定矩阵P使下式成立： (2-8)本章研究的问题：针对给定的模糊系统（2-7），考虑加性控制器参数变化时,设计相应的非脆弱控制器，并采取Lyapunov函数方法，给出该系统渐近稳定性条件。现取Lyapunov函数，则 (2-9)设 根据引理2.1，（2-9）可以等价于： (2-10)设 根据引理2.1，（2-10）可以等价于：即(2-11)则，应用Schur补性质，可将式（2-11）转化为式（2-12）(2-12)2.2.3 仿真结果考虑加性非脆弱控制器参数变化时，连续T-S模糊模型所描述的非线性系统为：其中，则模糊系统的全局模型为：其中，状态反馈非脆弱控制器的模型为：其中， ， ， ， 通过求解Matlab中LMI，可以得到如下的非脆弱控制器正定矩阵P：在条件下的仿真图2.1图2.1 考虑加性控制器参数变化的仿真界面2.3 考虑乘性非脆弱状态反馈控制器2.3.1 控制器的设计假设系统（2-1）的状态可直接测量，状态反馈非脆弱控制器的设计，就是对给定（2-1）系统设计一个状态反馈控制器(2-13)其中：为控制器参数，为控制器参数变化假设2.2：考虑乘性控制器参数变化时： (2-14)其中：、为具有合适维数的已知实矩阵，为Lebasgue(勒贝格)可测的时变扰动矩阵且满足 ，。将状态反馈控制器（2-13）代入（2-4）可得系统的闭环系统为：(2-15)2.3.2 研究所得出的主要成果引理2.217 对于所有具有适当维数的实矩阵和，任取，下面不等式成立： 定理2.2 对于系统（2-1），存在非脆弱状态反馈控制器（2-13），其控制器参数变化满足式（2-14），使闭环系统（2-15）渐进稳定的充要条件是存在正定矩阵P使下式成立： (2-16)本章研究的问题：针对给定的模糊系统（2-15），考虑乘性控制器参数变化时,设计相应的非脆弱控制器，并采取Lyapunov函数方法，给出该系统渐近稳定性条件。现取Lyapunov函数，则 (2-17)根据引理2.2,（2-17）可以等价于：即(2-18)则,应用Schur补性质,可将式（2-18）转化为（2-19）(2-19)2.3.3 仿真结果考虑乘性控制器参数变化时，连续T-S模糊模型描述的非线性系统：其中，则模糊系统的全局模型为：其中， ，状态反馈非脆弱控制器的模型为：其中， ，,通过求解Matlab中LMI，可以得到如下的非脆弱控制器正定矩阵P：在条件下的仿真图2.2图2.2 考虑乘性控制器参数变化的仿真界面由图2.1和图2.2显示的均是收敛曲线，说明设计的基于连续系统的T-S模糊模型的非脆弱控制器，无论考虑控制器的增益是加性非脆弱或乘性非脆弱都具有可行性。3 基于连续不确定系统的T-S模糊模型的非脆弱控制3.1 T-S模糊模型的描述考虑由m条规则构成的连续不确定T-S模糊模型描述的非线性系统： (3-1)其中表示第条模糊规则，为模糊规则的个数，表示模糊子集，为前件变量，为状态向量，为输入向量，为输出向量，表示模糊系统的第个局域模型参数，和为已知的具有适当维数的常数矩阵，18 ，、为具有合适维数的已知实矩阵，为Lebasgue(勒贝格)可测的时变扰动矩阵且满足 ，。另外，第条模糊规则被使用的可能性决定于所有和第条模糊规则相关的隶属度函数，(3-2)本章假设对于所有的至少存在一个不为零，因此，。从而，规范化隶属度可表示为：(3-3)易知，并且。因此，模糊系统的全局模型可描述为：(3-4)3.2 考虑加性非脆弱状态反馈控制器3.2.1 控制器的设计假设系统（3-1）的状态可直接测量，状态反馈非脆弱控制器的设计，就是对给定系统（3-1）设计一个状态反馈控制器19(3-5)其中，为控制器参数，为控制器参数变化。假设3.1：考虑加性控制器参数变化时： (3-6)其中，、为具有合适维数的已知实矩阵，为Lebasgue(勒贝格)可测的时变扰动矩阵且满足 ，。将状态反馈控制器（3-5）代入（3-4）可得系统的闭环系统为： (3-7)3.2.2主要成果引理3.117 对于所有具有适当维数的实矩阵和，任取，下面不等式成立： 定理3.1对于不确定系统（3-1），存在非脆弱状态反馈控制器（3-5），其控制器参数变化满足式（3-6），使闭环系统（3-7）渐进稳定的充要条件是存在正定矩阵P使下式成立： (3-8)本章研究的问题：针对给定的模糊系统（3-7），考虑加性控制器参数变化时,设计相应的非脆弱控制器，并采取Lyapunov函数方法，给出该系统渐近稳定性条件。