毕业论文一致收敛判别方法的探讨.doc

一致收敛判别方法的探讨摘要一致收敛理论是数学分析的一个重要的研究分支.一致收敛概念及判定的掌握是学习数学分析的重点和难点,而且一致收敛在泛函分析、偏微分方程等学科中也有广泛而深入的应用.本文首先简单阐述函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,然后从函数列、函数项级数及含参量反常积分三方面着手,分别列出常用的判别一致收敛的方法,并由常用的方法推出一些定理.本文在判别函数列一致收敛的方法探索中,由函数列的两边夹判别法推得一种比式判别法；并利用条件,给出函数列一致条件的定义,研究满足一致条件的函数列的一致收敛性；研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性.在判别函数项级数一致收敛的方法探索中,给出函数项级数一致条件的定义,研究满足一致条件的函数项级数的一致收敛性.在文献2中一些未给出证明的定理,在本文中也将给出简单的证明.关键词:函数列；函数项级数；含参量反常积分；一致收敛Investigate on the Criterion of Uniform ConvergenceMathematics and Applied Mathematics 2006-2 Jiang Su-pingSupervisor Liang Zhi-qingAbstract Uniform Convergence theory is an important research branch of mathematical analysis. The understanding and judging of this conception are the key as well as difficult point of mathematical analysis. Further more, Uniform Convergence has been widely used in the subjects of Functional Analysis and Partial Differential Equations.This article will first briefly explain the Function Column, Series of Functions and Parameter Improper concept of uniform convergence. Then, out from three aspects, namely the function, the function parameters of the Series and the infinite integration with parameter, it will list some methods commonly used in the identification of Uniform Convergence from which some theorem will be deduced. In the research of the methods of identifying Uniform Convergence, another kind of identifying method called Ratio method is deduced through between discriminant method. Besides, taking advantage of L condition, this paper will define Uniform L condition and discusses Convergence under L condition. Besides, it will discusse the Uniform Convergence of function when its derived functions are uniformly bounded under micro-conditions. In the research of the methods of identifying Uniform Convergence of Series, this paper will give the definition of L condition of Uniform Convergence of Series and discusses Uniform Convergence of Series under L condition. Theorems that has not been proved in document 2 will also