即本征值取连续谱课件.ppt

第 三 章 量子力学中的力学量,The Dynamical variable in Quantum Mechanism,引言,经典粒子,用坐标和动量来描述。,状态：,力学量：,在任何状态下都有确定值。,微观粒子,用波函数来描述。,状态：,力学量：,一般情况下没有有确定值。,因此，在量子力学中力学量是用算符来表示。,3.1 表示力学量的算符 Operator for dynamical variable 3.2 动量算符与角动量算符 Momentum operator and angular momentum operator3.3 电子在库仑场中的运动 The motion of electrons in Coulomb field3.4 氢原子 Hydrogen atom3.5 厄米算符本征函数的正交性 Orthonormality for eigenfunction of Hermitean operators3.6 力学量算符与力学量的关系 Relationship between Operator and dynamical variable,本章内容,3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系Operator commute The Heisenberg Uncertainty Principle3.8 力学量随时间的变化 守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws,3.1 表示力学量的算符,1.算符,代表对波函数进行某种运算或变换的符号，其对一函数作用后得到另一函数。,例如:,称为算符,注意:由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义。,2.算符的本征值、本征函数、本征方程,若算符 作用在函数 上，等于一常数 乘以，,即:,则 称为算符 的本征值，称为算符 的本征函数。,称为算符 的本征方程。,例如:,3.力学量的算符表示,(1)动量的算符表示,在量子力学中，动量用动量算符表示。即:,在直角坐标系中的三个分量为:,(2)坐标的算符表示,在量子力学中，坐标用坐标算符表示。即:,即坐标算符就是坐标自身。,在直角坐标系中的三个分量为:,(3)能量的算符表示,在量子力学中，能量用哈密顿算符表示。即:,(4)力学量用算符表示的一般规则,哈密顿算符的构造:,将哈密顿函数,将以上哈密顿算符构造的方法加以推广，便得出一个力学量用算符表示的一般规则:,若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示 中将动量 换成动量算符，将坐标 换成坐标算符 而得出，即:,角动量算符,以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典表示换成坐中的坐标变量 换成坐标算符,注意,对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。,其中,4.算符与它所表示的力学量之间的关系,问题:,能否说表示力学量的算符就是力学量?或算符等于力学量?,算符与它所表示的力学量之间是什么的关系?,在第二章讨论哈密顿算符 的本征值问题:,方程的解,本征函数：,本征值：,如果算符 表示力学量，那么当体系处于 的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。,推广到一般情况,该假设回答了表示力学量的算符与该力学量的关系,5.厄米算符及其性质,厄米算符的定义,若对于任意两函数 和，算符 满足等式,则称 为厄米算符。,厄米算符的性质,设 为厄米算符，其本征方程,证明:,（实数）,厄米算符的本征值必为实数。,力学量算符为线性的厄米算符。,6.力学量算性质,例1.证明动量算符的一个分量 是厄密算符。,证明:,证明:,例2.证明坐标算符的一个分量 是厄密算符。,因为x是实数,所以x是厄密算符。,3.2 动量算符和角动量算符,1.动量算符的本征问题,动量算符,直角坐标,动量算符的本征方程及求解,由分离变量法,令,则有,这正是自由粒子德布罗意波的空 间部分波函数,在解方程过程中，对没有任何的限制，即本征值取连续谱。,归一化常数,归一化系数的确定,)若粒子处在无限空间中，则按 函数的归一化方法确定归一化常数，即：,归一化本征函数为：,这正是自由粒子德布罗意波的空 间部分波函数，对应的本征值 取连续值。,)若粒子处在边长为 的立方体内运动，则用所谓箱归一化方法确定常数。,当粒子被限制在边长为 的立方体内时，本征函数 满足周期性边界条件。,所以本征值为：,由分立谱的归一化条件：,这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。