函数极值的几种求法毕业论文.doc

存档编号 华北水利水电学院 North China University of Water Resources and Electric Power 毕 业 论 文题目 函数极值的几种求法 Several Methods of Solving the Extremum of Functions学 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学专业 姓 名 学 号 指导教师 完成时间 2012年5月11号 教务处制独立完成与诚信声明本人郑重声明：所提交的毕业设计（论文）是本人在指导教师的指导下，独立工作所取得的成果并撰写完成的，郑重确认没有剽窃、抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为。文中除已经标注引用的内容外，不包含其他人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。毕业设计（论文）作者签名： 指导导师签名： 签字日期： 签字日期：毕业设计（论文）版权使用授权书本人完全了解华北水利水电学院有关保管、使用毕业设计（论文）的规定。特授权华北水利水电学院可以将毕业设计（论文）的全部或部分内容公开和编入有关数据库提供检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段复制、保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交毕业设计（论文）原件或复印件和电子文档（涉密的成果在解密后应遵守此规定）。毕业设计（论文）作者签名： 导师签名：签字日期： 签字日期：目 录摘 要IAbstractII第1章 绪 论11.1研究函数极值的意义11.2极值的概述1第2章 一元函数极值的求解方法22.1 一元函数极值定义22.2 一元函数极值的充分必要条件22.2.1 一元函数极值的必要条件22.2.2 极值的第一充分条件22.2.3 极值的第二充分条件32.2.4 极值的第三充分条件42.3 一元函数极值的求解方法4第3章 二元函数极值的求解方法73.1 二元函数极值定义73.2 二元函数极值的充分必要条件73.2.1 二元函数极值必要条件73.2.2 二元函数极值充分条件83.3二元函数极值的求法83.4条件极值93.4.1 代入法求极值93.4.2 乘数法求极值10第4章 多元函数极值的求解方法124.1 多元函数极值（）定义124.2多元函数极值的充分必要条件124.2.1 梯度124.2.2 矩阵124.2.3 多元函数极值必要条件124.2.4 多元函数极值充分条件134.3 多元函数极值的求法144.3.1多元函数的无条件极值求解144.4多元函数的条件极值求解154.4.1 代入法求极值154.4.2 乘数法求极值164.4.3 矩阵法求极值194.4.4 梯度法求极值244.4.5 二次方程判别式法求极值264.4.6 标准量代换法27结 束 语29致 谢30参 考 文 献31附 录i附录一： 外文文献i附录二： 外文译文ix附录三： 任务书xvii附录四： 开题报告xviii函数极值的几种求法 摘 要函数的极值问题是数学研究中非常重要的问题，是经典微积分最成功的应用，它不仅在许多实际问题中占有重要地位，同时也是研究函数性态的一个重要特征。在工农业生产、经济管理和经济核算中，常常要解决在一定条件下怎么使投入最小，产出最多，效益最高等问题。在生活中也经常会遇到求利润最大化、用料最省、效率最高等问题。这些经济和生活问题通常都可以转化为数学中的函数问题来探讨，进而转化为求函数中最大（小）值的问题，而且函数的最大值、最小值问题与函数的极值有密切联系。本文从一元函数极值的问题进行研究，包括一元函数的极值的定义，一元函数极值存在的充分必要条件，以及一元函数的多种求解方法。依次延伸到二元函数极值的定义，极值存在的充分必要条件和约束条件下二元函数极值的各种求解方法，比如代入法、拉格朗日乘数法。最后再逐步推广到多元函数（）极值定义、极值存在的充分必要条件和约束条件下多元函数极值的各种求解方法。在多元函数极值方面，尤其是条件极值方面，主要研究的函数极值的解题方法有利用代入法求极值、拉格朗日(Lagrange)乘数法求极值、通过雅可比(Jacobi) 矩阵法求条件极值、利用梯度法求极值以及通过二次方程判别式符号法和标准量代换法等初等方法来判别函数的极值问题，本文旨在对函数极值的解法问题作出系统性归纳总结。 