数学与应用数学毕业论文 矩阵的应用.doc

学科分类号 0701 本科生毕业论文(设计)题目（中文）： 矩阵的应用 （英文）： The Application of Matrix 学生姓名： 学号： 系别： 数学与应用数学专业： 数学与应用数学指导教师： 起止日期： 2011.112012.052012 年 5 月 8 日怀化学院本科毕业论文(设计)诚信声明作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明本声明的法律结果由作者承担本科毕业论文（设计）作者签名：年 月 日目 录摘 要I关键词IAbstractIIKey wordsII1 前言12 矩阵32.1 矩阵的概念32.2 矩阵的结论53 矩阵的应用83.1 矩阵的逆矩阵83.2 矩阵的smith标准形103.3 矩阵的相似对角化123.4 若当标准形143.5 零化多项式、特征多项式和最小多项式的关系20结论22参考文献23致 谢24矩阵的应用摘 要本文讨论矩阵的应用.首先给出了矩阵的逆的两种计算方法及矩阵的smith标准形的三种计算方法,然后利用矩阵的性质、定理得到了一般矩阵的相似对角化、若当标准形的两种求解方法，以及同步求解若当标准形和过渡矩阵的三种方法，最后利用矩阵的性质得到计算一般矩阵的最小多项式和若当标准形的方法，并由此探讨了最小多项式、零化多项式和特征多项式的关系.关键词矩阵；若当标准形；相似对角化；最小多项式The Application of MatrixAbstractThis paper discusses some applications of matrix. Firstly, two calculation methods of inverse matrix as well as three calculation methods of smith normal form about matrix are given in the paper. Secondly, we use properties and theorems of matrix to discuss similarity diagonalization of general matrix, and there are two calculation methods of Jordan canonical form as well as three solutions to synchronously calculate Jordan canonical form. Finally, we use properties of matrix to calculate minimal polynomial and Jordan canonical form of general matrix, and thereby the relations between minimal polynomial, annihilation polynomial and characteristic polynomial are discussed.Key words matrix; Jordan canonical form; Similarity diagonalization; Minimal matrix1 前言在矩阵论中，我们把矩阵定义为数的阵列，即它的元素是数域上的数，统称数字矩阵现在，把数字矩阵加以推广，设是数域上的一个未定元，我们引进矩阵由于的多项式可作加法、减法、乘法三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律；而矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法的定义仅用到其元素的加法、减法、乘法，因此，我们可以同样定义矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法，并且矩阵的这些运算同数字矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法具有相同的运算规律矩阵行列式的定义也仅用到其元素的加法和乘法，因此，我们可以同样定义一个阶矩阵的行列式一般来说，矩阵的行列式是的多项式，矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相同的性质，有了矩阵行列式的概念，可以同样定义矩阵的子式、余子式、代数余子式1.