电磁场数学方法数学物理方程.ppt

电磁场数学方法,第二篇 数学物理方程,要想探索自然界的奥秘，就得解微分方程-牛顿,课程内容,三种方程四种求解方法二个特殊函数,行波法分离变量法积分变换法格林函数法,波动方程热传导拉普拉斯方程,贝赛尔函数勒让德函数,第四章 分离变量法,第二篇 数学物理方程,4.2 非齐次振动方程和输运方程,4.3 非齐次边界条件的处理,4.1 齐次方程的分离变数法,一维弦振动方程（一维波动方程）一维传导方程二维拉普拉斯方程亥姆霍兹方程,基本思路：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合得到通解，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,第四章 分离变量法,知识复习,一、常见齐次微分方程的解：,欧拉型方程,知识复习,二、三角函数的正交性,知识复习,三、函数的傅里叶级数展开,5.1.9,5.1.11,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,无界/半无界波动方程可由达朗贝尔公式求解。,齐次泛定方程,边界条件,初始条件,有界弦自由振动定界问题为：,接下来讨论利用分离变量法求解：,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,常微分方程,令,代入泛定方程：,令,第一步：分离变量：,无关,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,由原问题定解条件得到常微分方程定解条件：,第二步：解常微分方程,1、求X(x),特征(固有)值问题：含有待定常数常微分方程在一定条件下 的求解问题,特征(固有)值：使方程有非零解的常数值,特征(固有)函数：和特征值相对应的非零解,c）令，为非零实数,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,分情况讨论：,a）,b）,舍去,舍去,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,本征值),考虑到 与n取值有关，故令,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,2、求T(t),0,3、得到分离变量形式的通解,本征振动,本征振动的角频率为：,n=1，称为基波；,n 1，称为 n 阶谐波。,由叠加原理：本征振动的线性叠加仍满足泛定方程和边界条件。,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,第三步：由定解条件确定待定系数,将所有基波与谐波线性叠加，得到方程通解：,=?,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,由傅里叶展开：,分离变量法流程图,1）分离变量,2）根据边界条件求特征值和特征函数,3）求另一个函数,4）求通解,5）确定常数,分离变量法求解步骤：,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,例：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时的位移。,解：,4.1 齐次方程的分离变数法,4.1 齐次方程的分离变数法,零解，无意义！,无意义！,4.1 齐次方程的分离变数法,4.1 齐次方程的分离变数法,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,例：一端自由的均匀杆振动问题：,泛定方程:,边界条件:,初始条件：,弦一端自由一端固定,解：由分离变量法,代入泛定方程，整理得,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,（续上例）,由边界条件,1）0时，,无意义！,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,2）=0时，,（续上例）,无意义！,3）时，,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,（续上例）,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,（续上例）,由初始条件：,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,例：两端自由振动的自由杆定解问题：,泛定方程:,边界条件:,初始条件：,弦两端自由,解：由分离变量法,代入泛定方程，整理得,如：磁致伸缩换能器，鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动，研究两端自由杆的自由振动。,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,（续上例）,由边界条件,1）0时，,仅得无意义的解,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,2）=0时，,由,（续上例）,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,3）0时，,（续上例）,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,（续上例）,线性叠加，得到通解,4.1 齐次方程的分离变数法,（一）有界弦的自由振动的定解问题（一维波动方程）,（续上例）,由傅里叶展开,时,时,同理：,4.1 齐次方程的分离变数法,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,细杆热传导问题，初始一端温度为0，另一端为 u0,零的一端温度保持不变，另一端与外界绝热。求细杆温度分布。,泛定方程,边界条件,初始条件,接下来讨论利用分离变量法求解：,4.1 齐次方程的分离变数法,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,常微分方程,令,代入泛定方程：,令,第一步：分离变量：,4.1 齐次方程的分离变数法,由原问题定解条件得到常微分方程定解条件：,第二步：解常微分方程,1、求X(x),分情况讨论：,a）,无意义！,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,c）令，为非零实数,4.1 齐次方程的分离变数法,b）,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,无意义！,4.1 齐次方程的分离变数法,本征值,2、求T(t),3、得到分离变量形式的通解,通解：,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,4.1 齐次方程的分离变数法,第三步：由定解条件确定待定系数,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,分离变量流程图,4.1 齐次方程的分离变数法,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,令,代入方程：,解：,4.1 齐次方程的分离变数法,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,例：求定解问题,4.1 齐次方程的分离变数法,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,(续上例),先求X(x)：,4.1 齐次方程的分离变数法,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,(续上例),4.1 齐次方程的分离变数法,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,(续上例),再求T(t)：,写出通解：,确定系数：,(令),4.1 齐次方程的分离变数法,（二）有限长杆上的热传导定解问题（一维传导方程）,(续上例),由三角函数正交性：,令,代入方程：,令,例：求下定解问题,解：,4.1 齐次方程的分离变数法,先求解X：,4.1 齐次方程的分离变数法,求解T：,写出通解：,4.1 齐次方程的分离变数法,4.1 齐次方程的分离变数法,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,解：,代入方程：,令,由边界条件：,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,先求X:,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,再求Y:,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,写出通解：,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,由边界条件定解：,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,解方程组，得,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,例：求解问题,解：令,则原问题变为：,令,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,代入方程：,解X得：,解Y得：,写出通解：,由边界条件定解：,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,1、直角坐标系下的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,将直角坐标系下拉普拉斯变换到柱坐标系下为：,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,例1、均匀电场空间中，存在接地导体圆柱体，求圆柱体外电位分布u。