关键词：函数极值；多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法Several Methods of Solving the Extremum of FunctionsAbstract Extremum of functions is very important in mathematics research. It is one of the most successful application of classical calculus. Not only does it occupy an important place in many practical problems,but also it is an important characteristic of the property of functions. In industrial and agricultural production, management of the economy and the economic accounting, we often have to solve the problems such as how to use the smallest input to make the most efficient output in given conditions. In our daily life, we often encounter many issues such as how to achieve maximum profit, use the minimum materials and the get maximum efficiency. The above problems can be solved by transforming it to functions in maths, further to maximum or minimum value of functions. And the maximum and minimum value of functions have a close relationship with the extremum of functions. This paper studies on the issue of extreme value of unary function, including the definition of the extremum of unary function, existence condition of the extremum of unary function and various methods of solving unary function, further to the definition of the extremum of the duality function, existence condition of the extremum of duality function and various methods of solving duality function under constraint condition, such as substitution method and Lagrangian multiplier method. At last, I will promote the definition of the extremum of the multivariate function (), existence condition of the extremum of the multivariate function and various methods of solving the multivariate function under constraint condition. In the extremum of multivariate function, especially in the conditional extremum, to get the extremum of the multivariate function, this paper mainly adopts the following ways: substitution method, Lagrangian multiplier, Jacobi matrix, gradient method, quadratic equations discriminant symbol method and standard substitution method etc. This paper aims to make systemic summary of the extremum of functions.Key Words: the extremum of functions; the multivariate function; the conditional extremum; Lagrangian multiplier method; gradient method.第1章 绪 论1.1研究函数极值的意义在现实科学生产实际中，存在着很多极值问题需要去解决，函数的极值一直是数学研究的重要内容之一，由于它的应用广泛，加之函数本身变化纷繁，所以人们对其方法的研究较多，像代入法，梯度法，利用矩阵解决函数极值，利用乘数法解决函数的极值以及其他多种方法判别极值是否存在等等。这些诸多理论与实际有机的结合起来，这不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，比如在工农业生产、经济管理和经济核算中，解决在一定条件下怎么使投入最小，产出最多，效益最高等问题。