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数学与统计学院数学综合实验报告班 级：2010级数学云亭班姓 名：王文翰学 号：201071010349 数学综合实验报告迭代（方程求解、分形、混沌、几何形状的构造）实验一：迭代（一）方程求解一、实验的目的函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，本实验将探讨迭代在方程求解中的应用。通过编程演示利用迭代求解方程（组）的近似解，深刻了解其求解过程。还可以通过上机来增强自己的动手能力及实践创新能力。二、实验的环境基于window系统下的Mathematica 4.0软件并使用Print Screen截图软件、Word文档、课本。三、实验的基本理论方法使用Mathematica 4.0编写程序语言并求出结果。 四、实验的内容和步骤及得到的结果和结果分析实验1.1：给定初值及迭代函数，迭代次产生相应的序列。实验内容：给定初值及迭代函数，迭代10次产生的序列。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验结果可以看出给定初值及迭代函数，迭代10次产生的序列结果收敛于1.41421。实验1.2：由迭代公式（5）（）产生的迭代序列。实验内容：取初值将方程利用迭代公式（5）：的形式迭代10次。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验结果可以看出给定初值将方程利用迭代公式（5）的形式迭代10次产生的序列结果收敛于1.25992104989487316。我们还可以发现，使用改进的迭代公式求方程的解，它的收敛速度比其他的迭代公式要快，而且随着迭代次数的增加，迭代值趋于稳定。实验1.3：对给定的矩阵，数组和初始向量，由迭代（9）给出的迭代结果。实验内容：不妨取，初值，由迭代（9）迭代20次求出的迭代结果。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验结果可以看出，由迭代（9）给出的迭代向量列不收敛。实验1.4：由迭代（10）（）产生的迭代向量列。实验内容：取，利用迭代（10）迭代10次产生的迭代向量列。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验结果可以看出取，利用迭代（10）迭代10次产生的迭代向量列收敛于（-3.0000000000000，3.00000000000000，1.00000000000000）实验1.5：由迭代（11）（）产生的迭代向量列。实验内容：取，利用迭代（11）迭代10次产生的迭代向量列。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验结果可以看出取，利用迭代（11）迭代10次产生的迭代向量列不收敛。五、心得体会本次上机实验，通过探讨迭代在方程求解中的应用，通过编程演示利用迭代求解方程（组）的近似解，深刻了解其求解过程。虽然在语句过程中存在语句写错的问题，但是经过不断的分析改正，最终达到了预期的效果。通过此次试验复习巩固了以前所学的知识，开阔了数学思维，培养了数学素养，同时提高了上机实践操作能力。实验二：迭代（二）分形一、实验的目的函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，本实验是以迭代的观点介绍分形的基本特征以及生成分形图形的基本方法。通过编程演示利用迭代求出分形，使我们在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解，并从哲学的高度理解这门学科的诞生的必然，激发我们探寻科学真理的兴趣，深刻了解其求解过程。还可以通过上机来增强自己的动手能力及实践创新能力。二、实验的环境基于window系统下的Mathematica 4.0软件并使用Print Screen截图软件、Word文档、课本。三、实验的基本理论方法使用Mathematica 4.0编写程序语言并求出结果。 四、实验的内容和步骤及得到的结果和结果分析实验2.1：Koch雪花曲线。实验内容：Koch雪花曲线。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：我们用Mathematica 4.0得到了很好看的Koch雪花曲线。实验2.2：Minkowski香肠曲线。实验内容：Minkowski香肠曲线。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：我们用Mathematica 4.0得到了很好看的Minkowski香肠曲线。实验2.3：Sierpinski三角形。实验内容：Sierpinski三角形。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：我们用Mathematica 4.0得到了很好看的Sierpinski三角形。实验2.4：花草树木。实验内容：花草树木。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：我们用Mathematica 4.0得到了很好看的花草树木。实验2.5：Weierstrass 函数。实验内容： Weierstrass 函数：对不同的s 值，画出函数的图像。观察函数的不规则性与s 的关系，由此猜测Weierstrass 函数图像的维数与s 的关系.实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：时：时：时：实验结果：结果分析：从实验得出的图形我们可以发现，随着S值的增大，图像变的越来越稠密。实验2.6：Mandelbrot集以及它的局部放大。实验内容：绘制Mandelbrot集。然后，任意选取它的一个局部将其放大，然后再将放大图形的局部放大。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：我们用Mathematica 4.0绘制了Mandelbrot集，并选取它的一个局部将其放大，然后再将放大图形的局部放大。实验2.7：Julia集以及它的局部放大。实验内容：绘制Julia集。然后，任意选取它的一个局部将其放大，然后再将放大图形的局部放大。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：我们用Mathematica 4.0绘制了Julia集，并选取它的一个局部将其放大，然后再将放大图形的局部放大。五、心得体会本次上机实验，通过探讨迭代的观点介绍分形的基本特征以及生成分形图形的基本方法，通过编程演示利用迭代构造分形图形的过程，使我们在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解，并从哲学的高度理解这门学科的诞生的必然。