,在极坐标系下：,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,令,由三角函数周期性，知 为周期为 的周期函数，即,第二步：解方程,第一步：分离变量,4.1 齐次方程的分离变数法,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,不满足周期性要求，排除,当 时，,当 时，,a.先求,4.1 齐次方程的分离变数法,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,b.再求,（欧拉方程）,c.写出通解,4.1 齐次方程的分离变数法,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,c.写出通解,第三步：定解,4.1 齐次方程的分离变数法,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,欧拉方程,例 求下列定解问题,解：隐含条件,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,令：,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,通解为：,思考：,解又为如何？,（三）稳定场问题（二维拉普拉斯方程）,2、圆域内的拉普拉斯问题,4.1 齐次方程的分离变数法,（四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）,4.1 齐次方程的分离变数法,高维混合问题求解基本步骤：,1、时空变量的分离：,2、空间变量的分离：,3、求解固有值问题：,4、求解关于T(t)的常微分方程,5、构造叠加解并求出定解。,例1 求定解问题：,（四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）,4.1 齐次方程的分离变数法,（四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）,4.1 齐次方程的分离变数法,解：,1、时空变量的分离：,代入方程整理后得：,得关于时空的微分方程：,亥姆霍兹方程,（四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）,4.1 齐次方程的分离变数法,（续上例）,2、对方程(2)做空间变量分离,代入方程(2)整理后得：,3.求解固有值问题,（四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）,4.1 齐次方程的分离变数法,（续上例）,分别求解两个本征值问题，得,（四）补充：亥姆霍兹方程（高维混合问题）,4.1 齐次方程的分离变数法,（续上例）,4、求T(t),5、一般解为：,由初值条件，再由多元傅立叶展开得：,（一）傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运方程,回顾：齐次波动方程,的求解结果,本征函数,（一）傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运方程,傅里叶级数法基本思路：,1、将待求函数展开为傅里叶级数形式,为对应齐次方程在齐次边界条件下本征函数,2、将表达式代入方程，求解,令，代入方程,（一）傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运方程,例：求解定界问题,解：由齐次边界条件可知，解得本征函数为,（一）傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运方程,（续上例）,由边界条件：,（一）傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运方程,（续上例）,定解可得：,（一）傅里叶级数法,4.2 非齐次方程和输运方程,（续上例）,（二）冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,冲量定理法只适用于初始条件均取0值的定解问题。,齐次方程,?,（二）冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,齐次化原理，也称冲量定理。,冲量定理1：设 是方程,的解(L表示自变量为x,y,z的常系数线性偏微分算子),则,的解为：,（二）冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,冲量定理2：设 是方程,的解(L表示自变量为x,y,z的常系数线性偏微分算子),则,的解为：,（二）冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,冲量定理法的物理思想：,将非齐次方程中等式右边函数视作持续作用力，求解时将该作用力分离成许许多多“瞬时”作用力的叠加。考察单个“瞬时”作用力作用时段内，由于时间极端，因此在该期间内作用力可视作一冲量，在该时段内，方程可变化为齐次方程（齐次化）。通过求解该齐次方程，求得在单个瞬时时段内的方程解，将该解对时间积分，则可求得方程解。,（二）冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,例：求解定解问题,解：令,由叠加原理，有：,（二）冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,（续上例）,利用分离变量法求解方程（I）,很明显，本征值为，本征函数为,方程解为：,（二）冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,（续上例）,利用冲量定理法求解方程（II）,由冲量定理1，构造方程,边界条件不变,时间变为，值不变,时间变为，值等于函数,（二）冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,（续上例）,利用分离变量法求解：,通解写为：,很明显，本征值为，本征函数为,由定解条件：,（二）冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,（续上例）,（三）输运问题,4.2 非齐次方程和输运方程,例：求解定解问题,解：方程满足冲量定理要求（初始条件为0）用冲量定理法求解。由冲量定理2，构造方程：,（三）输运问题,4.2 非齐次方程和输运方程,（续上例）,利用分离变量法求解：,很明显，本征值为，本征函数为,通解为：,由冲量定理2，,（二）冲量定理法,4.2 非齐次方程和输运方程,（续上例）,4.3 非齐次边界条件的处理,非齐次边界条件定解问题：,必须对非齐次边界定解问题进行处理，才能利用先前所学方法进行求解。,基本思路：选取适当的未知函数进行代换，使新的未知函数的定解问题和边界条件均为齐次的。,4.3 非齐次边界条件的处理,（一）一般处理方法,解：引入线性函数,并令其满足非齐次边界条件，即：,4.3 非齐次边界条件的处理,（一）一般处理方法,(续上例）：,利用叠加原理，令,将上式代入原方程，整理即得：,非齐次方程，可用上节方法进行求解。,4.3 非齐次边界条件的处理,（二）特殊处理方法,例：弦x=0端固定,x=l端受迫做谐振动，弦的初始位移和初始速度都是0，求弦的振动。,解：引入线性函数,并令其满足非齐次边界条件，即：,4.3 非齐次边界条件的处理,（一）一般处理方法,(续上例）：,利用叠加原理，令,将上式代入原方程，整理即得：,因此原问题可视作是两个边值问题叠加：,常微分方程,齐次偏微分方程,4.3 非齐次边界条件的处理,（一）一般处理方法,(续上例）：,问题（I）为常微分方程，求解得：,方程(II)为：,齐次方程,