平方映射的不动点课件.ppt

第二章 分岔与奇怪吸引子,第一节 简单数学分岔第二节 平方映射与倍周期分岔第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程第四节 李雅普诺夫指数与奇怪吸引子,分岔与奇怪吸引子,第一节 简单数学分岔 引言 分岔概念 1 切分岔 2 转换键型分岔 3 叉式分岔 4 霍夫型分岔,弹性压杆的分岔,引言 分岔概念,分岔是一种普遍的自然现象。力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。许多重要物理现象数学上可以某类微分方程来描述。数学上分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。,在Ps 平面上 当 PPc 时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向+s 或-s 方向,不同平衡状态的分岔点为 Pc。这时保持直线是不稳定的，稍有扰动平衡状态便会偏向+s 或-s。两种偏向+s 或-s 状态是稳定的。,1.切分岔,数学模型,利用方程：由 得平衡点(a)当0时,解 x0 为虚数，因此不存在奇点，(b)当0时出现两个奇点,，说明上述方程的解在 x0=0 处发生了分裂。0 两个奇点的稳定性 在解 x0 附近取一点，计算它与平衡点距离随时间变化。设距离：随时间变化：,忽略高阶量,解，当 时，此解是稳定的，是稳定的结点。解，当 时，解是不稳定的，它是鞍点。切分岔是一个鞍结分岔 相流形状,解的稳定性与相流,1.切分岔,解,2 转换键型分岔,利用方程：解在分岔点(x0,)(0,0)处发生转折，故称 转换键型分岔 解的稳定性 采用与分析切分岔稳定性同样的方法，知：0，平衡点 x0=0 是稳定的,平衡点 x0=-m 是不稳定的；0，平衡点 x0=0 是不稳定的，平衡点x0=+m 是稳定的。,数学模型,平衡点,由分岔图可见，0或0都是一对鞍结点：0时，轴线是结点，是不稳定的；0时，的轴线是不稳定的，是稳定结点。由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形状如下图。,2 转换键型分岔,相流,3 叉式分岔,利用方程：由 得平衡点分岔图形象一把叉子，故称岔式分岔。解的稳定性：0时只有 x0=0 的平衡点，经分析方法可知它是稳定的。0有三个平衡点，x0=0 是不稳定的，解 是稳定的。,数学模型,相流图形,杜芬方程具有叉式分岔由势能曲线知：a.在 时仅有一个平衡点：b.在 时存在三个平衡点：可见在参数 k=0 处发生了一次从单解转为三解的叉式分岔。c.在这三个平衡点中，处在势能极小点，是稳定的；处在势能极大点，是不稳定的平衡点。,3 叉式分岔,杜芬方程的叉式分岔,4 霍夫型分岔,数学模型,引入极坐标,求导,代入原方程,令正弦余弦系数相等,对方程 积分,可得：C，t0 为积分常数。,1.0，距离r 随时间而缩短，当时间 时。说明轴线上 各点是稳定的焦点。2.0，r 值随时间增长，不论初始 r 的大小；当 时形成闭合圈即极限环,4.霍夫型分岔,分岔分析,参数从负变到正，从焦点产生出极限环,这种分岔称霍夫分岔。分岔点位于=0。,范德玻耳方程分岔,引进参数作用量I 与角度量q,相位求平均,平衡点：,对于平衡点 I2 邻域有:为初始对I2 的偏离量。作用量 I 对的偏离量 随时间指数减小。当，,I2 是稳定 的解。,4.霍夫型分岔,对于平衡点 I1 邻域有:I0 是初始对 I1 的偏离小量。作用量I 随时间指数增长,I1是不稳定解,为不稳定焦点。,范德玻耳方程分岔,4.霍夫型分岔,结论 范德玻耳方程霍夫型分岔与参数的e 正负有关。上面讨论的是 e 为正值情况，即：如果 e 为正值，相平面上坐标原点是不稳定的焦点，而极限环是稳定的。不论初始相点处于环内还是环外，时总是趋向于极限环。如果 e 为负值，情况刚好相反，坐标原点变为稳定的焦点，为系统的不动点，而极限环则是不稳定的。当 时，环内相点趋于不动点，环外相点则远离环而去。,第二节 平方映射与倍周期分岔,1.平方映射2.平方映射的不动点及其稳定性3.平方映射的周期解及其稳定性4.倍周期分岔的功率谱,物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。一个以为连续变量的单参数的动力学系统：这里 为系统参数。设系统状态作等间隔 t，t+1，t+2，t+3，变化，则时间演化方程改写为：当时间间隔不取整数，各时刻写成 相应的状态为：时间演化方程变成离散方程：数学上称为映射的方程。