be briefly proved in this paper.Key words: function column; series of functions; infinite integration with parameter; uniform convergence目录0 前言11 预备知识22 一致收敛的判别方法62.1函数列一致收敛的判别方法62.1.1常用方法62.1.2两边夹判别法102.1.3单调判别法112.1.4 一致条件判别法132.1.5导数判别法142.1.6点列判别法152.2函数项级数一致收敛的判别方法162.2.1常用方法162.2.2两边夹判别法202.2.3比较判别法212.2.4单调判别法222.2.5一致条件判别法232.2.6导数判别法242.2.7点列判别法262.3含参量反常积分一致收敛的判别方法272.3.1常用方法272.3.2两边夹判别法292.3.3比较判别法292.3.4单调判别法312.3.5点列判别法31结束语31致谢31参考文献32 0 前言一致收敛的理论是数学分析的重要组成部分之一,也是学好后继课程,如泛函分析、偏微分方程等的必备基础.一致收敛是数学分析教学中的难点之一,尤其是涉及到函数列、函数项级数与含参量反常积分的一致收敛性问题.数学分析中的积分运算与其它运算的可交换性,我们就需要探讨它们的一致收敛性来作为保证.目前,已有许多文献对一致收敛进行了研究.如在文献中编者介绍了函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,并介绍了判别函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的充要条件；文献对一致收敛分别从定义、充要条件、一般性质、运算法则、判别方法等方面做了讨论；文献给出了判别函数列一致收敛性的一种方法,这种方法与Dini定理的区别在于:Dini定理是数列单调,而作者所给的是函数单调.文献介绍了函数项级数中的Dini定理.文献则是对函数项级数的导数所需满足怎样的条件才能使级数一致收敛进行探讨,从而得到了函数项级数一致收敛的导数判别法. 虽然已有诸多文献对一致收敛进行了研究,但多数只是就某单一方面进行研究.本文试图从函数列、函数项级数以及含参量反常积分一致收敛的判别方法进行探索.在文献2中未给出证明的定理,本文也将给出简单的证明.本文可分为两大部分,第一部分简单阐述函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,同时给出函数列一致条件及函数项级数一致条件.第二部分是本文的主要内容,从函数列、函数项级数以及含参量反常积分三方面着手,分别列出常用的判别一致收敛的方法,并由常用的方法推出一些定理.本文在判别函数列一致收敛的方法探索中,由函数列的两边夹判别法推得一种比式判别法；探讨函数列分别在函数列单调及函数单调条件下的一致收敛性；利用条件,给出函数列一致条件的定义,研究满足一致条件的函数列的一致收敛性；研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性；把函数列所在点集归结为点列来探讨函数列的一致收敛性.而在判别函数项级数一致收敛的方法探索中,先介绍两边夹判别法,然后介绍比较判别法,对魏尔斯特拉斯判别法的条件进行改变得到一种新的比较判别法；探讨在级数的和函数单调条件下,推出函数项级数的Dini；利用条件,给出函数项级数一致条件的定义,研究满足一致条件的函数项级数的一致收敛性；探讨在函数列可微条件下,当在上一致收敛时,函数项级数的一致收敛性；把函数项级数所在点集归结为点列来探讨函数项级数的一致收敛性.在判别含参量反常积分一致收敛的方法探索中,先介绍两边夹判别法及比较判别法,然后探讨在积分单调的条件下,积分的一致收敛性，之后把含参量反常积分所在点集归结到点列来探讨含参量反常积分的一致收敛性.1 预备知识在这个部分我们将介绍本文所需要用到的概念及引理.首先我们介绍函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,并给出函数列、函数项级数的一致条件的定义.定义1 设 , 是一列定义在同一数集上的函数,称为定义在上的函数列.也可以简单地写作: 或, 定义2 设函数列与函数定义在同一数集上,若对任给的正数,总存在某一正整数,使得时,对一切,都有,则称函数列在上一致收敛于.定义3 设是定义在数集E上的一个函数列,表达式 称为定义在上的函数项级数,简记为或.称=, ,为函数项级数的部分和函数列.设函数项级数在上的和函数为,称=为函数项级数的余项.定义4 设是函数项级数的部分和函数列.若在数集上一致收敛于函数,则称函数项级数在上一致收敛于函数,或称在上一致收敛.