,归一化本征函数,粒子波函数,讨论,)从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能归一化为一；连续谱情况，归一化为 函数。,)在自由粒子波函数 所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。,)由 可以看出，相邻两本征值的间隔 与 成反比。当 足够大时，本征值间隔可任意小；当 时，即离散谱连续谱。,2.角动量算符的本征问题,角动量算符,直角坐标,球坐标?,(1),(2),由上述直角坐标与球坐标之间的变换关系(2)得：,(3),(4),由(3)、(4)得：,将(5)代入(1)得角动量算符在球坐标中的表达式为：,(5),再定义角动量平方算符：,角动量算符的本征方程及求解,)Lz算符的本征值问题,本征方程,解为：,由于 为 的单值函数，应有周期条件:,即：,本征值:,可见，微观系统的角动量在z方向的分量只能取分离值（零或 的整数倍）。由于z方向是任意取定的，所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的。,本征函数：,由归一化条件：,归一化本征函数：,正交性：,将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：,本征方程:,）L2算符的本征值问题,此为球面方程（球谐函数方程）。其中 是 属于本征值 的本征函数。利用分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在 区域内的有限单值函数解（其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述），可得：,（2）,（3）,由（1）、（2）式得出 的本征值：,的本征值:,可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值：,球谐函数 是 属于本征值 的本征函数，是缔合勒让德多项式，满足正交-模方条件：,是 属于本征值 的本征函数，有正交-模方条件,由 的正交归一化条件：,求得归一化因子:,讨论,)球谐函数系 是 与 有共同的本征函数系:,）简并情况,在求解 本征方程的过程中，出现角量子数 和磁量子数。,例:,简并度为1,简并度为3,即 属于本征值 的线性独立本征函数 共有 个。因此,的本征值 是 度简并的。,的本征值 仅由角量子数 确定，而本征函数 却由 和 确定。对于一个 值，可取，这样就有 个 值相同而 值不同的本征函数与同一个本征值 对应。,简并度为5,确定了角动量的大小,本征值：,确定了角动量的方向,本征值：,3.3电子在库仑场中的运动,一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量为，电荷为-e，核电荷为+Ze。取核在坐标原点，电子受核电的吸引势能为：,（氢原子）（类氢原子）,此类问题中，势函数只与径向坐标有关，即：,把这样的场称为有心力场或辏力场。,哈密顿算符：,定态Schrdinger方程（的本征方程）：,粒子在有心力场中的势能：,1.粒子在有心力场中运动的Schrdinger方程,（1）,对于势能只与 r 有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。于是方程可改写为：,（2）式代入方程（1），分离变量得：,（3）,（4）,.Schrdinger方程的求解,球谐方程的求解,球谐方程（4）与中心力场的势函数无关，且是上节讨论过的算符的本征方程：,或,（5）,所以球谐方程（4）当，且 时，该方程在 内的单值有限解均为球谐函数：,径向方程的求解(库仑有心力场中),电子受核的吸引，其势为库仑势：,将库仑势 代入径向方程（3）得：,（6）,代入方程(6)得:,（8）,)当，原子中的电子电离脱离原子到无穷远处，即，此时方程（8）变为：,此方程的解为：,对于任意的()，都满足波函数的连续、单值和有限条件，因此对E 没有什么限制，即取连续谱。,)当有限，即，方程（8）写成：,（9）,电子处在束缚态，应具有分离谱。,（11）,（12）,方程（9）变为：,（13）,将（14）代入（13），则有：,利用幂级数求解微分方程的方法解方程（15）,设方程（13）的解为：,（14）,（15）,将（16）代入（15）式，求其在 范围内的有限解，得：,（17）,（18）,可见，库仑场中的粒子处在束缚态时，其能量为分立值，即能量是量子化的。,方程（15）在 内的有限解为：,（19）,其中，为一任意常数，称为缔合拉盖尔多项式。,微分形式：,拉盖尔多项式,（20）,角量子数：,将 的表示式（19）代入（14）式，便得到 的表示式，然后代入（7）式，得到径向波函数：,为径向波函数的归一化常数，由归一化条件：,下面列出了前几个径向波函数 表达式：,式中 为玻尔半径,波函数：,磁量子数：,角量子数：,主量子数：,3电子在有心力场中的能量本征值与波函数,能量本征值：,下面列出了前几个波函数 表达式：,4.