用高等几何的观点看待初等几何的问题.doc

从高等几何的视角看待初等几何的若干问题 摘要：高等几何是初等几何的延伸课程，二者有着密切的关系.它为初等几何的内容提供了理论依据，开阔了初等几何的学习视野；高等几何可为初等几何构造新的命题，丰富了初等几何的内容；高等几何为初等几何的某些问题提供了解题方法，拓展了初等几何的解题途径.因此，很有必要研究高等几何在初等几何中的运用.关键词：高等几何；初等几何；命题；理论依据；思想方法1 问题的提出 一.问题的提出1.1 高等几何与初等几何的关系高等几何是高等师范院校数学专业的一门重要的课程.是为学生加深对中学几何的理论和方法的理解，获得较高观点上处理中学几何问题的能力的专业选修课程. 而初等几何研究也是高师数学系数学教育专业的一门重要课程，是为培养中学数学师资所特有的课程，是培养未来中学数学教师从事初等几何教学和研究的能力 ，是提高他们数学素质和几何教学水平的重要课程。初等几何是高等几何的基础.而高等几何是初等几何的深化。初等几何研究的问题一般比较直观、单纯，但形成的概念和积累的技巧对高等几何往往影响深远；高等几何虽然抽象、复杂，但内容和方法却常常可以在初等几何中找到其根源，所以高等几何由于引入了无穷元素，因而处理问题的手段比初等几何高明，作为数学工具也就更具有一般性.从内容上讲，高等几何点变换的观点把初等几何中的正交变换扩大到仿射变换，再扩大到射影变换，从而把几何空间的概念也由欧氏空间扩大到仿射空间，再扩大到射影空间；坐标系也由笛卡尔坐标系扩大到仿射坐标系和射影坐标系.几何学的基本元素方面，也由以点为基本元素的点几何学化为以直线为基本元素的线几何学，并且由有限元素扩大到无穷远元素，由实元素扩大到复元素.1.2高等几何的观点研究出等几何的意义法国教学家Klein曾经说过：“只有在完全不是初等数学的理论体系中，才能深刻理解初等数学.”按照Klein的观点，几何学是研究在相应变换群下图形保持不变的性质和量的科学，即每一个变换群都对应着一个几何学，图形在此变换下保持不变的那些性质和量，就是相应的几何学所研究的对象.由射影变换群，仿射变换群，正交变换群所对应的几何学分别为：射影几何学，仿射几何学，欧氏几何学.又由于射影变换群仿射变换群正交变换群.故又有射影几何学仿射几何学欧氏几何学.但又由于群越大，它所保持不变的东西就越少，故从研究的内容上看有：射影几何学仿射几何学欧氏几何学.射影几何学的内容比较贫泛，而欧氏几何学的内容就十分丰厚了.了解了这种几何学之间的联系，也就扩大了学生关于几何的眼界，站得高也才能看得远，了解了欧氏几何在整个几何学中所处的地位，这就有助于我们从几何学的全局与整体上来理解和把握初等几何教材.掌握公理法，了解欧氏几何与非欧几何的关系，加深对初等几何教材的理解.几何学的思维其源于非欧几何.因为唯有从非欧几何的观点来看才得以阐明在中学研究的欧氏几何学的逻辑结构，只懂得一种欧几里德几何，就不能充分了解几何学的结构；几何学之所以能够提高到现代的观点，不过是在研究了非欧几何以后的事情.我们把罗巴切夫斯基几何和黎曼几何统称为非欧几何.这三种几何表面上看似乎是相互矛盾，相互排斥的，但它们在射影几何中得到了统一，都是射影几何的子几何学.了解了它们之间的联系，对初等几何教材的理解和把握就会加深一步.2 高等几何在初等几何中的应用欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何，使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑，有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别，以便从高观点下把握和处理中学教材，将高等几何的思想应用在初等几何中，这无疑对初等几何的教学有很大的指导作用.2.1 高等几何为初等几何内容提供理论依据中学几何考虑了学生的认识规律，内容不可能面面俱到，现行中学几何教材部分仅从直观的现象中发现图形之间的内在联系，探索几何性质，问题的结论依赖于默认，而在高等几何中，这些内容和问题都可以在严密的数学系统内给出严格的论述.