定义5 设函数定义在无界区域上,若对每一个固定的,反常积分 都收敛,则它的值是在上取值的函数,当记这个函数为时,则有=,称式为定义在上的含参量的无穷限反常积分,或简称含参量反常积分.定义6 若含参量反常积分与函数对任给的正数,总存在某一实数,使得当时,对一切,都有即,则称含参量反常积分在上一致收敛于,或简单地说含参量积分在上一致收敛.定义7(函数列的一致条件) 若存在常数,使得对于任意两点,都有 .则称函数在区间上满足一致条件.定义8(函数项级数的一致条件) 若存在常数,使得对于任意两点,都有 .则称函数在区间上满足一致条件.1.2 引理为了本文的需要,在这部分将把文献中的一些定理作为引理罗列出来. 引理1(函数列一致收敛的柯西准则) 函数列在数集上一致收敛的充要条件是:对任给正数,总存在正数,使得当时,对一切,都有引理2(函数列确界准则) 函数列在区间上一致收敛于的充要条件是:=0引理3(函数项级数一致收敛的柯西准则) 函数项级数在数集上一致收敛的充要条件为:对任给的正数,总存在某正整数,使得当时,对一切和一切正整数,都有或引理4(函数项级数余项准则) 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是=0.引理5(阿贝耳判别法) 设(1)在上一致收敛；(2)对于每一个,是单调的；(3)在上一致有界,即对一切和正整数,存在正数,使得,则级数在I上一致收敛.引理6(狄利克雷判别法) 设 (1)的部分和函数列 在I上一致有界； (2)对于每一个,是单调的；(3) 在I上一致收敛于0 (n),则级数在I上一致收敛. 引理7(含参量反常积分一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是:对任给正数,总存在某一实数,使得当,时,对一切,都有.引理8 含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列（其中=）,函数项级数=在上一致收敛.引理9(狄利克雷判别法) 设(1)对一切实数,含参量正常积分对参量在上一致有界,即存在正数,对一切及一切,都有；(2)对每一个,函数关于是单调递减且当时,对参量,一致地收敛于0,则含参量反常积分在上一致收敛.定理10(阿贝耳判别法) 设(1)在上一致收敛；(2)对每一个,函数为的单调函数,且对参量,在上一致有界,则含参量反常积分在上一致收敛.2 一致收敛的判别方法在这部分,将分别对判别函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的方法进行探讨. 2.1函数列一致收敛的判别方法下面从常用方法、两边夹判别法、单调判别法、一致条件判别法、导数判别法、点列判别法这几方面来介绍函数列一致收敛的判别方法.2.1.1 常用方法判别函数列一致收敛的常用方法有：定义判别法,柯西准则判别法,上确界法.下面举例来说明.例1 确定函数列在上的一致收敛性.解 ,有极限函数,（取）,所以,（）,有.故在上一致收敛.例2确定函数列在区间的一致收敛性.解 =0,对n,n及=,令=,有=1故函数列在非一致收敛.例3确定函数列,在区间的一致收敛性.解对任意,有极限函数,0,所以在上一致收敛.由上面三种常用方法,我们可以得到下面的定理:定理1 设在点集X上一致收敛于,则其任子函数列均在区间X上一致收敛于.定理2设在点集X上一致收敛于,则在点集X上一致收敛于.证若一致收敛于,则任意,存在,当时,任意,恒有.因为,所以,于是,定义在上的函数列,存在函数,满足：任意,存在,当时,任意,恒有,即在点集上一致收敛于.定理3设与在点集上分别一致收敛于与,则在上一致收敛于.证由题设知,当时,有,同一,当时,有.于是,关于,取,当时,恒有.所以,在上一致收敛于.类似可证,在上一致收敛于.推论 若设与在点集上分别一致收敛于与,则在上一致收敛于(为常数).定理4 设在点集X上一致收敛于,又在有界,则在上一致收敛于.证由定义,若在点集上一致收敛,有.又对,有.于是,有,从而在X上一致收敛于.推论1 设在区间上一致收敛于,又在上单调且连续,则在上一致收敛于.推论2 设在区间上一致收敛于0,又在上单调且连续,则在上一致收敛于0.定理5 设在点集上一致收敛于,且存在,使对任意,都有成立,则在上一致收敛于,且在上有界.定理 设与在点集上分别一致收敛于与,且在上有界,又存在,使对任意,都有成立,则在上一致收敛于,且在上有界. 定理6 设在点集上一致收敛于0,且存在自然数N,当和时,恒有成立,则在上一致发散于；反之,若在X上一致发散于,则在X上一致收敛于0.2.1.2 两边夹判别法 下面介绍两边夹判别法.引理11 设存在自然数,当和时,恒有成立,与均在点集X上一致收敛于,则也在上一致收敛于. 由引理11我们可以得到一种比式判别法.定理7设存在自然数,当和时,恒有；且成立,点集上一致收敛于1,则与也在上同时一致收敛或同时不一致收敛.