《数学史》古希腊数学.ppt

古希腊的变迁,公元前6前4世纪末,公元前11世纪前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区公元前9前6世纪：希腊各城邦先后形成,亚历山大后期：公元前30公元640年,西罗马帝国：公元395476年东罗马帝国：公元3951453年（610年改称拜占廷帝国）,公元前11世纪前6世纪,亚历山大前期：公元前4世纪末前30年(希腊化时期),罗马帝国：公元前27公元395年,希腊时期,亚历山大时期,波希战争（前499前449）,历史背景,公元前338年，喀罗尼亚战役后，希腊人被征服，雅典学派从此一蹶不振（代表人物是柏拉图、亚里士多德等）。公元前332年，亚历山大大帝在尼罗河入口处，建立亚历山大城，希腊科学的中心随之转移到亚历山大城。,2.2 黄金时代-亚历山大学派,欧几里得欧几里得（Euclid,约公元前330前275）可能是柏拉图的再传弟子，在雅典求学。公元前三、四世纪之交受托勒密王邀请，执教于亚历山大柏拉图学院。欧几里得至少有十部著作，其中有五部被完整地保存下来，（数据论剖分现象光学和镜面反射）但最具影响的是原本。这部著作完全取代了所有以前的数学原理之类的书，刚一出现，就受到人们最大的重视。,亚历山大大帝,亚历山大大帝（公元前356年前323年），生于马其顿王国首都派拉城，曾师从古希腊著名学者亚里士多德，十八岁随父出征，二十岁继承王位,是欧洲历史上最伟大的军事天才，马其顿帝国最富盛名的征服者。他雄才伟略，勇敢善战，领军驰聘欧亚非大陆，使得古希腊文明广泛传播，是世界古代史上最著名的军事家和政治家。,亚历山大大帝,是欧洲历史上最伟大的四大军事统帅之一（亚历山大大帝、恺撒大帝、汉尼拔、拿破仑），他足智多谋，在担任马其顿国王的短短13年中，以其雄才大略、东征西讨，先是确立了在全希腊的统治地位，后又灭亡了波斯帝国。在横跨欧、亚的辽阔土地上，建立起了一个以巴比伦为首都的疆域广阔的国家。创下了前无古人的辉煌业绩，促进了希腊古文化的繁栄和发展、东西方文化的交流和经济的发展，对人类社会文化的进展产生了重大的影响。,亚里士多德,亚里士多德（前384前322年），古希腊斯吉塔拉人，世界古代史上最伟大的哲学家、科学家和教育家之一。是柏拉图的学生，亚历山大的老师。公元前335年，他在雅典办了一所叫吕克昂的学校，被称为逍遥学派。马克思曾称亚里士多德是古希腊哲学家中最博学的人物，恩格斯称他是古代的黑格尔。,公理与公设,亚里士多德认为：公理，是一切科学公有的真理 公设，则是为某一门科学所接受的第一性原理。,欧几里得,欧几里得（约公元前330年前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年前283年）时期的亚历山大城，他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基人,欧几里得，约公元前300,在长达两千多年的时间里，欧几里德的几何原本一直是世界各国的标准教科书。几何原本第一册的第47个命题就是勾股定理，书中给出了严格的，真正的数学意义上的证明。在第六册的第31个命题里，欧几里德还推广了勾股定理，他证明了：,（见下页）,直角三角形斜边上的多边形，其面积为两条直角边上与之相似的多边形面积之和。,学园便是全部的生活,欧几里得(Euclid)是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。,在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套知识体系，已经是刻不容缓。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心，要在有生之年完成这一工作。,为了完成这一重任，欧几里得不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷。在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说。经过欧几里得忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的几何原本一书。这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域欧几里得几何学，简称欧氏几何。,不朽的平面几何学著作,几何原本是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。传到今天的欧几里得著作并不多，然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中，看出他真实的思想底蕴。,2.2.1 欧几里得与几何原本,关于原本英国学者A.Demorgan(1806-1871)曾说：除了耶稣圣经外，再没有一种书像原本那样拥有如此众多的读者。