例如立体几何中的直观图及截面图的画法；三点定一圆问题；一点在二次曲线的内部还是外部的问题；二次曲线的切线的尺规作图问题；以及著名的“九树十行”问题等，都能在高等几何中得到彻底解决；另外，现行中学几何教材对希尔伯特公理系统中的公理或某些定理作了如下处理，但高等几何中几何基础部分对希尔伯特公理系统的论述，可以帮助我们分析、理解中学几何中的这些公理.（1）中学教材扩大了公理体系。把希尔伯特公理系统中的一些定理作为公理提出.这是因为a.有些定理证明较繁，甚至于在中学几何的系统下不能证明，但这些定理的几何事实非常明显，又需要把它们作为推论的根据，就把它作为教学上的公理.例如，把两三角形全等的“角边角定理”作为“角边角公理”；b.将西尔伯特公理系统中的某些公理结构略为加强，以便于学生接受运用.例如，将公理加强为公理“如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线；”c.将希尔伯特公理系统中的某些公理合并，以便运用.例如，将公理和合并为公理“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”；将公理和合并为公理“经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面”.（2）默认的办法：希尔伯特公理系统里的许多公理所反映的几何事实极为明显，例如公理：“至少存在着四个点，不在同一平面上”，中学几何就凭直观加以默认.再如在推理中事实上已经用到顺序、连续等概念，这些也全部被直观的承认了，既未作为公理提出，更未作为定理加以证明.而以上这些在初等几何中无法解释的公理在高等几何（包括几何基础）中都作了精辟的阐述和概括的分析，因此，学习高等几何有助于认识并讨论欧氏几何体系，认识它是怎样在公理系统上纯逻辑地建立起来的，同时，有助于了解中学几何教材中的公理系统，能够用公理化思想分析、评述和处理中学几何教材，促进教学质量与教学效果的提高.因此，通过高等几何的学习可以更加深入的理解初等几何中的一些问题，对它做出合理的解释.例1 平面上不在同一直线上的三个实的有穷点确定一个圆.这是初等几何中的一个定理，可用二阶曲线的性质给予严格的证明.证明：因为每三点不共线的五点可以确定一条二阶曲线，而每两个有穷点与圆点不共线，所以已知的三点和两个圆点决定一条二阶曲线，又这条二阶曲线经过二圆点所以是圆.2.2高等几何在初等几何命题方面的应用从高等几何与初等几何的关系出发，可以构造许多初等几何新命题，主要方法有：（1）将初等几何命题推广.如在高等几何中，在仿射变换下，任意一个三角形（平行四边形、梯形、椭圆）与正三角形（正方形、等腰梯形、圆）是仿射等价的，因此如果已知一个只涉及仿射性质的几何命题对于后一类简单图形成立，则就有理由断定该命题对前一类复杂图形也成立。同样在射影变换下，椭圆、双曲线、抛物线与圆射影等价.因此，如果只涉及射影性质的几何命题对圆成立，则对椭圆、双曲线、抛物线也成立.例2已知与平行的直线相交，且的面积等于给定值，那么当与的面积之间满足什么关系时问题有解？有多少解？（1987年上海数学竞赛试题）解：设经仿射变换变为正，其边长为，设，且， 如图1：因为 所以化简得：所以当0时 即时问题有解当时，有两解，其中如图中和当时，有一解，其中，此时、分别、中点. （图1） 例3命题：“为圆的切线，为经过切点的直径，求证：.”该命题涉及结合性、直径、平行性等仿射性质，因而可移置到椭圆中去，构成新的命题.新命题：“为椭圆的切线，为椭圆的中心，与椭圆交于另一点，求证：.”（初级中学课本，几何第二册，115页13题） （2）将高等几何命题特殊化例4高等几何命题：在平面上给定二直线及不在上的一点，不先定出的交点，可用直尺作出通过此点和点的直线.将其特殊化可得到初等几何命题：在平面上给定二平行直线及不在上的一点，只用直尺可作出通过点且与平行的直线.作法：1）过作二直线分别与相交与，连接得交点.2）过任作一直线与分别交于，.3）连接，得交点，则直线为所求直线.综上我们可以看出，熟知高等几何与初等几何知识间的联系，就能构造出形式多样，内容丰富的初等几何问题.一些中学几何问题运用初等几何方法解决时，有时会非常复杂和困难，但应用高等几何方法解决此类问题却非常简捷，如利用迪沙格（Desargues）定理证明三角形的三条中线交于一点；利用交比证明有关圆的问题；利用完全四点形的调和性，可以比较简捷地解决一些初等几何的共点和共线问题.