在生活中也经常会求利润最大化、用料最省、效率最高等问题。这些算法的提出与改进，使得许多问题很便利的得以解决，具有非常重要的现实意义。1.2极值的概述如果一个函数在一点的某一邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。极值的概念来自数学应用中的最大值与最小值问题。其定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定有它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果最大值或最小值不是边界点，那么就一定是内点，因而是极值点。函数极值涉及的函数量比较多，尤其是以多元函数为主，因此我们在求解函数极值的过程中经常会遇到某些形式上比较复杂的函数的极值问题，同时我们在解题的过程当中也常常会遇到一些具有条件限制的多元函数极值的求解，在解这种条件极值的问题时我们必须考虑其限制条件，那么对于我们而言，什么时候什么地方以及如何用这些限制条件就成了我们所关心的问题。综上可知，我们对函数极值，不管是一元函数极值，还是二元或多元函数极值的条件极值与无条件极值的求解方法做一个比较全面的了解是相当重要的。第2章 一元函数极值的求解方法2.1 一元函数极值定义定义1设函数在的某个邻域有定义，对于该邻域内任一异于的点，如果对该邻域的所有的点,(1)都有，则称是函数的一个极大值，点为函数的一个极大值点;(2)都有，则称是函数的一个极小值，点为函数的一个极小值点.极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.2.2 一元函数极值的充分必要条件函数的极值不仅仅在实际问题中占有非常重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征.2.2.1 一元函数极值的必要条件费马定理1告诉我们，若函数在点可导，且为的极值点，则.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是. 下面讨论充分条件.2.2.2 极值的第一充分条件定理1设在点处连续，在某一邻域内可导.若当时，当时，则函数在点取得极小值.若当时，当时，则函数在点 取得极大值.如果在点的邻域内，不变号，则函数在点没有极值，即不是 的极值点.证：由单调函数的增减性充要条件，在区间I上可导，在I上增（减）的充要条件是则对于：在内递减，在内递增，又由在处连续，故对任意，恒有即在处取得极小值.同理，对于，在处取得极大值；对于，由于在点的邻域内 不变号，故对任意，不能恒有（或），即不能判定在处取得极小值（或极大值），也就是说函数在点没有极值， 不是的极值点.若函数是二阶可导函数，则有如下班别极值定理.2.2.3 极值的第二充分条件定理22 设在的某一邻域内一阶可导，在处二阶可导，且,.若，则函数在点取得极大值.若，则函数在点取得极小值.证：由条件，可得在处的二阶泰勒公式由于，因此 (1)又因，故存在正数，当时，与同号.所以，当，(1)式取负值，从而对任意有即在处取极大值.同样对，可得在处取极小值.对于应用二阶导数无法判断的问题，可借助更高阶的导数来判断.2.2.4 极值的第三充分条件定理32设在的某一邻域内存在直到阶导函数，在处阶可导，且，则当为偶数时，函数在点取到极值，且当时取极大值，时取极小值.当为奇数时，函数在点不取极值. 2.3 一元函数极值的求解方法一元函数极值的求解步骤3如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出，并在定义域内求的全部驻点和不可导点（可能极值点）；（3）对于驻点可利用定理l或2判定，考查导函数在驻点左右邻近的符号，确定是否是函数的极值点，如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；（4）求出各极值点的函数值，得到函数的极值.例1 求的极值点和极值解：易得的定义域为，在上连续，且当时，有显而易见，为的稳定点，为的不可导点.这两点是否是极值点，根据定理1 ，现列表如下（表中表示递增，表示递减）：0（0,1）1+不存在0+03则由上表可见：点为的极大值点，极大值为;点为的极小值点，极大值为.例2 求函数的极值解 ：易得的定义域为，在上连续，有解，得稳定点，又 因此不是函数的极值点， 由定理2可知，是函数的极大值点故函数的极大值为，无极小值.例3 求函数的极值4解：，解得是函数的三个稳定点.函数的二阶导函数为则，由定理3可知，在时取得极小值其极小值为：函数的三阶导函数为则，.由于是奇数，有定理3可知，在不取极值函数的四阶导函数为则，是偶数，有定理3可知，在取极大值综上所述，可知函数为极大值为极小值第3章 二元函数极值的求解方法3.1 二元函数极值定义定义2设二元函数在点的某个邻域内有定义,对该邻域内任一异于的点, (1)如果,则称是函数的极大值，点为函数的一个极大值点;(2)如果,则称是函数的极小值，点为函数的一个极小值点.3.2 二元函数极值的充分必要条件3.2.1 二元函数极值必要条件 定理1设函数在点具有偏导数, 且在点处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 证：不妨设处有极大值，的某邻域内任何都有，故当，有则一元函数处有极大值，必有类似地，可证与一元函数的情形类似，对于二元函数甚至多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.