还有矩阵的其它性质和结论可以参考文献2-5，文献6、7研究了矩阵的逆矩阵的求法，文献8研究了矩阵的smith标准形的求法，文献9、10利用矩阵研究了一般矩阵的若当标准形的求法，文献11、12利用矩阵研究了如何同步求解矩阵的若当标准形和过渡矩阵 矩阵的标准形问题不仅在矩阵理论和矩阵计算中有着重要地位，而且在力学、控制理论等学科中也有着广泛的应用通常涉及的矩阵标准形有两种：1.对角矩阵；2.若当标准形一个阶矩阵如果有个线性无关的特征向量，则必相似于对角矩阵，如果的线性无关的特征向量的个数小于，则一定不能和对角矩阵相似这个问题就是我们要讨论的矩阵在相似条件下的若当标准形问题，一个阶矩阵总可以相似于若当矩阵若当矩阵在数值计算中经常采用，利用它不仅容易求出矩阵的方幂，还在矩阵函数、矩阵级数、微分方程等方面有着广泛的应用求矩阵到其若当标准形及过渡矩阵自然成为一个重要性的研究课题，由于过渡矩阵涉及到复杂的计算问题，在众多的包含矩阵理论的著作中，有些只讨论了矩阵的若当标准形而未讨论过渡矩阵的求法，有些给了算法，但较为繁琐，由此可见，为了更全面地掌握矩阵的理论，我们有必要对其进行研究 在本文中，我们侧重的是利用矩阵的性质定理研究矩阵的应用问题：包括求解矩阵的逆矩阵、矩阵的smith标准形，一般矩阵的相似对角化问题，矩阵的若当标准形的求解方法，同步求解一般矩阵的若当标准形和过渡矩阵的方法，探讨最小多项式、零化多项式及特征多项式的关系本文以矩阵的应用为中心点，将主体部分分为三部分，第一章论述是第二章的基础，第三章根据第二章推导出论文的结论 本文从知识的归纳到一些证明题的证明方法和计算题的方法技巧，都可以用来借鉴，无论是考研，还是学习矩阵但是，本文也有待完善，需要添加更多的有关矩阵的应用知识，或者可以将有关矩阵的延伸知识加进去2 矩阵 本节由两部分组成第一部分介绍了矩阵的概念，第二部分介绍了矩阵的性质和定理，重点是了解矩阵的标准形理论，不变因子、行列式因子及初等因子这三个重要的概念2.1 矩阵的概念定义2.11 设是一个数域,是一个文字,作多项式环.一个矩阵,如果它的元素是的多项式,即的元素，就称为矩阵.与数字矩阵类似,对矩阵也可以引入秩、逆矩阵、初等变换、等价关系的定义. 定义2.2 如果矩阵中有一个级子式不为零,而所有级子式(如果有的话)全为零,则称的秩为.零矩阵的秩规定为零. 如是阶数字矩阵,则的秩为. 定义2.3 一个的矩阵称为可逆的,如果有一个的矩阵使,这里是级单位矩阵,其中称为的逆矩阵,记为. 如果阶矩阵可逆,则它的逆矩阵是唯一的,这和数字矩阵是一样的. 定义2.4 下面的三种初等变换叫做矩阵的初等变换:矩阵的两行（列）互换位置;矩阵的某一行(列）乘以非零的常数;矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍,是一个多项式. 与数字矩阵一样,上面三种初等变换对应着三种初等矩阵:;,它们都是可逆初等矩阵. 下面介绍矩阵三个重要的概念,即行列式因子、不变因子、初等因子,它们为我们后面讨论矩阵的相似对角化条件和矩阵的标准形理论做准备. 定义2.5 任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵 (2.1)其中,是首项系数为1的多项式,且.最后化成的这个矩阵就称为的smith标准形2,且是唯一的.在上述标准形中,称为的不变因子. 定义2.6 设矩阵的秩为,对正整数,中必有非零的阶子式.中全部级子式的首项系数为1的最大公因式称为的级行列式因子. 