例5四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，求证另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段.（1978年 全国数学连决赛试题）证法一（用初等几何的方法）设四边形中与交于，与交于且.（如图2），求证平分.过作，连接，下证四边形是平行四边形.因为，故 （1）又因，所以 （2）由（1）与（2）得于是，所以四边形是平行四边形.利用平行四边形的性质知平分，则，故的延长线交于平分线段.证法二（利用完全四点形的调和性质）如图3所示四边形中与交于，与交于，若与交于，则由完全四点形的调和性质知（，），即（，）（）.故为线段的中点，从而对角线平分线段.（图2） （图3）方法2直接用完全四点形的调和性质，即可证出，易于理解，而方法1需作辅助线，证明过程较繁琐.例6（蝴蝶定理）如图4所示，设是圆的弦，是的中点，过任作二弦，记为依次与，的交点，求证.证法一：（用初等几何的方法）圆是以直径所在直线为对称轴的对称图形，那么可作关于的对称线段，则有=，连接，则，由此可知，所以.又且.故，则四点，和 共圆，所以，因，则。又，则，故.证法二（利用交比来证明）如图6所示，连接，以为顶点的线束被直线所截，有（ ， ）=（，）同样，以为顶点的线束被直线所截，有（ ， ）=（，），由同弧所对的圆周角相等，从而有，而 （ ， ）故（，）（，）即又为的中点，从而.把，代入上式得 即 即 故，从而.（在上述证法中，射影几何的方法简单，它只需要计算一下交比，不但简捷，而且计算交比的方法适用于所有二阶曲线，这样就自然地将蝴蝶定理推广到椭圆、双曲线和抛物线上，不过这时二阶曲线中弦的中点却不能用垂足代替.） （图4） （图5） （1）投影法投影法的基本思想是把某一几何图形中的各线段向某一直线（叫作轴）平行投影，将图形的比例线段转化成轴上的线段比，从而获得一些命题的解.例7过的顶点作任一直线，与边及中线分别交于点及，求证：.（初级中学课本，几何 第二册 66页9题）证明：把点、分别投影到与垂直的直线上（如图7）其投影为、，则由为的中点知.，从而，故.（图6）通常讲某种解题方法时，常要考虑这种方法的应用范围，才能很好的掌握这种方法，由于投影法的基本思想是平行投影，那么投影法适合证明哪类型的题目呢？按照克莱因变换群与几何学的观点，投影法的适用范围也只能是涉及经过平行投影能保留下来的哪一些量和性质（不变量和不变性）的几何命题.由高等几何知，平行投影保持二平行线段的比，同一直线上二线段的比等，因而投影法用于证明有关涉及二平行线段的比和同一直线上二线段的比（特别地二平行线段的相等，同一直线上二线段的相等）的几何命题或可以转化为上述有关的命题.（2）压缩变换法椭圆与圆相比，圆要简单些，利用压缩变换解题的基本思想就是通过压缩变换，将与椭圆有关的问题转化成与圆有关的问题来求解.解：作压缩变换， （1）则椭圆化为圆 （2）相应的直线化为直线 （3）因而原问题变更为求（2）与（3）相切的条件，由直线与圆相切的条件得： 整理得 .由于变换（1）是一特殊的仿射变换，按克莱因变换群与几何学的观点，只有经过（1）能保持不变的那些量和性质，才适用于上述解法，由高等几何知：仿射变换保持结合性，通素性，平行性，简比和二封闭图形的面积比等.除此之外，还有压缩变换（1）特有的一些性质，和保持与二坐标轴平行的二直线的垂直性等.因此，只有当与椭圆有关的命题只涉及上述不变性与不变量时，才可以通过变换（1）将与椭圆有关的问题转换为与圆有关的问题来求解，如上例中，涉及直线与椭圆的结合性，由于变换（1）保持结合性不变，因此就可以用上述方法解.上面剖析了两种解题方法，在中学数学解题教学中，类似于上面的问题还有许多，如“用解析法证明几何命题时为什么可以任意选取坐标系？”等.这些问题虽然出自于中学数学解题教学中，但不能在中学数学知识范围内给出回答，它需要高等几何的知识，从这里也可看出，高等几何是如何指导中学数学解题教学的.它不是用高等几何的解题方法去求解中学教学中的问题，而是用高等几何的观点去分析解题方法和解题过程中出现的高等几何背景，只有将高等几何知识应用于实际教学中，才能真正做到“居高临下”.