函数项级数一致收敛的几种判定及相应推广毕业论文.doc

函数项级数一致收敛的几种判定及相应推广摘 要函数项级数一致收敛的判别法是数学中的一个重点也是一个难点，一个函数项级数是收敛还是发散，数学上建立了一系列的判别法可以来进行判别.我们比较熟悉的判别法有：柯西（Cauchy）一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法（M判别法）、阿贝耳(Abel)判别法、狄利克雷(Dirichlet)判别法、积分判别法、还有更为精细的狄尼（Dini）定理、确界判别法、数列判别法等等.这些判别法虽然对我们研究函数项级数一致收敛的问题上带来了很大的方便，但是对于更深层次的研究函数项级数一致收敛仍然是不够的，因此函数项级数判别法推广的研究也是研究函数可微性至关重要的一部分.本文将分为三个部分研究：第一个部分主要介绍函数项级数一致收敛的相关概念；第二个部分介绍柯西（Cauchy）一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法（M判别法）、阿贝耳(Abel)判别法、狄利克雷(Dirichlet)判别法、积分判别法的定理及相应的详细证明，最后给出典型例题对这几种判别法的简单应用，又简单介绍了狄尼（Dini）定理、确界判别法的定理；第三个部分就是简单介绍以上几种判别法的相应的推广，主要包括判别法推广的定理、定理的证明及在解题中的应用.其中定理3.4的结论与课本内容相符，但条件有所减弱,通过引入有界变差的定义从而得到了与课本内容相一致的结论.关键词：函数项级数；一致收敛；判别及推广AbstractJudging method of uniform convergence of the series of functional is a key point as well as a difficult point in mathematics .A series criterion is established in mathematics to judge whether a series of a function is convergent or divergent. We are more familiar with criterions such as Cauchy (Cauchy) uniform convergence criterion ，Weierstrass Criterion (M Criterion), Abel (Abel) Criterion, Dirichlet (Dirichlet) Criterion, points Criterion, and more subtle Dini(Dini)theorem, Supremum Criterion, Criterion Series and so on .Although these methods to study about the approximate convergence of series of functions is a big issue of convenience for us , it is still not enough for a deeper study of the function of approximate convergence. So the research about the promotion of discriminant function series is a critical part for exploring differentiability of function.Therefore ,this paper will focus on three parts to research: the first part focuses on related concepts of the approximate convergence of series of functions; the second part introduces the Cauchy (Cauchy) uniform convergence criterion、Weierstrass Criterion (M Criterion), Abel (Abel) Criterion, Dirichlet (Dirichlet) Criterion, theorem of integration criterion and the corresponding detailed proof ;the third part simply introduces the corresponding expansion of above-mentioned criterions, including