定义2.72 将矩阵的所有不变因子在数域上分解为标准分解式,则在标准分解式中出现的全部不可约因式的方幂（相同的按出现的次数计算）称为的初等因子 特别地,在复数域上,由代数基本定理，的初等因子都是一次因式的方幂 矩阵中几乎涉及高等代数的各个部分,如下面介绍的零化多项式和最小多项式 定义2.83 设为阶矩阵,如果存在多项式使得,则称为的零化多项式 显然，特征多项式是零化多项式 定义2.9 阶矩阵的所有零化多项式中,次数最低且首项系数为1的多项式称为的最小多项式2.2 矩阵的结论 这一节我们主要介绍有关矩阵的一些性质、定理（由于部分是参考文献中的主要结论或者推广，所以没有全部给出证明）, 在熟悉有关矩阵的重要性质及定理的基础上，下一章我们将介绍矩阵的一些应用.定理2.11 一个的矩阵是可逆的充分必要条件为行列式是一个非零的数. 在数字矩阵中,级矩阵可逆的充分必要条件是(或满秩).当矩阵可逆时,必有,即是满秩的.但满秩的矩阵不一定是可逆的,因为满秩矩阵的行列式可以是不恒为零的的多项式,只有当它的行列式为非零的数时,才称为可逆的.性质2.12 行列式因子与不变因子的关系:设是秩为的的矩阵,是的行列式因子,而是的不变因子,则 (2.2)由此性质可知,行列式因子和不变因子是相互确定的.下面给出矩阵相似的几个条件.定理2.21 设是数域上两个矩阵,与相似的充分必要条件是它们的特征矩阵与等价.推论2.11 矩阵与相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子或行列式因子.特殊的，在复数域上，不可约因式只有一次因式,由推论2.1得定理2.3.定理2.31 两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子.下面给出矩阵相似于对角矩阵的条件.定理2.41 阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是A的最小多项式无重根. 定理2.5 复数矩阵的最小多项式就是的最后一个不变因子. 证明设的全部初等因子为其中互不相同,则.另一方面, 由若当定理知=,其中,而.则 定理2.64 矩阵相似于对角矩阵的充分条件为1)的某一个零化多项式无重根;2)特别是的特征多项式无重根.性质2.2 级若当矩阵的全部初等因子为. 由性质2.2可得定理2.7.定理2.7 复数域上的每个级矩阵都与一个若尔当形矩阵相似,这个若尔当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵惟一确定的,称为的若尔当标准形. 定理中被矩阵惟一决定就指的是被的初等因子及初等因子的方幂所惟一决定.3 矩阵的应用这一章利用2.2中的性质、定理讨论矩阵的应用,考研中出现的很多关于矩阵的题目都是涉及到这些性质、定理.3.1 矩阵的逆矩阵本节重点介绍求可逆矩阵的逆矩阵的一种新方法 例1 判断是否可逆，若可逆,求出它的逆矩阵.解 由定理2.1知是可逆的.由求逆矩阵公式知道， 新方法6 设是的可逆矩阵，构造分块矩阵,其中是的单位矩阵,是的矩阵.由得,即,故.例2 用新方法求例1中的逆矩阵.解 . 从例2可见,新方法尽管篇幅大一点,但整个计算过程简洁、自然,因而较之传统方法而言,它是一个行之有效的简便方法.3.2 矩阵的smith标准形 矩阵的标准形是矩阵理论中一项重要而基础的内容,求矩阵的标准形具有很强的灵活性和技巧性.下面我们介绍两种基本的方法:初等变换法和不变因子法. 方法一 初等变换法,即对矩阵进行一系列初等行(列)的变换,使得最后化成的矩阵如定义2.6中2.1的形式. 例3 求的标准形. 解 对进行初等变换 最后一个矩阵即为所求的标准形.方法二8 不变因子法.我们分以下两种类型类型一 利用性质2.1中行列式因子与不变因子的关系2.2求出矩阵的不变因子即可求出矩阵的smith标准形. 例4 求的标准形. 解 由于故.的非零的二阶子式有三个:故.而. 于是的不变因子为:.故的标准形为:. 类型二 利用初等因子和不变因子的关系求smith标准形. 