在解题教学过程中，不仅能讲述某种解体方法如何用，而且应知道这种方法的适应范围以及为什么要这样用等.这正是高等几何对中学数学解题教学的指导作用的含义.3 结论高等几何是数学专业的一门重要的基础理论课.高等几何的涵义较为广泛.我国现在开设的高等几何课内容上以射影几何为主，兼顾其它，方法上采用代数法兼综合法而侧重代数法.目的旨在使学生系统接受射影几何而主要又是实射影平面几何的基本知识，认识射影空间的基本特性，研究方法和几何学的本质，深化几何空间的概念，为进一步学习近代数学奠定基础.从理论和实践的结合上学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，确认几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延.我们明白了高等几何与初等几何的内在联系，扩大了关于几何学的眼界，了解到初等几何在几何学中所处的地位，就有助于我们从几何学的全局与整体来理解和分析初等几何教材，就能对初等几何中的许多问题做透彻的理解.大学生通过这门课的学习，增强了自己的数学思维能力和空间想象能力.综上所述，高等几何对初等几何的指导作用较大，所以我们要“站得更高，看得更远”，应拓宽视野，拓广思路，这样才能更好的把握中学数学.利用高等几何的观点和思想方法，将已知初等几何命题进行变换，获得相关的其它初等几何命题，是十分有效的解题方法，只要我们有心，积极开动脑子，就会把高等几何的知识运用到初等几何中去.参考文献1梁延堂.高等几何与初等几何J.西北师范大学学报（自然科学版）1993，（2）：69702高巧琴.高等几何在初等几何中的作用J.雁北师范学院学报. 2004，（2）：53553吴晓旭.高等几何与初等几何的相关性探讨J.现代商贸工业. 2009，（2）4赵强.浅谈高等几何对中学几何教学的指导意义J.南宁师范高等专科学校学报. 2006，（4）：1271295梁康健.对“高等数学初等化，初等数学高等化”的教学体会J.娄底师专学报（自然科学版）.1989，（4）：59636陈小春.例谈高等几何对中学数学解题教学的指导作用J.数学通报. 1993，（6）33357初级中学课本，几何M.第二册.人民教育出版社. 19898梅向明，刘增贤，王汇淙，王智秋.高等几何M.北京：高等教育出版设.20009舒见贤.在高等几何教学中加强对初等几何的指导J.怀化师专学报.1993（2）：737510朱得祥.初等几何研究M.北京：高等教育出版设.200011萨学思.浅谈高等几何对初等几何教学的指导作用J.西北师范大学学报. 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Springer-verleg 1972Viewed from the perspective of Higher Geometry Problems of Elementary GeometryAbstract：Higher Geometry which afford the oretical basis to Higher Geometry and broaden the horizon is an extension of Elementary Geometry. Moreover, Higher Geometry construct new proposition, rich the content of Elementary Geometry, and even supply the solution to solve problems of Elementary Geometry. Therefore, it is necessary to research the application of Higher Geometry in Elementary Geometry.Keywords：Higher Geometry; Elementary Geometry; Proposition; The oretical basis; Thinking仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.  , , .  以下无正文