虽然在语句过程中存在语句写错的问题，但是经过不断的分析改正，最终达到了预期的效果。通过此次试验复习巩固了以前所学的知识，开阔了数学思维，培养了数学素养，同时提高了上机实践操作能力。实验三：迭代（三）混沌一、实验的目的函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，从实验一和实验二我们可以看到，利用一些简单的迭代格式可以求解方程（组），同时还可以产生非常复杂而漂亮的分形图形。在本实验中我们还将看到，迭代还可以产生类似于随机行为的一种非常古怪的现象，我们把这种现象称为混沌。实际上，混沌与分形是密不可分的。混沌钟包含着分形，分形中包含着混沌，它们是一对孪生兄弟。本实验我们还将从一个简单的二次函数的迭代出发，了解认识混沌现象及其所蕴涵的规律性，激发我们探寻科学真理的兴趣，深刻了解其求解过程。还可以通过上机来增强自己的动手能力及实践创新能力。二、实验的环境基于window系统下的Mathematica 4.0软件并使用Print Screen截图软件、Word文档、课本。三、实验的基本理论方法使用Mathematica 4.0编写程序语言并求出结果。 四、实验的内容和步骤及得到的结果和结果分析实验3.1：迭代的几何图形。实验内容：取，初值，编程实现函数迭代的几何作图过程，观察迭代序列是否收敛。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验得到的图像可以看出，迭代序列不收敛。实验3.2：迭代（2）（）对不同初值的迭代结果的差。实验内容：考察迭代是否无论两个初值如何接近，在迭代过程中它们将渐渐分开。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：两个初值分别为0.2和0.3，相差0.1，迭代50次后它们将渐渐分开。实验3.3：对初值做次迭代，迭代点在个等分区间中的分布情况。实验内容：对初值做20次迭代，迭代点在32个等分区间中的分布情况。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从得出的结果可以看出对初值做20次迭代，迭代点在32个等分区间中的分布情况。实验3.4：演奏混沌。实验内容：对初值做次迭代，然后演奏所得的迭代数列。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：上面的图形即为对初值做次迭代，然后演奏所得的迭代数列。五、心得体会本次上机实验，通过探讨迭代还可以产生类似于随机行为的一种非常古怪的现象，我们把这种现象称为混沌。本实验我们还从一个简单的二次函数的迭代出发，了解认识混沌现象及其所蕴涵的规律性，激发我们探寻科学真理的兴趣，深刻了解其求解过程。虽然在语句过程中存在语句写错的问题，但是经过不断的分析改正，最终达到了预期的效果。通过此次试验复习巩固了以前所学的知识，开阔了数学思维，培养了数学素养，同时提高了上机实践操作能力。实验四：迭代（四）几何形状的构造一、实验的目的函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，本实验是从对分形的构造的重新讨论开始，探讨利用迭代方法构造各种复杂形体的实例。然后把这种方法推广到各种几何形状的构造中。在计算机图形学核计算机辅导几何设计中，这种利用迭代构造几何形状的方法称为细分方法。在本实验中我们还将会见到，细分方法既可以构造出分形、Bezier曲线（曲面）和样条曲线（曲面），也可以构造出许多其他的复杂几何体，激发我们探寻科学真理的兴趣，深刻了解其求解过程。还可以通过上机来增强自己的动手能力及实践创新能力。二、实验的环境基于window系统下的Mathematica 4.0、Mathematica 7.0软件并使用Print Screen截图软件、Word文档、课本。三、实验的基本理论方法使用Mathematica 4.0、Mathematica 7.0编写程序语言并求出结果。 四、实验的内容和步骤及得到的结果和结果分析实验4.1：基于定义绘制Bezier曲线。实验内容：基于定义绘制Bezier曲线。实验步骤：在Mathematica 7.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验结果图像可以看出基于定义绘制出Bezier曲线可以实现。实验4.2：细分方法。实验内容：细分方法。实验步骤：在Mathematica 7.0输入语句如下：实验结果：结果分析：从实验结果可以看出细分方法得出的图形。实验4.3：八面体空间网格。实验内容：八面体空间网格。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：我们通过编写程序得出了八面体空间网格。实验4.4：正六面体空间网格。实验内容：正六面体空间网格。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：我们通过编写程序得出了正六面体空间网格。实验4.5：长方体空间网格。实验内容：长方体空间网格。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：我们通过编写程序得出了长方体空间网格。实验4.6：凸多面体空间网格。实验内容：凸多面体空间网格。实验步骤：在Mathematica 4.0输入语句如下：实验结果：结果分析：我们通过编写程序得出了凸多面体空间网格。五、心得体会本次上机实验，通过探讨利用迭代方法构造各种复杂形体的实例。在计算机图形学核计算机辅导几何设计中，这种利用迭代构造几何形状的方法称为细分方法。在本实验中我们还将会见到，细分方法既可以构造出分形、Bezier曲线（曲面）和样条曲线（曲面），也可以构造出许多其他的复杂几何体，激发我们探寻科学真理的兴趣，深刻了解其求解过程。虽然在语句过程中存在语句写错的问题，但是经过不断的分析改正，最终达到了预期的效果。通过此次试验复习巩固了以前所学的知识，开阔了数学思维，培养了数学素养，同时提高了上机实践操作能力。学习感想：通过一学期数学实验课程的学习，我对数学这门学科有了一个新的认识。首先，作为一名数学与应用数学专业学生，我一直都在接触数学。以前，在我的心目中，数学是一个苦专业，是需要理解很多概念并且还要做很多练习题的一门学科。而在数学实验这门课程中，我体会到了不一样的数学，原来数学也可以很生动、有趣、直观。数学，是一个很奇妙的东西，有时候觉得它高深莫测，有时候又发现其实它就在我们身边。其实，数学的特性真的就在我们的生活中，与大自然也有很相似的地方，在学习了这门课程后，我深深地体会到了数学实验的奇妙与美丽。它不仅仅让我在这学期的数学学习中获益匪浅，更影响了我的思想和以后人生的道路。因此，很感谢这门课对我的启迪，我想，我以后会与数学的关系更密切。数学不是枯燥的，就像罗素说的：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且有至高的美。”最后，感谢张贵仓老师一学期以来对我们的谆谆教诲！