例5 求的标准形. 解 已是对角形,但还不是标准形.此时矩阵的秩为3,且全部初等因子为:.于是矩阵的不变因子为.故标准形为:.3.3 矩阵的相似对角化为了研究矩阵的相似对角化问题，直接处理矩阵的相似关系是比较困难的,本节将利用定理2.4、推论2.1、定理2.5、定理2.7、定理2.10来研究矩阵的相似对角化,使得问题具体化. 例6 设是实矩阵. . 证明彼此相似. 证明 . 这说明与等价,由定理2.2得:. 类似可证明.再由于相似是一种等价关系,得:.从而彼此相似. 例7 证明与相似. 证明与对应的级子式互为转置,因而对应的级子式相等.这样与有相同的各级行列式因子,由推论2.1得:与相似. 例8 判断下列矩阵中,哪些与相似?其中. 解 ,的初等因子为;,的初等因子为，;,的初等因子为;,的初等因子为. 由定理2.3得:仅有. 例9 设复数矩阵的最小多项式为.证明:与对角阵相似. 证明因为.即的最小多项式无重根,定理2.4得:相似于对角阵. 例10 级矩阵称为周期矩阵,如果存在正整数,使,其中为单位矩阵.证明:复数域上的周期矩阵一定可以对角化. 证 由已知条件知,有零化多项式:. 而,即的零化多项式无重根.由定理2.6中的1)得可对角化. 在实数域上的矩阵不一定可对角化,比如,则.但无实特征值. 例11 设,试证明:在复数域上可对角化. 证明计算可得， , 用辗转相除法可得,即的特征多项式无重根.由定理2.6中的2)得相似于对角阵.3.4 若当标准形矩阵的若当标准形理论在数学、力学和计算方法中有广泛的应用.本节将介绍两种方法求解若当标准形:初等因子法;波尔曼法.并且还给出了同步求解若当标准形和过渡矩阵的三种方法:一般方法;行列互逆初等变换法;矩阵初等变换法.首先我们讨论求解若当标准形的两种方法方法一9 初等因子法.由性质2.2和定理2.7,知道了矩阵的初等因子即可求出矩阵的若当标准形. 例12 设,求出的初等因子,并写出的若当标准形. 解 ,则的初等因子为:.由的初等因子知道,的若当标准形为.方法二 波尔曼法.其基本步骤如下:第一步，求出的所有特征值.第二步，对每个不同的特征值和每个求的秩,记为在计算秩时,若对某个,使则对所有,都有第三步，对每个求关于的若当块的阶数和若当块的个数.这里需要说明的是,若求出,则说明有个关于的阶若当块.第四步，写出与相似的若当标准形,它由的每个特征值的个关于的阶若当块的直和组成.下面以例13来说明波尔曼法.例13 求矩阵的若当标准形.解 第一步，求的特征值特征值为:.第二步，求的秩第三步，求若当块的个数和阶数这说明的若当标准形必有1个关于的1阶若当块和1个关于的2阶若当块,它们的直和已是3阶,故不必再求了.所以的若当标准形为.接下来，如何把矩阵到若当标准形的过渡矩阵求出来呢？我们有三种方法方法一11 ：一般方法. 设,的全部根为(互异),其中的重数为,对每个求齐次线性方程组基础解系,若,令,再解方程组,求出个解,记为(的广义特征向量),令,则. 例14 已知,求的若当标准形,并求可逆矩阵,使. 解 ,所以, (二重). 对特征根,求相应的特征向量:解方程组得基础解系. 对特征根,求相应的特征向量:解方程组,得基础解系. 因为,再求广义特征向量,解方程组,得基础解系 .令,则.方法二：行列互逆初等变换法.设为任意阶方阵,先作一个矩阵,对的列施以若干次初等变换,记相应的初等矩阵依次为,在每次(第次)列变换后立即对行施以一次与初等矩阵相对应的初等行变换,使的子块化为若当标准形矩阵,此时的子块即变为过渡矩阵. 例15 我们利用方法二解答例14. 解 所以. 方法三：矩阵初等变换法. 设为任意阶方阵,对进行矩阵初等变换,化为对角矩阵形如,并进而化为的形式,求出,于此同时对单位矩阵进行上述变换中的列变换,当变为时,变成了,令,则可逆,且满足 例16 我们利用方法三解答例14. 解 所以. 方法二与方法三都可以实现矩阵若当标准形及过渡矩阵的同步求解,比方法一要来的简单,特别是方法二,当的阶数不大时,每一步初等变换的选取都不难.