在非线性发展史上第一个将映射方程用于研究系统进入混沌状态的是美国科学家梅(May Robert),映射方程,1平方映射,映射方程计算,对一个映射 的计算采用的是迭代方法。即给定一个初值 将其代入映射计算得，将 代入映射计算得，由 可算得，如此一直计算得：例如：一个简单映射 1 次迭代：2 次迭代：n 次迭代：于是有：如果将 值看成为一条线上的一个点，则该组数值就构成一条轨道。,1平方映射,动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：,映射与微分方程对应关系,迭代计算,解方程,1平方映射,平方映射导出生态平衡方程,1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种设想：一个世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。第 n 代有:第 n+1 代有:A 如不考虑生存环境对种群生存的影响，第 n 代与第 n+1代有如下关系：当 R 1，种群数量将线性地无限制增长。B 种群受环境制约，数量有最大限额，种群繁殖空间 第 n 代与第 n+1代关系,1平方映射,平方映射计算,方程展开 xn+1 值与 xn 值是平方关系，称平方映射，文献中称洛吉斯蒂映射(logistic map),该式是抛物线表示式，也称抛物映射。由于亲、子两代种群数约化值，在0 1间，参数取值在0，4内。离散映射采用迭代计算。即给定参数 m 值与初始值 x0，就有：设：各次计算值为：在此参数下，计算结果趋向一个终值：,1.平方映射,作图计算,准备:1.坐标2.作条抛物线：3.作的对角线，称恒等线通过它做投影。,1.平方映射,平方映射 在 平面上是一条抛物线，抛物线高度由 m 值决定。,作图计算,在横坐标x0 处作竖直线与抛物线相交，交点为 x1。从此点作水平线与对角线相交，此交点横坐标为 x1。由横坐标 x1 作垂线，与抛物线相交 x2，移植到对角线上，得横坐标x2。作图过程象结网，趋向于恒等线与抛物线交点 B，这是计算的终值。,1.平方映射,平方映射 在 平面上是一条抛物线，抛物线高度由 m 值决定。,作图计算,1.平方映射,平方映射 在 平面上是一条抛物线，抛物线高度由 m 值决定。,平方映射的不动点,通过作图或数值计算表明，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映射的不动点。一个映射的不动点就是xi与xi+1相同时的数值，它不再因继续迭代而发生变化。对平方映射，不动点为：解此方程得：即有两个不动点。实际上，两个不动点就是抛物线与迭代线的两个交点A与B。抛物线的高度与值有关，最大高度在 m=1/2 处且等于/4。如果参数 较小(m1)，抛物线高度较低，它与迭代线只有一个交点，即原点A。在这种情况下，不管初值如何迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。,2.平方映射的不动点,平方映射的两个不动点,2.平方映射的不动点,m1时走向不动点 A,当参数m1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次数 n 的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。,2.平方映射的不动点,=13 时走向不动点B,当 1 时平方映射会出现第二个不动点。下图 m 值为2.0与1.8时的迭代，可以看到虽然起始值很小，但每次迭代值增加，这是一个指数增长并最终稳定的过程。终值与起始值无关。,2.平方映射的不动点,2.3 时振荡走向不动点B,当 m 值增大到2.3 时，迭代结果开始出现振荡起伏，然后逐步稳定在某个数值。例如，当m=2.8 时，迭代值经过多次衰减振荡后逐步稳定。,2.3 时通过振荡走向不动点B,2.平方映射的不动点,不动点的稳定性,非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。上述计算可见，当3迭代值出现持续振荡，说明迭代在=3附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。如一维映射 具有不动点，即有解 设 en 为对不动点的偏离量，需继续迭代，有：对右边在 x*附近展开：略去的高阶小项，利用不动点方程则得：对于稳定的不动点，应有：，即对于不稳定的不动点,应有:，即,2.平方映射的不动点,不动点的稳定性,对于稳定的不动点，应有,即：,映射在不动点处斜率为 45,迭代单调的趋近于,迭代经过几次起伏趋近于,超稳定不动点，最有利的稳定情况，迭代图上对应于,2.