讨论:,是 的共同本征函数系。,可见，是电子三个算符 的共同本征函数系，当量子数 给定时，就确定了一个状态，力学量 可同时测定。当粒子处在任一状态时，它可用 构成的函数系展开，因此，构成一组力学量完全集。,电子的第n 个能级 En 是 n2 度简并的。,粒子处在束缚态，对于第 个能级，角量子数取，共 个值；对于一个 值，磁量子数 可取，共 个值。因此，对于第 个能级，共有：,个波函数，即 的简并度为n2,例：,n=2 时，E2 是4度简并的，对应的波函数有：,库仑场中电子的能级 只与 有关，与 无关，对 简并，这是库仑场所特有的。,简并度与力场对称性,所以，库仑场中电子的能级 只与 有关，与 无关，对 简并，这是库仑场所特有的。,由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与 无关,而与 有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量 不仅与径量子数有关，而且与 有关，即，简并度就为 度。,但是对于库仑场 这种特殊情况，得到的能量只与 有关。所以又出现了对 的简并度，这种简并称为附加简并。这是由于库仑场具有比一般中心力场有更高的对称性的表现。,如 Li,Na,K 等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动。这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电子的能级 仅对 简并。或者说，核的有效电荷发生了变化。当价电子处在 和 两点，有效电荷是不一样的，随着 不同有效电荷在改变，此时不再是严格的点库仑场。因此价电子的能级与 和 有关，而与 无关，即能级仅对 简并，对 的简并消除了。,宇称,作空间反演,球坐标系中，反射变换,即 具有 宇称。,（即 具有 宇称）,即 具有 宇称。,综合以上两点讨论,应该指出，是 的偶函数，但是 却具有奇宇称，这表明函数的奇偶性与波函数的奇偶宇称是完全不同的两个概念，千万不要混淆起来。,3.4 氢原子,1.氢原子两体问题的处理,氢原子与类氢离子都是由一个电子和核所组成的体系，若视核的质量为无穷大，即不考虑核的运动，则只需考虑电子的运动即可，是一个单体问题，情况与上节完全一样；当考虑核的质量为有限，即要考虑核的运动时，就是一个两体问题。,两体问题,单体问题,设电子,核,氢原子的 Schrodinger 方程：,通过将变量从两个粒子的坐标变换为电子相对核的坐标和质心坐标，两体问题可化成单体问题。,电子相对核的坐标,折合质量,质心坐标,波函数:,势能:,同理算出,于是，可将上述氢原子的 Schrodinger 方程变为相对坐标和质心坐标的形式:,（1）,此方程由于没有交叉项，可采用分离变量法求解。,将（2）式代入(1)式,再两边除以，可得:,总能量方程:,质心运动方程:,相当于质量为，能量为 的自由粒子运动。,2.氢原子能级和波函数,本征波函数:,我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的方程(4)，它描述一个质量为 的粒子在势能为 的力场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数所满足的方程，相对运动能量 就是电子的能级。这与上节的内容一致，按照上节的讨论:,3.讨论,能量,能谱组成分立谱,)能级间距,两相邻能级间距:,当 时，成为非束缚态。,当 增大时，减小，即随 的增大能级越来越密。,)基态能,电子伏特,基态氢原子电离的能量：,电离能,)氢原子谱线,系统由高能级 低能级 时，辐射一个光子，其频率:,为里德伯常数。上式正好与氢原子线光谱的经验公式一致。,根据波函数的统计解释，利用氢原子的波函数，可求出处于 状态中氢原子的电子在核外各处的概率分布。,氢原子核外电子的概率分布,电子处在点 附近的体积元 中的概率:,电子处于半径为 的球壳内的概率:,电子处于方向角为 的立体角 内的概率:,在 的球壳内找到电子的概率:,径向概率密度：,)径向分布,例：电子处在基态（1S态）：,因,当 时，,当 时，,所以，就是径向概率分布最大值的位置。,除了 和 外，其余各处的 都不为零。,的函数关系,的节点数 n r=n 1,)角分布,注意：,.几率极值位置可由 确定。,角向概率密度：,.几率与角无关，即几率函数为绕z轴旋转对称。,S态电子（n=1）,例：,概率分布与 也无关，是一个球对称分布。,P态电子（n=2）,概率分布图：,S-电子,P-态电子,概率分布图：,d态电子（n=3）：,将以上两方面的讨论结合起来看，按量子力学计算的结果，原子中的电子并不是沿着一定轨道运动，而是按一定的概率分布在原子核周围而被发现，人们形象地将这个概率分布叫做“概率云”。有时还将电子电荷在原子内的概率分布 称为“电子云”。因此只要给出氢原子定态波函数 的具体形式，就可计算在此状态下的概率云密度等。