证对任意,由于点集上一致收敛于1,故存在自然数,当和时,恒有再由已知,当和时,恒有成立.于是,当和时,恒有成立.依定义,在上一致收敛于1.当时,取,易知与也在上同时一致收敛或同时不一致收敛.2.1.3单调判别法 下面讨论在函数列单调的条件下,加上若干条件,可推出Dini定理.定理8（Dini定理）函数列在上单调收敛于连续,每个在上连续,则在上一致收敛.例4证明在区间上,函数列一致收敛于,并由此得出函数列一致收敛. 证因为在上单调增加并趋向于,而在上连续,由Dini定理,一致收敛于.又，而0 .故在上一致收敛.下面讨论在函数单调条件下,加上若干条件,可推出判别函数列一致收敛的另一种方法.定理9 设函数列满足(1)收敛于连续函数；(2)对于任意,为上的单调函数则在上一致收敛.证由收敛于,且为上的连续函数,则在上一致连续,在上任取个点,使得它们把分割成个小区间且在上的振幅小于由收敛于,则对任意对于任意,存在,取当时,有.（对于任意又由为上单调函数,则有当时,对于任意,存在,使得,有.同理,故对任意都成立.故在上一致收敛于.例5试讨论函数序列在区间上的一致收敛性.解当时,而在上连续,因为对于任意,在上为单调函数.由定理9可得在上的一致收敛.由例题我们可以看出用定理9来判别一致收敛性十分简便. 定理9与Dini定理的区别在于:定理9是函数单调,Dini定理是数列单调.2.1.4 一致条件判别法下面试对函数列满足一致条件的情况下进行探讨,可推得一致条件判别法.定理10 设函数在上收敛,在上满足一致条件,则在上一致收敛.证 (i) 假定,.对任意,存在,当时,就有又因为在上满足一致条件,即存在常数,使得对于任意两点,都有.存在,当时,对一切,(在与之间)当及时,就有 +=.（ii）由于开区间列构成闭区间的一个(无限)开覆盖,由有限覆盖定理推得,存在有限个开区间,覆盖整个闭区间,取N=则对上述的,对任意正整数,及任意.设(),.则有,由(1)结果得.依函数列一致收敛的柯西准则,推得一致收敛于,，.2.1.5导数判别法下面研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性.定理11 设可微函数在上收敛,在上一致有界,则在上一致收敛.证由假设存在正数,对任一自然数,当时,有,因此对任意,在上取个点.使它们把分割成个(有限)小区间且(=1,2,).因在上收敛,所以对上任意一点,当时,对任意自然数,有,对函数应用微分中值定理知：任意,存在位于与之间的使得 =.于是,+ .取,则当时,对一切,有,故在上一致收敛.例6 确定函数列在区间的一致收敛性.解 因为0(),.=存在,对任意,都有=,=1,2,3,所以在一致有界.因此一致收敛于,(),.可见对于一些函数列用导数判别法也是很简便的,因此当易求时可考虑用此方法来判定函数列是否一致收敛.2.1.6点列判别法下面把点集归结到点列来探讨函数列的一致收敛性.定理12 在点集上一致收敛于的充分必要条件是对任意点列都有.证必要性,因为在点集X上一致收敛于,所以.于是对任意点列都有.充分性,用反证法,假设在点集上不一致收敛于,则,及,使得 .于是,取,与,使；取,与,使；取,与,使；.这样就得到一点列,使,与已知条件相矛盾.2.2函数项级数一致收敛的判别方法 下面从常用方法、两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致条件判别法、导数判别法、点列判别法这几方面来介绍函数项级数一致收敛的判别方法.2.2.1常用方法判别函数项级数一致收敛的常用方法有定义判别法,柯西准则判别法,余项准则,阿贝耳判别法,狄利克雷判别法.下面举例说明.例7证明函数项级数在区间上一致收敛.证的部分和为要证在上一致收敛于,只要证明在上一致收敛于0即可.令则在上连续,且,有0.由于在连续,则,当时,就有.令,当,有.综上便得在上一致收敛于0.便得在上一致收敛于.因此由定义得,函数项级数在区间上一致收敛.例8 证明级数在内不一致收敛.证 用反证法.假设在内一致收敛,那么由柯西一致收敛准则,当时,对任意正整数及一切都有.特取,则有,从而得,与的任意性相矛盾.由此,命题得证.例9 级数,若仅在上讨论,则由 = 可得级数在上一致收敛.若在上讨论这个级数,则由 .知道级数在上内不一致收敛.例10 证明级数在上一致收敛.证 令，（），由于一致收敛，对每一个单调增，且一致有界: ,根据阿贝耳判别法可知在上一致收敛.例11 证明级数在上一致收敛.证 令，（），由于对每个单调减，且一致收敛于0，而的部分和一致有界,所以根据狄利克雷判别法可知在上一致收敛.由以上常用的方法,可推得以下定理：定理13 设与在点集上分别一致收敛于与,则在X上一致收敛于.证 由余项准则,若在点集X上一致收敛于,设为的部分和函数列,则=0.