模糊数学模糊数学基本知识.ppt
模糊数学,本章主要内容,模糊数学基本知识模糊聚类分析方法模糊综合评判方法,天气冷热,雨的大小,风的强弱,人的胖瘦,年龄大小,个子高低,在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。,模糊数学的创立及发展,Zadeh 扎德教授1965年，模糊集合论“隶属函数”“模糊数学”的诞生量确定性经典数学不确定性随机性统计数学模糊性Fuzzy 数学,模糊子集及其运算模糊子集普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集 AU，只能有xA与xA 两种情况.子集A由特征函数来CA(x)：U0，1刻划,一、模糊数学基本知识,特征函数CA(x)仅取两个值，在表达概念方面有其局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存 在于现实中的亦此亦彼的现象,设H=年轻人，Y=中年人，O=老年人。“年轻”与“年老”之间，不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的连续过渡过程。这样用经典集合论难以表达。=以普通集合论为基础的数学方法，难以处理一些模糊概念。,模糊数学是将二值逻辑0，1拓广到可取0,1闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。模糊逻辑是对二值逻辑的扩充。关键的概念是：渐变的隶属关系。一个集合可以有部分属于它的元素；（渐变）一个命题可能亦此亦彼，存在着部分真部分伪。（不完全确定）,论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征，uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。模糊子集完全由隶属函数来描述。,模糊子集的表示方法（1）向量法（2）查德表示法有限集无限集,例4 设U=1,2,3,4,5,6,A表示“靠近4”的数，则 AF(U)，各数属于A的程度A(ui)如表。,模糊集举例,则A可用不同方式表示如下：,(2)Zadeh法：,(1)向量法：,A=(0,0.2,0.8,1,0.8,0.2),模糊子集的运算及其性质（1）模糊子集的运算如果集合为空，可推，隶属函数取值为0，反之也成立。,设A、BF(U),若uU,uA(x)uB(x),则称B包含A，记为AB 补集的概念：,设A、BF(U),分别称运算AB、AB为A与B的并集，交集，其中V表示取最大值，表示取最小值,例1 设 U=u1,u2,u3,u4,u5 求AB、AB，AC 解：,A(u1)B(u1),A(u1)B(u1),隶属度为零的项省略,1-A(u5),隶属度函数,目前隶属度函数的确定方法大致有以下几种：模糊统计方法：用对样本统计实验的方法确定隶属度函数。例证法：从有限个元素的隶属度值来估计模糊子集隶属度函数。专家经验法：根据专家的经验来确定隶属度函数。机器学习法：通过神经网络的学习训练得到隶属度函数。,隶属函数参数化,1.三角形隶属函数,参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。,参数a,b,c,d确定了梯形四个角的x坐标。当b=c时，梯形就退化为三角形。,2.梯形隶属函数,3.高斯形隶属函数,高斯MF完全由c和决定，c代表MF的中心；决定了MF的宽度。,4.一般钟形隶属函数,参数完全由b通常为正；如果b0,钟形将倒置。钟形MF实际上是概率中柯西分布的推广，因此又称为柯西MF。,trig(x;20,60,80),trap(x;10,20,60,90),g(x;50,20),bell(x:20,4,50),(2)模糊子集运算的基本性质,模糊集合间的并、交、补（余）运算具有如下的性质.,1)幂等律2)交换律3)结合律4)吸收律,5）分配律,6)对合律,7)De Morgan法则,8)常数运算法则,模糊子集的截集及其性质模糊子集的截集,1、水平截集 设A(U)，0,1,且 A=u|uU,A(u)则称A为A的一个水平截集，称为阈值或置信水平。,模糊集的截集,图1.9 A的截集,例1、设有模糊集：A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5且分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的水平截集,解：A1=u3 A0.6=u2,u3,u4 A0.5=u2,u3,u4,u5 A0.3=u1,u2,u3,u4,u5,模糊关系、模糊矩阵、模糊变换（1）模糊关系,设U,V是两个普通集合在直积空间,它以隶属度函数,若,中的模糊关系称为U上的模糊关系.,则把,精确关系,模糊关系,表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否存在。,表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否存在或不存在的程度。,举例,35,经典集合论的例子：设U=红桃，方块，黑桃，梅花 V=A，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J,Q,K 求UV解：UV(红桃，A)，（红 桃,2），（梅花,K）,36,模糊关系论例子：设有一组学生U:U=张三，李四，王五 他们对球类运动V:V=篮球，排球，足球，乒乓球 有不同的爱好，其爱好程度可以用下面的模糊关系来表示：,在医学上常用公式：体重B（公斤）=身高A（厘米）100来表示标准体重，这就给出了身高（A）与体重（B）的普通关系。若A=140，150，160，170，180 B=40，50，60，70，80,身高与体重的普通关系,但人的胖瘦不同，对于非标准的情况，身高与体重的关系应该以接近标准的程度来描述，这就导致产生如下表所示的模糊关系。它能更深刻、更完整地给出身高与体重的对应关系。,中的n元模糊集R,如果U=V,即在同个空间中，一般在直积空间,就是用n元隶属度函数,来表示的模糊集R,其中：,例1 设x,y为汽车，则“x比y好”这种关系就是模糊关系，例2 设x,y指人，则“x和y 相象”这种关系也是模糊关系,(2)模糊矩阵矩阵：矩阵可以用来表现关系，如果集合A有m个元素，集合B有n个元素、我们可以用矩阵R来表示由集合A到集合B的关系,其中rij=0或1，1im，1jn。,模糊矩阵 当论域AB为有限集时，模糊关系可以用矩阵形式来表示，该矩阵元素rij 仅在闭区间0，1中取值，即0 rij 1，此矩阵称为模糊矩阵。,其中0rij1，1im，1jn。,模糊矩阵是研究模糊关系的重要工具，当它用来表示模糊关系时，其中rij表示集合A中第i个元素和集合B中第个j元素之间的关联程度。,模糊关系的矩阵,普通关系矩阵,例 模糊矩阵的例子,苹果，球，四棱锥7个对象,用模糊矩阵表示的的“相似”关系,模糊矩阵的运算：,（a）相等：,记作:,模糊矩阵:,（b）包含：,例2,（c）模糊矩阵的和:,模糊矩阵C称为A与B的和的表示:,模糊矩阵A与B的直积C表示为：,（d）模糊矩阵的直积,而直积,和,（e）模糊矩阵积：模糊矩阵,则:,例5 设,模糊关系的合成,设,的合成，是指从U到W的一个模糊关系,，,记为:,其隶属函数为:,分别是UV及VW上的两个模糊关系,52,模糊变换：,例14-10给出=（0.2，0.5，0.3），,Y1=(0.20.2)(0.50)(0.30.2)=0.200.2=0.2y2=(0.20.7)(0.50.4)(0.30.3)=0.20.40.3=0.4y3=(0.20.1)(0.50.5)(0.30.4)=0.10.50.3=0.5y4=(0.20)(0.50.1)(0.30.1)=00.10.1=0.1,3、归一化处理,式中 各分量的计算如下：,由于 中各元素之和，即=1，为了保证处理后=1，需要进行归一化处理，其方法是取Yi=，故有：,经归一化后的模糊变换结果为：,Yi=0.2/1.2=0.167Yi=0.4/1.2=0.333Yi=0.5/1.2=0.417Yi=0.1/1.2=0.083,