,结论,概率云密度,电子云密度,3.5 厄密算符本征函数的正交性,1.函数的正交性,如果函数、满足关系：,（积分遍及变量变化的全部区域）,则称函数、相互正交。,例：动量算符的本征函数：,满足：,当时：,即属动量算符不同本征值的两个本征函数,2.厄密算符本征函数正交性定理,定理：,属于厄米算符 的不同本征值的本征函数相互正交。,证明:,本征值方程,力学量算符 的本征值方程：,本征函数的正交性和归一性可以合写为：,由厄米算符的定义：,正交性,归一性,所以函数系 构成一正交归一函数系。,例:线性谐振子能量算符 的本征函数：,例2：角动量分量算符 的本征函数：,构成正交归一函数系,例3：角动量平方算符 的本征函数：,构成正交归一函数系,例4：氢原子能量算符 的本征函数：,综合上述三式，可合写为：,正交归一条件,组成正交归一函数系,以上的讨论假定了本征值为分立谱。若本征值为连续谱，本征函数的正交归一性应写成：,注意：,例如动量算符的本征函数的正交归一条件为：,前面的讨论假定本征值所属的本征函数均不相等，若 的本征值 是 度简并的，则属于的本征函数有 个：,且,此意谓着:一般情况下这f 个函数不正交，但可由它们重新进行线性组合：,仍是 属于本征值 的本征函数：,正交归一化条件,此共有 个确定的 关系式，但 的个数，故可以有许多种方法选择，使函数 满足上述正交归一化条件式。,综合上述讨论可作如下结论：厄密算符的本征函数总可取为正交归一化的，并可构成正交归一完备函数系。,3.6 算符与力学量的关系,1.算符与力学量关系问题的提出,设 为力学量算符，其本征方程为：,本征值：（本征值谱),本征函数：（正交归一完全函数系）,当体系处于 的本征态 时，表示的力学量有确定值，该值就是 在 态中的本征值，即,当体系不是处于 的本征态，而是处于任一个态，这时与它所表示的力学量之间的关系如何？,3.已讨论过：,问题：,.厄米算符本征函数的完全性,则称这组函数n(x)是完全的。,有一组函数n(x)(n=1,2,.),如果任意函数(x)可以按这组函数展开:,设 为厄米算符，其本征方程为：,则任意函数(x)可按n(x)展开：,(1),.展开系数 的意义,为求cn，将*m(x)乘上式并对x积分得：,为讨论该问题，将（1）代入归一化条件：,若 就是 的本征态,则由（1）知，其余系数,按（3）式知 具有几率的意义，在这种情况下，测量力学量 必定得 的结果。,由这个特例和（3）式看到 具有几率的意义，它表示在 态中测量力学量 得到结果是 本征值的几率，故 常称为几率幅，（3）式表明总几率为1。,基本假设,量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于 的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值；当体系处于波函数 所描写的状态时，力学量没有确定值，而只能取一系列可能值，这些可能值就是算符的本征值谱，其中取取的几率为。,此假设的正确性，由该理论与实验结果符合而得到验证。,据此假定，在一般状态中力学量一般没有确定的数值，而是具有一系列的可能值，这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值，每个可能值都以确定的几率被测得。,注意：,的本征值：,本征函数：,.力学量平均值,力学量算符 的本征值只有有分立谱时,则任一状态(x)可按n(x)展开：,根据几率求平均值的法则，力学量F在(x)态中的平均值为：,可证明：,证明：,若 不是归一化的波函数，则：,若 的本征值既有分立谱,也有连续谱时,解：,在能量本征态下测量到的动能平均值等于该态所对应的能量本征值。,例.求氢原子处于基态时电子动量的几率分布。,基态波函数：,动量算符的本征函数：,解：,其中,与动量值 的大小有关，与 的方向无关，由此得到动量 的几率分布,3.7算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系,1.算符的对易关系,若，,则称 与 不对易。,引入对易子：,若，,则称 与 对易。,设 和为两个算符,坐标算符和动量算符的对易关系力学量算符的基本对易关系,证明：,设 为任一可微函数,特别地，当 代入上对易式，即证得,同理可证：,对易恒等式,角动量算符的对易关系,证明：,定理,证明:,2.力学量同时有确定值的条件,设 是 和 的共同本征函数完全系，则,设 是任一状态波函数，,若算符 和 具有共同的本征函数完全系，则 和 必对易。,逆定理,证明:,设 是 的本征函数完全系，则,若算符 与 对易，则,（1）,（2）,为简单起见，只考虑非简并情况。由（1）、（2）式知，和 都是 属于本征值 的本征函数，它们最多相差一个常数因子，即,可见，也是 的本征方程的解。因此，是 的本征函数完全系。,若算符 与 对易，则它们具有共同的本征函数完全系,)若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。