现取Lyapunov函数，则 (3-9)设 根据引理3.1，（3-9）可以等价于： (3-10)则,应用Schur补性质,可将式（3-10）转化为（3-11） (3-11)3.2.3 仿真结果考虑加性控制器参数变化时，连续T-S模糊模型描述的非线性不确定系统：其中，则模糊系统的全局模型为：其中， ， ，状态反馈非脆弱控制器的模型为：其中， ，,通过求解Matlab中LMI，可以得到如下的非脆弱控制器正定矩阵P：在条件的仿真图3.1图3.1 考虑加性控制器参数变化的仿真界面3.3考虑乘性非脆弱状态反馈控制器3.3.1 控制器的设计假设系统（3-1）的状态可直接测量，状态反馈非脆弱控制器的设计，就是对给定系统（3-1）设计一个状态反馈控制器 (3-12) 其中：为控制器参数，为控制器参数变化假设3.2：考虑乘性控制器参数变化时：(3-13)其中：、为具有合适维数的已知实矩阵，为Lebasgue(勒贝格)可测的时变扰动矩阵且满足 将状态反馈控制器（3-12）代入（3-4）可得系统的闭环系统为： (3-14)3.3.2 研究所得出的主要成果引理3.2 对于所有具有适当维数的实矩阵和，任取，下面不等式成立： 定理3.2 对于不确定系统（3-1），存在非脆弱状态反馈控制器（3-12），其控制器参数变化满足式（3-13），使闭环系统（3-14）渐进稳定的充要条件是存在正定矩阵P使下式成立： (3-15)本章研究的问题：针对给定的模糊系统（3-14），考虑乘性控制器参数变化时,设计相应的非脆弱控制器，并采取Lyapunov函数方法，给出该系统渐近稳定性条件。现取Lyapunov函数，则 (3-16)根据引理3.2，（3-16）可以等价于：(3-17)则,应用Schur补性质,可将式（3-17）转化为（3-18） (3-18) 3.3.3 仿真结果考虑乘性控制器参数变化时，连续T-S模糊模型描述的非线性不确定系统：其中，则模糊系统的全局模型为：其中，状态反馈非脆弱控制器的模型为：其中， ,通过求解Matlab中LMI，可以得到如下的非脆弱控制器正定矩阵P：在条件下的仿真图3.2图3.2 考虑乘性控制器参数变化的仿真界面由图3.1和图3.2显示的均是收敛曲线，说明设计的基于连续不确定系统的T-S模糊模型的非脆弱控制器，无论考虑控制器的增益是加性非脆弱或乘性非脆弱都具有可行性。4 基于连续时滞系统的T-S模糊模型的非脆弱控制4.1 T-S模糊模型的描述考虑由m条规则构成的连续T-S模糊模型描述的非线性时滞系统20：(4-1)其中表示第条模糊规则，为模糊规则的个数，表示模糊子集，为前件变量，为状态向量，为输入向量，为输出向量，表示模糊系统的第个局域模型参数，和，为已知的具有适当维数的常数矩阵。为定常时滞，满足。另外，第条模糊规则被使用的可能性决定于所有和第条模糊规则相关的隶属度函数，(4-2)本章假设对于所有的至少存在一个不为零，因此，。从而，规范化隶属度可表示为：(4-3) 易知，并且。因此，模糊系统的全局模型可描述为：(4-4)4.2 考虑加性非脆弱特性的状态反馈控制器4.2.1 控制器的设计假设系统的状态可直接测量，状态反馈非脆弱控制器的设计，就是对给定系统设计一个状态反馈控制器： (4-5)其中：为控制器参数，为控制器参数变化假设4.1：考虑加性控制器参数变化时： (4-6)其中：、为具有合适维数的已知实矩阵，为Lebasgue(勒贝格)可测的时变扰动矩阵且满足 ，。将状态反馈控制器（4-5）代入（4-4）可得系统的闭环系统为：(4-7)4.2.2 研究所得出的主要成果引理4.1 对于所有具有适当维数的实矩阵和，任取，下面不等式成立： 定理4.1 对于时滞系统（4-1），存在非脆弱状态反馈控制器（4-5），其控制器参数变化满足式（4-6），使闭环系统（4-7）渐进稳定的充要条件是存在正定对称矩阵P和R使下式成立： (4-8)本章研究的问题：针对给定的模糊系统（4-7），设计相应的非脆弱控制器，并采取Lyapunov函数方法，给出该系统渐近稳定性条件。现取Lyapunov函数，其中，R是正定对称矩阵，则 (4-9)设，(4-10)把（4-10）变换成（4-11）的形式(4-11)若使，根据引理4.1，应用Schur补性质，可将变换成（4-12）。 (4-12)4.2.3 仿真结果考虑加性控制器参数变化时，连续T-S模糊模型描述的非线性时滞系统：其中：，则模糊系统的全局模型为： 状态反馈非脆弱控制器的模型为：其中： ， ，