平方映射的不动点,不动点的稳定性,对于稳定的不动点，应有,即：,2.平方映射的不动点,二周期解,当参数从=2.8 继续增大时，迭代出现的振荡将维持下去，这种情况称为周期解。图为=3.2时迭代情况，取 x0=0.04，在迭代进行几次后，其终值在一大一小的两个定值之间跳跃，并与起始值无关，称为周期2 轨道运动。,3.平方映射的周期解,=3.2 时xn+1在一大一小两个值间跳跃,四周期解,值进一步增大时迭代会出现的振荡起伏。值增大到3.5 以上，迭代的终值起伏每隔四次出现重复，称为周期 4 轨道运动。图为=3.52 时的 xn+1n 曲线，仍取x0=0.2为起始值。,=3.52 xn+1出现4周 期循环,3.平方映射的周期解,倍周期解序列,计算表明，随 m 的增加，稳定的周期轨道还在增加，于是可得如下倍周期分岔序列。1.00 m 3.00 周期1轨道(不动点)3.00 m 3.4495 周期2轨道 3.4495 m 3.5541 周期4轨道 3.5541 m 3.5644 周期8轨道 3.5644 m 3.5688 周期16轨道 通常在确定的值下，迭代会进入一个周期 p的重复循环，即在次数 in 后迭代有：xn，xn+1，xn+p-1 xn+p，xn+p+1，xn+2p-1重复相同的值，称为周期 p 轨道。如 P=1，称周期1轨道，为不动点；p=2为周期2轨道，p=4为周期4轨道。迭代也会进入轨道点xi永不重复情况，即无周期状态。但若每迭代一定次数，轨道点虽没有准确回到某个初始点xk，但与该点非常接近，则这种情况称为准周期轨道。它可看作无限长周期轨道。,3.平方映射的周期解,参数的变化引起轨道的周期性发生变化，类似于不动点的稳定性，映射的周期解也有一个稳定性问题。平方映射在=3.3时，对周期1轨道是不稳定的，但对周期2轨道来说可满足稳定性条件。对于周期 2 轨道：代入映射方程：复杂的表达式作图出来很清楚，这是一条M形曲线。上图为 曲线,下图为 曲线。,周期2的稳定性,3.平方映射的周期解,周期2的稳定性,周期轨道与不动点之间具有类似性。根据上述对 的计算：体系 有一个周期2轨道 体系 应有两个不动点。对=3.3，f(f(m,xn)有四个不动点：其中 与 是 的不动点，对应周期1轨道；剩下两个点即是周期 2 轨道点。,3.平方映射的周期解,多周期轨道的稳定性,已知 的不动点稳定性条件为：即在不动点处斜率小于45。对于周期 2轨道，设 有解。则在 的不动点处应有：结论：周期2的不动点的稳定性决定于与两点处函数点的斜率。推广到任意的周期轨道，即从求出周期 n 轨道的不动点。然后由 m 判定其稳定性。,3.平方映射的周期解,复合函数导数链法则,功率谱,表示一个非线性系统的运动状态，除采用时域方法（振动的时间图）表示外，更多地使用了相图（状态图）表示方法。此外频谱表示也是一种重要的分析方法。随着参数值的增加，平方映射出现了轨道周期成倍加长的倍周期分岔。从频谱角度看，每次分岔意味着频谱图中出现一批对应的新的频率分量。因此需要从频谱变化角度来讨论一下分岔现象。相图与频谱图有对应关系。频率为 f 的正弦周期运动，在相空间里是闭合圆环。频谱图上是在以频率为横坐标的 f 处一个无限狭窄尖峰，峰的高度为该分量的功率，称功率谱。当倍周期分岔成周期2轨道，相图上轨线转两圈后闭合，功率谱上为除 f 处的原有谱峰外，在 f/2处出现新谱峰分量；若系统再次分岔成周期4轨道，轨线需转四圈后才闭合，功率谱上除 f 与 f/2 处两个峰外在 f/4 与3 f/4 出现两个新谱峰，如此等等。,4.倍周期分岔的功率谱,周期轨道与功率谱,4.倍周期分岔的功率谱,可以预计，随着参数逼近值，由分岔引起的频谱会越来越密，但是当参数越过值后，迭代进入无穷大周期的随机状态，即混沌运动状态，而功率谱也将从分立谱过渡到不可分的连续谱。因此从功率谱角度来看，如考虑到可能存在的噪声，混沌运动的特征是具有噪声背景的宽谱带。,4.倍周期分岔的功率谱,平方映射的功率谱,对于平方映射，1P（周期1）的不动点，功率谱中只有基频 f，和有可能出现基频的倍频峰：2f，3f，；当1P2P的分岔后，会出现f/2的分频，以及有可能出现f/2分频的倍频峰：3/2，5/2，；经2P4P的分岔，功率谱图应出现的是1f/4 和 3f/4 的分频以及它们的谐波。右图是平方映射经4P8P分岔后的各分频峰的功率谱（图中未给出各谐波峰）。,功率谱的计算,为了计算功率谱，通常对轨道的点作大量取样，然后作快速傅立叶分析。设按等时间 间隔得到时间序列：再加上边界条件，然后计算自相关系数，即离散卷积：再对 作离散傅立叶变换，计算出傅立叶系数 Pk 代表第k个频率分量对 xi 的贡献。,4.倍周期分岔的功率谱,