这两种方法最后求得的若当标准形,除了若当块的排列次序外是唯一的,但过渡矩阵一般不唯一.3.5 零化多项式、特征多项式和最小多项式的关系本节主要应用定理2.5求矩阵的最小多项式及若当标准形(例17、18),还探讨了有关零化多项式、特征多项式及最小多项式的关系(例19、20). 例17 求的最小多项式 解 对矩阵作初等变换,可得 由于,由定理2.5得:的最小多项式为. 例18 设的特征多项式及最小多项式,试求出的可能的若当标准形.解 首先由假设和定理2.5知道是7阶方阵,且最后一个不变因子为(1)当时,因此的初等因子为,故的若当标准形为 (2)当时,因此的初等因子为,从而的若当标准形为 例19 设矩阵的最小多项式为,是任意多项式.证明.证明“”:若,则是矩阵的零化多项式,设,其中或. 因,若,而,由定义2.9知这与次数的最小性矛盾,故,. “”:若,则. 例20 设是阶矩阵,证明 (1)的特征多项式与最小多项式的根相同; (2)若的特征根互异,则.证明(1)因,其中是的不变因子,且.设是的任一特征根,则,一定存在某一个,而,所以,即的根都是的根.故有相同的根.(2)由(1)和题设,所以.4 结论 矩阵的运用比较广泛，在很多数学分支中都有着广泛的应用，尤其是在高等代数方面的应用显得很重要，虽然矩阵的相关概念比较简单，但是我们在做有关习题的时候发现很多地方都需要灵活转变，所以有关矩阵的内容一直是一些学生不容易领会和掌握的 本文深入总结有关矩阵的一些性质定理，并运用这些性质定理解决了有关矩阵的问题：1.如何计算可逆矩阵的逆矩阵2.怎样计算矩阵的smith标准形3.矩阵的相似对角化的判定4.如何求解矩阵的若当标准形，有哪些方法？以及如何同步求解矩阵的若当标准形和过渡矩阵5.探讨了最小多项式、零化多项式及特征多项式的关系我在研究的过程中，加强了我对矩阵的认识，并且这个工作有利于今后对矩阵的进一步研究.这个过程并不能止于此，我们需要更多地应用矩阵去解决相关的问题参考文献1 北京大学数学系.高等代数M.北京:高等教育出版,2003:328-358.2 徐仲.高等代数导教.导学.导考M.西安:西安工业大学出版社,2006:451-492.3 戴华.矩阵论M.北京:科学出版社,2001:82-110.4 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京:中央民族大学出版社,2005:433-446.5 王树桂.高等代数选讲M.怀化:怀化学院数学与应用数学系,2011:183-199.6 刘红超.分块矩阵在两类矩阵问题中的应用J.株洲师范高等专科学校学报,2005,10(5):37-41.7 甄少明.关于矩阵的逆矩阵的一种新求法J.重庆工学院学报,2003,17(2):140-141.8 戴泽俭,陈侃.矩阵标准形的求法J.巢湖学院学报,2010,12(6):113-115.9 吴昌悫,魏洪增.矩阵理论与方法M.北京:电子工业出版社,2006:50-62.10 方保镕,周继东,李东民.矩阵论M.北京:清华大学出版社,2004:119-149.11 黄金伟.矩阵Jordan标准形及过渡矩阵的同步求解问题J.福建商业高等专科学校学报,2005,8(4):61-63.12 李桃生.若当标准形的理论推导和过渡矩阵的求法J.华中师范大学学 报,1991,25(1):14-16.致 谢 在毕业论文完成之际，我向所有悉心指导过我和热情帮助过我的老师、同学致以最衷心的感谢 首先要感谢我的指导老师谢乐平，本论文从选题、构思到定稿，倾注了谢老师大量的心血，提出了大量宝贵的意见和建议，在论文的撰写过程中起到关键作用深深受益于谢老师的关心、爱护和谆谆教导，在此谨向谢老师表示我最诚挚的敬意和感谢！ 衷心地感谢怀化学院数学系的领导和老师对我的教育和关怀，同时感谢我的同门2008级的同学们给我的关心和帮助！ 四年来,我们朝夕相处，共同进步，感谢你们给予我的所有关心和帮助同窗之谊，我将终生难忘! 最后，我要感谢我的家人对我四年本科学习的理解和支持，正是由于他们的支持和鼓励，我才得以顺利完成学业