theorem of the promotion criterion as well as its proof and the application in the title. The conclusions in 3.4 correspond with the textbooks contents, but the conditions become a little weaker. By introducing the definition of bounded variables, we get the same conclusions with contents of the textbook.Keywords: Series of functions; Uniform convergence;Discrimination and promote目 录摘 要IAbstractII 引言111 研究现状112 本文决所要解的问题.113 本文结构及所做的工作12 函数项级数一致收敛的判别法221 预备知识222 函数项级数的柯西判别法223 函数项级数的M判别法324 函数项级数的阿贝耳判别法325 函数项级数狄利克雷判别法426 函数项级数的柯西积分判别法527函数项级数其他判别法83 函数项级数判别法的推广1131 函数项级数柯西判别法的推广1132 函数项级数M判别定理的推广1633 函数项级数阿贝尔判别法的推广1834 函数项级数柯西积分判别法的推广1935 函数项级数优级数判别法的推广214总结与展望23参考文献24致 谢25 引言11 研究现状函数项级数判别法在数学、生活和科技领域应用非常广泛，人们对其的研究也取得了累累硕果。2009年像金玮在甘肃联合大学学报：自然科学版发表文章函数项级数一致收敛的判别法；2003关冬月在内蒙古农业大学学报发表文章关于一致收敛性的几个问题；1996皱泽民在关于函数项级数一致收敛M判别法的两个推论及其运用文章中就M判别法进行了推广，如此等等.它们的从不同角度对函数项级数一致收敛问题进行研究，使函数项级数一致收敛的研究更加全面、更加深入，不仅丰富了其理论,同时还具有很高的应用价值.12 本文决所要解的问题本论文欲在前人研究的基础上，解决函数项级数一致收敛的几种判定方法和进一步探讨函数项级数判别法推广的问题，力争探索出函数项级数推广的一般方法，及拓展函数项级数判别法应用的领域，希望有所突破，以便更好地指导实践,在今后的学习研究中以便更好的完善函数项级数一致收敛的判定方法13 本文结构及所做的工作本文由函数项列一致收敛的定义出发，仿照函数列一致收敛的判别法给出了函数项级数一致收敛的几个重要的判别法：柯西（Cauchy）一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法（M判别法）、阿贝耳(Abel)判别法、狄利克雷(Dirichlet)判别法、积分判别法、还有更为精细的狄尼（Dini）定理、确界判别法、数列判别法等，又简单介绍了以上几种判别法的推广.其结构共分为摘要、引言、函数项级数一致收敛的判别法、函数项级数一致收敛判别法的推广、总结与展望、参考文献及致谢共七个部分.本文对函数项级数一致收敛判别法问题进行了系统的研究，力争探索出函数项级数推广的一般方法，及拓展函数项级数判别法应用的领域，希望有所突破，以便更好地指导实践.2 函数项级数一致收敛的判别法21 预备知识设是定义在数集上的一个函数列，表达式 ， （1）成为定义在上的函数项级数，简记为或称 ，为函数项级数（1）的部分和函列定义1 设是函数项级数的部分和函数列.若在数集上一致收敛于函数，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和来确定的，所以由前段中有关函数列一致收敛的定理都可推出相应的有关函数项级数的定理22 函数项级数的柯西判别法定理2.2 (一致收敛的柯西准则) 函数项级数在数集上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某正整数，使得当时，对一切和一切正整数，都有 或 此定理中当时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件23 函数项级数的M判别法定理2.3 （魏尔斯特拉斯判别法） 设函数项级数定义在数集上，为收敛的数项级数，若对一切，有 , （2）则函数项级数在上一致收敛证 假设正项级数收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数，存在某正整数，使得当及对任何正整数，有又由（2）对一切有根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数在上一致收敛例2.1 函数项级数 , 在( , ) 上一致收敛，因为对一切( , )有 ，而正项级数是收敛的.