若在点集上一致收敛于,设为的部分和函数列,则=0.由上得因此,可得在上一致收敛于.同理可证,在上一致收敛于.推论 设与在点集上分别一致收敛于与,则在X上一致收敛于（为常数）. 定理14 设在点集上一致收敛,在上有界,则在X上一致收敛.证 由柯西准则,若在点集X上一致收敛,和,有.又对,有.于是,从而知在X上一致收敛.推论 设在区间上一致收敛,在区间上单调且连续,则在上一致收敛.2.2.2 两边夹判别法下面介绍两边夹判别法.定理15 对任意自然数和,都有成立,又与均在点集X上一致收敛于,则也在X上一致收敛于.由两边夹定理,可以推得交错函数级数的一个判别方法：定理16 设在点集X上一致收敛于0,又对任意自然数和,都有 成立,则交错函数级数在X上一致收敛. 2.2.3 比较判别法下面介绍比较判别法. 定理17(魏尔斯特拉斯判别法) 设函数项级数定义在数集上,为收敛的正项级数,若对一切,有,=1,2,则函数项级数在上一致收敛.现对魏尔斯特拉斯判别法的条件改变,来讨论函数项级数的一致收敛性.可推出定理18.定理18 设在点集X上一致收敛,又对任意自然数,均在X上有定义,且存在自然数N和,当和时,恒有成立,则在X上一致收敛且绝对收敛.对定理18中的条件进行加强,可推出定理19.定理19 若在区间上,对任何正整数当在I上一致收敛时,级数在I上也一致收敛. 证 因为在I上一致收敛,故对任给的,总存在,使得当时,对任意,及任意,有从而由,得 所以由柯西准则,级数在I上一致收敛.例12 证明函数项级数,在上一致收敛.证 因为对一切有 , ,而正项级数是一致收敛的.因此由定理19得函数项级数,在上一致收敛.2.2.4单调判别法下面讨论在级数的和函数单调条件下,加上若干条件,可推出函数项级数的Dini 定理.定理20(Dini定理) 设级数的每一项在有界闭区间上连续且非负,如果它的和函数也在上连续,那么该级数在上一致收敛.证用记级数的部分和,由于0,故对每个给定的,是单调增的数列.记 （）, 则是非负的单调减得数列.我们要证明在上一致趋于0.如果不是这样,那么存在某个,不论多大,总能在找到这样的点,使得 （）, （）既然是中的一个点列,那么根据Bolzano-Weierstrass定理,从它中间能挑出一个收敛的子列,设,则,根据的连续性,我们有 （）.另一方面,对于任意给定的,总能找到充分大的,使.于是,对于任意给定的,就有,特别有.因而从得,命,就得 （）. 但从知道,（）,这和矛盾,从而证明了级数在上一致收敛于.注如果把定理中的有界闭区间换成开区间或者无穷区间,结论就可能不成立.例如级数的每一项在区间中非负且连续,它的和函数也在中连续,但该级数在中并不一致收敛. 现以例7为例用Dini定理来确定级数的一致收敛性.例7 证明函数项级数在区间上一致收敛.解 设该级数的和函数为,则,且当时,由几何级数求和公式,可得=.因为,所以在上连续.考虑到级数的每一项都同号,且在上连续,由Dini定理可知,级数在上一致收敛.可见用Dini定理来判别函数项级数的一致收敛性是很方便的.2.2.5一致条件判别法下面讨论满足一致条件,来探讨的一致收敛性,得到函数项级数的一致条件判别法.定理23 设函数列在闭区间上连续,且存在一点收敛,使得在点收敛；且在闭区间上满足一致条件；则函数项级数在上一致收敛.证 已知在点收敛,即任意,存在,使得时,对任意,有；又因为在闭区间上满足一致条件,即存在常数,使得对于任意两点,都有存在,当0时,对一切,任意,任意,有 L,于是任意,任意,任意, .即在上一致收敛.2.2.6导数判别法下面探讨在函数列可微条件下,当在上一致收敛时,函数项级数的一致收敛性.定理24 设函数列在闭区间上连续,可微,且存在一点收敛,使得在点收敛；在上一致收敛；则函数项级数在上一致收敛.证已知在点收敛,在上一致收敛,即任意,存在,使得时,对任意,有；对任意,有根据拉格朗日中值定理,任意,任意,任意,有 （介于与之间）于是任意,任意,任意, .即在上一致收敛.2.2.7 点列判别法下面,把在点集X归结到点列的情况下来确定函数项级数的一致收敛性.定理25在点集X上一致收敛于的充分必要条件是对任意点列 .都有证 必要性,若在点集X上一致收敛于,则.于是对任意点列 ,都有.充分性,用反证法,假设在点集X上不一致收敛于,则,及,使得.于是,取,与,使；取,与,使；取,与,使；.这样就得到一点列,使,与已知条件相矛盾.2.3含参量反常积分一致收敛的判别方法下面从常用方法、两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、点列判别法这几方面来介绍含参量反常积分一致收敛的判别方法.2.3.1 常用方法判别函数列一致收敛的常用方法有定义判别法,柯西准则判别法,上确界法,阿贝耳判别法,狄利克雷判别法.下面举例说明.例13 确定积分在区间（）的一致收敛性.