备注：具有偏导数的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点.3.2.2 二元函数极值充分条件定理25 设函数在点的某邻域内连续且有直到二阶的连续偏导数，又令则在处是否取得极值的条件如下: (1) 当时，函数在处有极值，且当时有极小值；时有极大值；(2) 当时，函数在处没有极值;(3) 当时，函数在处可能有极值，也可能没有极值.在此应注意的几个问题：(1)对于二元函数,在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用； (2)时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；(3)如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑. 3.3二元函数极值的求法根据定理1与定理2，如果函数具有二阶连续偏导数，则求的极值的一般步骤如下：（1）解方程组 求出的所有驻点；（2）求出函数每一个驻点的二阶偏导数，确定各驻点处A、B、C的值，并根据的符号判定驻点是否为极值点.（3）最后求出函数在极值点处的极值. 例4 求函数的极值解：， 解方程组： 得驻点为：(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2). 令 则在点(1,0)处，且 为极小值 在点(1,2)处，不是函数的极值在点(-3,0)处，不是函数的极值在点(-3,2)处，且为极大值 综上所述，函数极大值为，极小值为3.4条件极值前面所讨论的二元函数极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但是在实际问题过程中，我们常会遇到除对函数的自变量有要求外，还有附加其他条件的的极值问题. 这样我们把对自变量有附加条件的极值称为条件极值.3.4.1 代入法求极值在约束条件中，如果能解出，即，将它代入中，那么，这就把就二元函数在约束条件的极值问题转化为求一元函数的极值问题.6例5 求在约束条件的极值解：由约束条件得，将其带入到中，得 令，解得又，且当时，所以，为函数的极大值点，极大值为注意：使用代入法时，减少了函数变量，在判别极值过程中带来了方便，但是有时约束条件不容易将表示成的函数形式（或者表示成的函数形式）.这样情况下在求条件极值时，使用代入法就显得比较困难,有时还有可能会出现遗失可能极值点7.这样的情况下，则通常采用乘数法来求函数的极值.3.4.2 乘数法求极值设二元函数和在区域内有一阶连续偏导数，则求在内满足条件的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数（其中为某一常数）的无条件极值问题.求函数在条件的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1) 构造拉格朗日函数 其中为某一常数;(2) 由方程组解出, 其中就是所求条件极值的可能的极值点.注8 ：乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.例6 求函数在条件下的极值.解：由乘数法，设函数为解方程组 解得 得驻点 又 所以 故 是极小值点.极小值为 第4章 多元函数极值的求解方法4.1 多元函数极值（）定义定义3 设多元函数在点的某邻域内有定义,对于该邻域内任何点,成立不等式 (或),则说函数 在处取极大值(或极小值),点称为函数的极值点.4.2多元函数极值的充分必要条件4.2.1 梯度定义4 设n元函数在点具有偏导数，则称向量为函数在点的梯度，记作,即 4.2.2 矩阵 定义5 设n元函数在点点具有二阶偏导数，则称矩阵为函数在点的矩阵，若二阶偏导数连续，则是实对称矩阵.4.2.3 多元函数极值必要条件定理1设元函数在点存在偏导数，且在该点取得极值，则，即.（满足的点称为元函数的驻点） 证：元函数在点取得极值,令 分别等于，即可得一元函数在点处取得极值，于是有，同理，因此，4.2.4 多元函数极值充分条件定理 29 设多元函数 在 的某邻域内存在一阶及二阶连续偏导数, 又则:（1） 当是正定矩阵时, 函数在点取得极小值;（2） 当是负定矩阵时, 函数在点取得极大值;（3）当是非定号阵时，函数在点 不取极值证:考虑函数在 点的展开式: 因为, 所以, .因此, 函数在点是否取得极值完全取决于二次型 的符号.如果二次型是正定二次型(是正定矩阵) , 即, 则在足够小时, , 在处取极小值; 同样, 如果二次型 是负定二次型(是负定矩阵) , 即，则在足够小时, 有, 在处取极大值.94.3 多元函数极值的求法 在前面所讨论二元函数极值问题的求解方法时，提到了二元函数的极值问题分为无条件极值和条件极值两大类，同样在多元函数（）中也存在着无条件极值和条件极值两类极值问题.