定理2也称为判别法或优级数列判别法.下面讨论定义在区间上 （3）的函数项级数的一致收敛判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝耳分部求和公式24 函数项级数的阿贝耳判别法定理2.4 （1）在区间I上一致收敛； （2）对于每一个是单调的； （3） 在上一致有界，即对一切和正整数，存在正数,使得 .证明 由（1），任给 0，存在某正数，使得当即对任意正整数， 对一切，有 又由（2），（3）及阿贝耳引理得到 （+2） .25 函数项级数狄利克雷判别法定理2.5 设（1）的部分和函数在上一致有界；（2）对于每一个是单调的；（3）在上，则（3）在上收敛证明 证法与定理2项仿.由（1），存在正数,对一切. 因此当为任何整数时， = 对于任何一个（2）及阿贝耳引理，得到 由（3），对任给的0，正数，当时，对一切 所以 于是由一致收敛的柯西准则，级数（3）在上一致收敛 例2.2 函数项级数在上一致收敛因为记 时，由阿贝耳判别法（定理3）就得能到结果例2.3 若数列单调且收敛于零，则级数(4)在上一致收敛证明 在上有所以级数的部分和函数列在上一致有界，于是令 则由狄利克雷判别法可得级数在上一致收敛 对于例2.3中的级数（4），只要单调且收敛于零，那么级数（4）在不包含的任何闭区间上都一致收敛26 函数项级数的柯西积分判别法正项级数积分判别法的回顾：定理2.6.1 设为上的非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛同时发散例2.4 讨论级数的敛散性解 首先研究反常积分的敛散性,由于=,当时收敛,当时发散.根据定理2.5.1知级数在时收敛,当时发散由此可见,以定理2.5.1为依据,利用积分的便利条件可以判断某些正项级数的敛散性函数项级数一致收敛的积分判别法仿照定理2.5.1我们可以给出函数项级数一致收敛的积分判别法如下：定理2.6.2设为区域上的非负函数.如果在区间上关于为单调减函数,那么函数项级数与含参变量反常积分在区间上具有相同的一致性为了证明定理6我们首先给出文献中的以下两个定理：定理2.6.3(函数项级数一致收敛的柯西准则)函数项级数在数集上一致收敛的充要条件:对任意给定的正数,总存在某一实数,使得当时,对一切和一切正整数,都有定理2.6.4 (含参量反常积分一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分在上一致收敛的充要条件:对任意给定的正数,总存在某一实数,使得当时,对一切,都有定理2.6.2的证明由假设为区域上的非负函数,并且关于为上的减函数,对区间上任意固定的以及任意的自然数,我们有,数学分 (1)(1)若含参量反常积分在区间上一致收敛,则由定理2可得,对任意给定的正数,总存在某一实数,使得当时,对一切和一切正整数,都有由(1),对一切有由定理2.6.2可知:函数项级数在区间上一致收敛(2)若函数项级数在区间上一致收敛,由定理7可得:对任意给定的正数,总存在某一正数,使得当时,对一切和一切正整数,都有而对任意,令(这样的正整数和总是存在的)，由（1），对一切有含参量反常积分在区间上一致收敛例2.5 设，证明含参量积分在上一致收敛证明 令，易见，对每个，为上的增函数，固有又当时，不等式，所以以收敛级数为的优级数，推得在上一致收敛.另外，对任意 ，有并且对任意固定的，即在区间上的减函数，因此含参量积分在上一致收敛27函数项级数其他判别法另外，在解决函数项级数一致收敛时我们还会用到其他一些判别法，比如：（1） 余部准则定理2.7.1 设，.的充要条件是（5）证明 必要性 已知 一致收敛于，由定义，当时有根据上确界定义，便由即（5）式成立充分性 由条件（1），当，因而有由于这里的只与有关，因此一致收敛于定理2.7.2 设，那么，在上一致收敛于的充要条件是习惯上把定理2.7.1与定理2.7.2叫做余部准则（2） 优级数判别法定理2.7.3 设，存在收敛的级数，使得对一切，和，都有（3） Dini判别法定理2.7.4若函数项级数的每一项（或充分大的项）为有界闭区间上非负连续函数，又已知级数的和函数也在上连续，则级数在上一致收敛（4） 上确界判别法定理2.7.5 若函数列在数集上一致收敛于的充分条件是在应用以上判别法解决函数项级数一致收敛的问题时应注意：l Cauchy一致收敛准则是充分条件，但应用时往往需要复杂的技巧；l Weierstrass判别法只是对绝对一致收敛的情况有效，而且可以举例说明，存在绝对一致收敛的函数项级数的例子，使得Weierstrass判别法失效；但由于它将问题归结为正项级数的收敛判别，使用方便，因此有广泛应用l Abel判别法和Dirichlet判别法都是函数项级数一致收敛的充分必要条件，其证明与广义积分和数项级数的同名判别类似l 