,)两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。,说明,)为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立。（这里就不再证明了）,几个例子,例2.角动量算符 和 对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系。,例1.动量算符 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系,例5.彼此不对易，故 一般不可能同时有确定值。,例4.坐标算符与动量算符不对易，故 一般不可同时具有确定值。,例3.氢原子的算符 彼此对易：,它们有共同的本征函数完备系,定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。,三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：,例2.,氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：,一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：,力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。,由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。,3.力学量完全集合,例3.,例1.,4.不确定关系(测不准关系),由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。,问题,两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？,不确定度,测量值Fn与平均值的偏差的大小。,测不准关系的严格推导,设 和 的对易关系为,考虑积分：,（再利用力学量算符的厄米性）,由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：,（称为测不准关系）,如果 不等于零，则 和 的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 和 不能同时测定。,由测不准关系 看出：若两个力学量算符 和 不对易，则一般说来 与 不能同时为零，即 和 不能同时测定（但注意 的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符 和 对易，则可以找出这样的态，使 和 同时满足，即可以找出它们的共同本征态。,故有,坐标和动量的测不准关系,或写成,简记为,表明：和 不能同时为零，坐标 的均方差越小，则与它共轭的动量 的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。,角动量的测不准关系,当粒子处在 的本征态时:,3.1 一维谐振子处在基态：求：(1)势能的平均值；(2)动能的平均值；(3)动量的几率分布函数。,解：,(1),第三章习题,(2),(3),动量几率分布函数：,3.2 氢原子处在基态：求：(1)r的平均值；(2)势能 的平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。,解:(1),(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为:,令,(4),(5),动量几率分布函数:,3.6 设t=0 时，粒子的状态为(x)=A sin2kx+(1/2)coskx 求粒子的平均动量和平均动能。,解：,可写成单色平面波的叠加,比较二式，因单色平面波动量有确定值：,或：,从而得：,归一化后。|c(pi)|2 表示粒子具有动量为 pi 的几率，于是就可以计算动量和动能的平均值了。,（1）动量平均值,（2）动能平均值,3.7 一维运动粒子的状态是 其中，求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。,解：(1)先求归一化常数，由,动量几率分布函数为:,(2),3.9 设氢原子处于状态:求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。,解：由题知：,（2）角动量平方的可能值为：,（1）氢原子能量的可能值：,（3）角动量Z分量的可能值为：,（4）对及，因其可能值只有一个，所以它们出现的几率均为1。,所以体系处于，即的几率为：,体系处于，即的几率为：,（5）平均值由平均值公式得：,3.11 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系:,解：,