接下来我将对多元函数无条件极值和条件极值问题做探讨.4.3.1多元函数的无条件极值求解（1）求出函数的驻点，根据极值存在的必要条件，解方程组 解得方程组的解即为函数的驻点. （2）需要考虑一阶偏导数不存在的点.（3）对每一个可能的极值点进行检验.根据极值存在的充分条件，计算在点的矩阵， （4）再根据极值存在的充分条件判定方法，判定是否为极值点，进而并求出函数的极值.10例7求函数的极值解：，解方程组：， 解得驻点为又，则矩阵，显然其各阶顺序主子式全都大于零，则是正定矩阵，故在取得极小值，极小值为4.4多元函数的条件极值求解4.4.1 代入法求极值在前面的二元函数条件极值的求解方法中，已经提到了代入法和乘数法，这两种方法不仅仅适用于二元函数的条件极值求解方法，而且可以推广到多元函数（）的条件极值求解。代入直接求解由等式条件所构成的方程组消去问题中的某些变量，将原问题转化为无条件极值问题11从另外一种形式上讲，代入法就是采用降维的原理将多元函数的条件极值问题转化为无条件极值的函数极值问题.例8求函数在条件下的极值.解：由解得，将上式代入函数，得解方程组 ， 解得驻点又， 在点处，则，不是极值点在点处，则，且为极小值点综上所述，函数在点处有极小值，极小值为.4.4.2 乘数法求极值在求解二元函数条件极值的方法同样也适用于多元函数（）条件极值的求解，通过构造拉格朗日函数，解出相对应的解，对解出的结果进行判断，从而判定多元函数条件极值的极值。例912 求表面积为而体积最大的长方体的体积。 解：设长方体的三棱长为，则原问题就转化为求在条件下长方体体积的最大值，构造拉格朗日函数求其对的偏导数，有，解方程组由于都不为0，解得这是唯一可能的极值点。由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。也就是说，表面积为的长方体中，以棱长为的正方体体积最大，最大体积。乘数法不仅仅适用于单个约束条件下的条件极值求解，同样也可以适用于多个约束性条件下的函数极值求解。考虑多元函数在个约束条件 下的极值。引入函数式中为待定函数，把当作个变量和的无条件函数，对这些变量求一阶偏导数，得驻点所要满足的方程如下：从上述方程中解得驻点，即可能极值点。利用上述方法只是求出驻点，还需要进一步判断。若函数在点处取得极值，则在条件下在点处也取得极值，且同取极大值和极小值。判定准则（正定判别法）：由多元函数极值的充分必要条件可知，设为的极值点，令满足式。记矩阵则有（1）若正定，则在条件下在点取得极小值；（2）若负定，则在条件下在点取得极大值；（3）若不定，则在条件下在点不取极值。例10 抛物面被平面截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长和最短距离 解：这个问题的实质是求函数在约束条件 与 下的最大值和最小值问题，应用乘数法，令 求其对的偏导数，有，解方程组 ，得函数的两个驻点因为函数 在有界闭集 上连续，必有最大值和最小值，而求得的稳定点又恰是两个，所以它们一个是最大点，另一个是最小。应用正定判别法：，对于，有显然矩阵式正定矩阵，是函数的极小值点，其极小值为.同理对于可得，是函数的极大值点，其极大值为.即这个椭圆到坐标原点的最长和最短距离分别为和4.4.3 Jacobi矩阵法求极值设方程 (1)在某邻域内满足隐函数存在定理的所有条件,它确定的隐函数为,又设约束方程组为 (2)其中, 函数在上述邻域内具有连续偏导数, 且彼此独立.现在要求方程(1)给出的目标函数在约束方程组(2)下的条件极值.利用拉格朗日乘数法, 设拉格朗日函数则目标函数具有条件极值的必要条件是: (3)有解.这就是说,若目标函数在点取得条件极值, 则 满足方程组(3).若方程组(3)有解,将代入(3)的前个方程的偏导函数中, 并用、表示点处的各偏导数值, 并以为未知数构造线性方程组: (4)显然方程组(4)有非零解,故方程组(4)的系数矩阵的秩, 其中由此可知方程组(3)的前个方程的所有解对应的函数矩阵也满足. 因此矩阵A的后列元素对应的函数矩阵是函数对于一切自变量的偏导数所组成的雅可比矩阵的转置矩阵,由函数的彼此独立性知,故所以, 目标函数具有条件极值的必要条件是.将函数矩阵A 看作是在所讨论的某邻域内某点处的各偏导数所组成的数值矩阵, 进行如下初等变换: 将A的第1列乘以加到第2列; 将A的第1列乘以加到第3列,直至将A的第1列乘以加到第+1列,可得与A等价的矩阵 , 其中由隐函数存在定理知, 对方程所确定的隐函数, 有:故再将的第1列乘以得矩阵故, 且,因为函数矩阵的秩为, 故中必有一个m阶子式不恒为零. 不失一般性，可设的右上角的阶子式,其中而且中所有包含的个+1阶的加边行列式都等于零, 其中, . (5)由此可知13, 若由方程(1)所确定的目标函数在点取得满足约束方程组(2)的条件极值, 则点必满足方程组(5) .综合以上, 可得求方程(1)所确定的目标函数满足约束方程组(2)的条件极值的如下方法14: 选定不恒为零的阶子式D,写出方程组(5),即, ; 解方程组(5)与方程组(2)及方程(1)的联立方程组; 对解出的可能的条件极值点加以判断. 例11 求表面积为而体积最大的长方体的体积。解：设长方体的三棱长为，则长方体的体积为，原问题就转化为求方程所给处的目标函数在约束条件下长方体体积的条件极值，由与，可得解联立方程组得方程组的解为由实际意义及问题本身可知其极大值一定存在，也即其最大值，所以点就是原方程的最大极值点。