在数项级数中没有对应物的是基于Dini定理的Dini判别法，当然Dini判别法对条件的要求很高，但它仍在许多问题中有效l 在讨论函数项级数的一致收敛性时比较容易的一类情况是能够得到其部分和函数列的紧凑表达式，这时问题就转换成函数列的一致收敛问题，就可以用上确界判别法解决问题：（1）这个判别法与函数项级数Weierstrass判别法不一样，并无直接关系，前者是充分必要条件，后者是充分条件（2）由于上确界判别法是充分必要条件，因此往往能解决不一致收敛的判别问题，特别是还能得到以下的对角线判别法：如果存在数列，使得条件不满足，则在上不一致收敛于l 此外，在一致收敛下保证和函数或极限函数具有某种性质的一系列命题的逆否命题，也往往可以用来判定非一致收敛性，最常用的逆否命题：若函数项级数（或函数列）的每一项在区间上处处连续，又已知和函数（或极限函数）在上不是处处连续，则级数（或函数列）在上不一致收敛3 函数项级数判别法的推广31 函数项级数柯西判别法的推广柯西一致收敛准则是我们判别函数项级数一致收敛的一个最基本准则.下面应用这个准则，仿照教材中正项级数判别法，对相应的一致收敛的判别方法加以推广研究.命题 函数级数在a ,b上一致收敛，对，有，且在上连续，则在上也一致收敛证明 因为在上一致收敛，可得及有又，有，所以，在上连续，故有界即有由极限的不等式性质可得有即，进而有在上一致收敛命题2 设有，（1） 若，则函数项级数在上一致收敛（2） 若，则函数项级数在上非一致收敛证明（1）因为 ，所以对有 ， 又，有；由极限保号性当有所以，对有所以，有 所以取及有，因此 在上一致收敛（2）的证明过程与（1）类似，在此省去其证明过程命题3 设，有，（1） 若，则在上一致收敛，（2） 若，则在上非一致收敛证明（1）因为，所以对 ，有，又因为，由极限的不等式性质：，有不妨设，对任意自然数有：所以，因而对任意自然数，=.因为，所以有，所以取得有，因而函数级数在上一致收敛（2）当时，有，由极限不等式性质，有故因此在上非一致收敛.于0，即在上非一致收敛命题4 若，有，若，则函数项级数在上一致收敛 证明 因为，所以对 ，又因为，由极限保号性，即所以 因为 所以收敛，判别法，则函数项级数在上一致收敛命题5 设函数项级数 ，令则：（1） 若时，在上一致收敛（2） 若时，在上非一致收敛证明（1）当时，取，则存在自然数有当时，有，而，当时收敛，故由判别法知在上一致收敛（2）当时，存在自然数，当时，则由上确界定义，故级数不收敛 ，所以在上非一致收敛由命题5所证明可知，上述四个命题中的求界可放在条件中，如命题4亦可改为：若，则当时，在上一致收敛.由上述命题，我们很容易得到一些级数的一致收敛性例3.1 数项级数 在内一致收敛证明 设，所以由命题3知，函数项级数在内一致收敛，函数级数在内一致收敛例3.2 证明函数项级数在内一致收敛，其中证明 设则，有又因为 ，由命题3可知，函数项级数在内一致收敛例3.3 证明函数项级数在内一致收敛证明 设， ，所以，由命题4，函数项级数在内一致收敛32 函数项级数M判别定理的推广M判别定理有函数项级数恒有数列，使得且级数收敛，则函数级数在区间上一致收敛且绝对收敛（简称绝对一致收敛）.推广一 （M极限法）由函数级数，存在收敛的正项级数，使得对于，有极限，则函数项级数在区间绝对收敛.证明 由于，即0，也即，有（为正整数）.又级数收敛，从而级数也收敛。根据 判别定理知道函数项级数在区间绝对一致收敛.特殊地，取，则有推广二： 推广二 若函数级数，,则函数项级数在区间上绝对一致收敛.由上可知，判别定理的本质在于用初等的手法将函数的通项的绝对值改大为某正项级数（收敛）的通项，运用时改大的技巧会有一定的难度；而改进为用高等的极限手法做出判定，其优越性充分体现在：(1) 在理论上突出了极限理论贯穿着数学分析的所有内容的观点，体现了极限工具的重要作用；（2）用极限运算取进行有效判断，在实际运用和操作上均极为方便。因而两个推广在函数级数一致收敛性的判别上分别具有明显的理论和实际运用价值，下面仅举例阐明推论的实际应用：例3.4 证明下列函数级数在指定区间上的一致收敛性：（1）在0 , + 上;（2）在上;(3) 在0 , + ;证明（1）对于，存在正项级数收敛，对有 由推广二知级数在0,+上一致收敛（2）对于在上，存在正项级数， 有在上一致收敛(3)对于，存在正项级数有由推广二知在（0，+）一致收敛例3.5 级数绝对收敛，则函数级数若与级 在上绝对一致收敛证明 由于级数在绝对收敛，从而数收敛，当有，同样有 ，由推广一知道函数项级数与在上均绝对一致收敛33 函数项级数阿贝尔判别法的推广定理 阿贝尔判别法的推广 定义 1 如果存在，使得 ，则称序列是有界变差序列且凡是有界变差序列都是收敛的如果（1）是有界变差序列；（2）是收敛级数，则级数收敛证明 由条件（2），对任给，存在自然数，当时，恒有 这里，为 的上确界，（根据条件（1） 如果取 ，而，则由引理知，当时，有 ， 根据柯西收敛准则，级数收敛应当指出，并非一切有界变差函数，都可以写成两个递增单调函数之差， 如 ，因此，不能直接利用阿贝尔判别法来简单地证明定理例3.6 判定级数的收敛性解（1） 即有有界倒数，于是在区间有有界变差，从而序列有有界变量.