解 因为,有 = =而,故,当时,有,由定义知在上一致收敛.例14 确定积分当时的一致收敛性.解 取= ,取,则,而,因此在时不一致收敛.例15 确定关于在（）上和内的一致收敛性.解显然关于在内收敛于.0,.由上确界判别法知关于在（）上一致收敛于,在内的不一致收敛.例16 证明含参量反常积分关于一致收敛.证 由于收敛，又在对单调下降且一致有界，即，由阿贝耳判别法知，在时一致收敛.例17 证明含参变量反常积分在一致收敛.证 ,当时,函数在时关于单调下降,且当时关于一致趋于0，由狄利克雷判别法知在一致收敛.由以上常用方法,可推出一下定理：定理26 设与关于在点集Y上分别一致收敛于与,则关于在Y上一致收敛于.证 由题设知,当时,有,同一,当时,有.于是,关于,取,当时,恒有=.所以,在上一致收敛于.类似可证,在X上一致收敛于.定理27 设关于在点集Y上一致收敛于,在Y上有界,则关于在Y上一致收敛于.2.3.2 两边夹判别法下面介绍两边夹判别法.定理 28 设当和时,恒有成立,且与均关于在点集Y上一致收敛于,则关于在Y上一致收敛于.2.3.3 比较判别法 下面介绍比较判别法.定理29(魏尔斯特拉斯判别法) 设有函数,使得,.若收敛,则在上一致收敛.现对魏尔斯特拉斯判别法的条件改变,来讨论含参量反常积分的一致收敛性.可推出定理30.定理30 关于在点集上一致收敛,又存在,使当与时,恒有成立,且当时,对任意,均关于在上可积,则关于在点集上一致收敛. 再对定理30条件进行加强,可推出定理31.定理31 若, 且对于是一致收敛的,则对于也是一致收敛的.证 对任给,由一致收敛,所以存在,使得只要时,对任意有于是,当时,对任意有 这就表示对于是一致收敛的.证毕.2.3.4单调判别法在单调的条件下,加上若干条件,可推出含参量反常积分的Dini定理.定理32(Dini定理) 设关于在上收敛于,在上连续,又当和时,恒有成立,且对任意,均关于在上连续,则关于在上一致收敛于.2.3.4点列判别法下面把在点集X归结到点列的情况下来确定含参量反常积分的一致收敛性.定理33 关于在点集X上一致收敛于的充分必要条件是对任意：,：X （=1,2）,都有 结束语一致收敛的概念及判定的掌握是学习数学分析的重点和难点,贯穿始终,而函数列、函数项级数及含参量反常积分的一致收敛性更是数学分析的重点、难点.本文从函数列、函数项级数及含参量反常积分三方面着手,对它们的一致收敛进行探讨和研究,得到一些判别方法.可根据函数列、函数项级数及含参量反常积分的具体结构,而选择恰当的判别一致收敛的方法,以达到简便、快速求解的目的.致谢值此论文完成之际,谨在此向多年来给予我关心和帮助的老师、同学和家人表示衷心地感谢.我能顺利完成学业,首先要感谢系领导及各科老师对我的关心和帮助.特别感谢梁教授给我的无私帮助,梁老师渊博的专业知识,严谨的治学态度,扎实的理论功底,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严于律己、宽以待人的高尚风范,都为我以后的治学态度和做人标准树立了楷模.在论文的选题、写作和修改过程中都得到了梁老师热情的指导和细致的审阅,再次表示深深的感谢！最后, 感谢我的家人在各方面一直给予我的全力支持，我能完成学业与他们的无私奉献是分不开的. 参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)M.北京:高等教育出版社,2006.2 吕通庆.一致连续与一致收敛M.北京:人民教育出版社,1982.3 林荣斐.关于函数列一致收敛性的一点注记J.台州学院报,2005,27(3):32-33.4 何琛.数学分析(第三册)(无穷级数和广义积分)M.北京:高等教育出版社,1985.5 杨琼芬.函数级数一致收敛的判别法J.科技资讯,2007(32) :49-50.6 朱正佑.数学分析(下册)M.上海：上海大学出版社,2001.7 孙清华等.数学分析内容、方法与技巧(下)M.武汉:华中科技大学出版社,2003.8 吴传生.数学分析(下册)习题精解M.合肥:中国科学技术大学出版社,2004.9 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社,1993.10 王莉萍,刘红运.函数列一致收敛的性质与判定J.商丘职业技术学院学报,2007,6(5):7-9.11 钟建林，梁元星.函数列在区间非一致收敛性问题研究J.广西民族学院学报(自然科学版),2005,11(2):65-68.12 钱吉林.数学分析解题精粹M.武汉:崇文书局,2003.13 王晓敏等.数学分析学习方法与解题指导M.沈阳:东北大学出版社,2005.14 滕加俊.数学分析辅导与习题精解M.大连:大连理工大学出版社,2006.15 赵显曾等.数学分析的方法与题解M.西安:陕西师范大学出版社,2005.