也就是说，表面积为的长方体中，以棱长为的正方体体积最大，最大体积。4.4.4 梯度法求极值多元函数的条件极值也可以利用梯度法15求目标函数在条件函数（）组限制下的的极值。函数在点处的梯度向量，；设为个条件相交部分的方程，其中是一些固定的常数，这样我们就可以把多个条件转化了为一个条件，而曲面在点处的法向量为:，其中；设曲面在点处的切平面上的一个切向量为：，则有.然后令，可以得到一个切向量，如令，则，消去，于是得到切平面上的一个切向量，类似可以得到另外的个向量，;把这个向量与作内积并令它们为0，得到个方程，通过解该方程组以及个极值条件，我们就可以得到极值点的坐标。例1216 已知抛物面被平面截成一个椭圆，求原点到这个椭圆的的最长和最短距离。解：由例10可知，这个问题的实质是求目标函数在约束条件 与 下的最大值和最小值问题，有题意可得，设.则曲面在点的法向量为。又曲面在点的切平面上有两个向量，和，把这两个向量与作内积，使其为0；则可得到下列方程组：解方程组：解得其函数的驻点为，；由题意知，函数在有界闭集上连续，则函数必有最大值和最小值，而求得的稳定点又恰是两个，所以它们一个是极大值点，另一个是极小值点。又，则原点到这个椭圆的的最长和最短距离分别为和4.4.5 二次方程判别式法求极值二次方程判别式法17在初等数学中的应用很广泛，在众多的期刊与学术报告中都提到其的应用。根据判别式的正负关系从而判定根的是否存在性。同样在函数极值的应用中我们也可以通过变换构造二次函数的不等式，并依据根的存在性对函数极值的大小做出相应的判定。例13 若,试求的极值.解: 由得,代入得整理得： 则有: 即 解关于的二次不等式,得: 显然,求函数的极值, 相当于求 或 的极值.由式得 关于的二次方程要有实数解,必须, 即 解此关于的二次不等式,得.即把代入得：,再把，代入,得,最后把，代入，得.所以,当,时,函数达到极大值3.同理可得,当,时,函数达到极小值-3.4.4.6标准量代换法所谓标准量代换法17，就是在求某些多个变量的条件极值时，我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量，称其余各量为比较量，然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了. 如果给定条件是几个变量之和的形式，一般设这几个量的算术平均数为标准量.例14 设,求的最小值.解：取为标准量, 令,则 (为任意实数)，从而有(等号当且仅当即时成立). 最小值为结 束 语本文通过从一元函数极值的问题开始进行研究，包括一元函数的极值多种求解方法，其次为二元函数的常用求解，再逐步推广到多元函数极值的各种求解方法。通过对多元函数条件极值的各种解法及应用的介绍，我们知道对于不同的多元函数其极值有不同的解法，针对不同的题目要求，我们应该选择一种既简便易行又节省时间的方法，其中拉格朗日乘数法是一种通用的方法，也是最常用的方法。通过本文知道，除了拉格朗日乘数法、雅可比矩阵法和梯度法外，其余条件极值解法均为初等数学的方法，掌握好初等数学的方法求解多元函数条件极值有时候会更简单，但其使用的过程中具有一定的技巧性，也有一定的局限性，需要根据具体情况具体分析。 当然，仅仅一个学期的论文设计，不足之处在所难免，还希望各位老师指正批评。致 谢四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，内心充满了无限的感激之情。本次学位论文是在我的导师杨建伟老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。杨老师严肃的科学态度，严谨的治学精神，使我受益匪浅。在此我要向杨老师表示我最诚挚的谢意和最崇高的敬意！同时也要感谢参考文献中的作者们，因为你们的贡献，让我顺利的完成我的论文。感谢母校为我提供的良好学习环境，使我能够在此专心学习，陶冶情操。感谢王婧老师在四年大学生活中对我的照顾与关心，感谢祁萌书记和赵娟老师对我平时的指导以及对我毕业择业时的建议，同时也要感谢陪我一起走过大学四年的同学与朋友，因为你们，我在大学四年经历了许许多多的学生工作经历，让我受益很多。最后，我更要感谢我的父母，感谢他们对我的养育之恩，更感谢他们对我学业的支持与默默奉献。最后我要用我最真诚的心意说声：“感谢你们！”参 考 文 献1薛婷.关于一元函数极值求法的几点思考J.考试周刊,2011,(52):84-85.2华东师范大学数学系.数学分析(第三版)上册M.高等教育出版社,2001.6.142-144.3万淑香.关于一元函数极值问题的研究J.邢台学院学报,2006.12:97-98.4陈慧珍.关于一元函数的极值问题J.武汉交通管理干部学院学报,1994.3:110-115.5马丽君.多元函数极值的充分条件J.科技信息,2010,(24):120.6申兰珍.例说多元函数条件极值求法中的三个“陷阱”J.数学技术应用科学,2006:15-16.7王莉萍.关于一元和多元函数极值的统一性研究J.焦作师范高等专科学校学报,2007(12):80-82.8陈允杰.多元函数无条件极值充分条件推广形式J.气象教育与科技,2008,3.(2),14-18.9龙莉,黄玉洁.多