（2） ，所以所给级数收敛，应当看到，阿贝尔判别法对此级数失效34 函数项级数柯西积分判别法的推广有界变差函数是一类非常重要的函数， 它在实变函数理论中占有重要的位置于有界变差函数总可以分解为两个单调递增函数的差或者两个单调递减函数的差 因此有关级数和无穷积分的一些涉及到以单调函数为条件的收敛性的判别法就容易地将单调性条件减弱为有界变差条件1，从而推广这些定理 本文仅拟对级数收敛的柯西积分判别法加以推广， 从而针对文1进一步阐述上述观点主要结果所谓级数收敛的柯西积分判别法是：假设是上的正的单调递减的连续函数，则级数收敛的充分必要条件是无穷积分收敛.我们将“正的单调递减”条件减弱为“有界变量”，主要结果是： 定理3.4 设函数在无穷区间上连续且有有界变差， 则级数收敛的充分必要条件是无穷积分收敛证明 因为函数在无穷区间上连续且有有界变差，所以 ， （6）及 （7）均在无穷区间上单调递减又连续，且，所以=同理所以 （8） （9）因为在上有界界变量，所以时，必有极限.级数收敛，则，故于是由（6）、（7）两式，推得 ， .由不等式（8），可得，由柯西收敛准则，收敛由柯西收敛准则，可知无穷积分收敛反之，设无穷积分收敛.，由于在上有界界变差而导致存在，所以=0.否则，若，会导致无穷积分发散于是再由不等式（9），运用柯西收敛准则得收敛，应用上述判别法, 可以得到其它判别法， 例如：设 为有界变差数列，为固定的自然数，则级数与收敛性相同证明 记，则且是上的有界变差函数 由本文之定理, 级数与积分收敛性相同又也是上的有界变差函数， 仍由本文之定理， 积分与级数收敛性相同， 所以级数与收敛性相同35 函数项级数优级数判别法的推广定理3.5 若存在一个在上收敛的，满则在上也一致收敛例3.7 讨论函数在上是否逐点收敛？是否逐点绝对收敛？是否一致收敛？是否绝对一致收敛？解 由于通项取绝对值后即为级数记为（10），而（10）当逐点固定时，此时为一致的几何级数（，公比为）；当时显然也是收敛，由于各项非负，因此其收敛等于绝对收敛，其余项为，所以级数在上不一致收敛.再令 ，其中，即一致有界；对每一个，关于递减趋于0，且因 推知一致收敛于0，根据狄利克雷判别法，级数在，上一致收敛4总结与展望函数项级数的一致收敛是函数项级数的一个重要性质，是我们研究函数的连续性、可微性、可积性等的基础.其判别方法灵活多样，有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。本文在给出柯西准则、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法、莱布尼兹函数数项级数一致收敛判别法的同时，并对函数项级数一致收敛的柯西准则、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法、莱布尼兹判别法加以补充推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法，同时也极大的方便了我们的学习和研究。我们知道函数项级数在数学分析中占有很重要的位置，而级数的一致收敛性又是函数项级数的一个重要性质，所以函数项级数一致收敛的判别法在数学分析中的重要性可想而知。因此函数项级数一致收敛判别法的研究是一个动态的过程。本文不会是它的研究终止符.随着经验的积累和知识的丰富提高,我们会进一步总结出判别函数项级数一致收敛更有效的方法及判别法相应的推广. 参考文献1 华东师范大学数学分析M.高等教育出版社，2001年6月第三版2 华东师范大学数学系.数学分析(下册)M.北京:高等教育出版社,2001. 3 裘兆泰，王承国.数学分析学习指导M.北京：科学出版社，2004.4 关冬月关于一致收敛性的几个问题J内蒙古农业大学学报，2003，24(3)：15-19 5 前苏联菲赫钦歌而茨微积分（第卷第分册）M北京：人民教育出版社， 1962 68-806 皱泽民.关于函数项级数一致收敛M判别法的两个推论及其运用J.河池师专报， 1996，16（2）：6-87 肖宏治放大法在判别函数项级数（函数列)一致收敛时的应用J安顺师范高等专 科学校学报，2005，7(3)：80-828 吉林师范大学数学系.数学分析讲义下册M.北京:人民教育出版社,1978.9 石国. 对阿贝尔判别法和狄里克雷判别法的推广一文的意见J .数学通讯，1982，3：10-2210 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