原本被译成1000多种的语言版本，原著早佚。今传本据亚历山大Theon（约公元390年前后）修订本，以及在罗马梵蒂冈发现的希腊文手抄本翻译。,欧几里得与几何原本,原本在我国传播1607年徐光启（15621633）与意大利传教士利玛窦（M.Ricci，1552-1610）合译O.Clauvius（15371612）校订、增订的拉丁文本原本前6卷。1857年，李善兰（18111882）与英国传教士伟烈亚历（A.Wylie，18151887）续译后9卷。,欧几里得与几何原本,原本的内容“原本”原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。这本著作用公理法对当时的数学知识作系统化、理论化的总结。共分13卷，包括5条公理、5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。,那么，何谓公理？何谓公设呢？,公理与公设,所谓公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律。即“不证自明”的命题。（现在的定义）,亚里士多德认为：公理，是一切科学公有的真理 公设，则是为某一门科学所接受的第一性原理。,一门学科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。如果我们把一门学科比作一幢大楼，那么该学科的公理或公设就像大楼的地基，整幢大楼必须以它为基础而建立起来。公理或公设，后来发展成为现在的公理化思想。,原本各卷内容一览表,几何原本第一卷,第一卷给出了一些最基本的定义（119个），5个公设和5个公理。定义1.点是没有部分的那种东西。2.线是没有宽度的长度。3.一线的两端是点。4.直线是同其中各点看齐的线。5.面是只有长度和宽度的那种东西。6.面的边缘是线。,几何原本第一卷,公设1.假定从任意一点到任意一点可作一直线。2.一条有限直线可不断延长。3.以任意中心和直径可以画圆。4.凡直角都彼此相等。5.若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。,几何原本第一卷,公理1.等于同量的量彼此相等。2.等量加等量，和相等。3.等量减等量，差相等。4.彼此重合的图形是全等的。5.整体大于部分。,几何原本前六卷,（1）平面几何前六卷主要平面几何，共173个命题。第一卷的内容是关于全等形的一些定理，平行线，毕达哥拉斯定理，初等作图法，等价形和平行四边形。,命题29一直线与两平行线相交时内错角相等，同位角相等，且同旁内角之和等于两直角。证明（归谬法）：假定设较大，两者都加上则有根据平行线公设，AB与CD两给定直线就相交。,若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。,命题47直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上两个正方形之和。命题48若三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角。,几何原本第二卷,第二卷的突出内容是对代数几何化的贡献。两数相加看成把一线段加上另一线段的长。两数的乘积看成两边长等于两数的矩形的面积。三数的乘积看成一立方体的体积。两数相除看成两线之比。两数乘积被第三数除看成：以第三数（长）为边作一矩形，使其面积等于所给乘积。矩形的另一边就是商。,几何原本第二卷,命题1若有两直线其中一线被割成任何多个段，则两直线所作矩形等于未割之线与各段所作出的各个矩形之和。,几何原本第三卷,第三卷含37个命题，主要讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角等等。命题14同圆内等弦的弦心距相等；弦心距相等则弦相等。命题22内接于圆的四边形，其对角和是二直角。命题32直线切于一圆，弦与切线的夹角等于弦所对圆周角。命题35圆内有相交二弦，其中一弦上所截线段围成的长方形等于另一弦上所截线段围成的长方形。,几何原本第四卷,第四卷，有16个命题，主要论述圆的内接和外切图形命题12作已给圆的外切正五边形。命题15作已给圆的内接正六边形。,几何原本第五卷,第五卷，讲比例论，是以欧多克斯的工作为基础。命题1如果某些量依次是另一些量的倍量，则前者之和是后者之和的同倍量。即如果ma,mb,，mc是a,b,c的倍量，则ma+mb+mc=m(a+b+c)命题12一些量成比例，则它们的前项和与后项和之比等于其中某一前项与对应后项之比。,几何原本第六卷,第六卷讲相似形，主要是利用第五卷的比例理论讨论相似形。命题1有等高的三角形或平行四边形，彼此大小之比等于它们底的比。命题2平行于三角形底的直线截另二边成比例的线段。如果三角形两边被截成比例的线段，则截线平行于另一边。命题5三角形对应边成比例，则对应边所对角相等。命题19相似三角形之比等于对应边平方之比。,几何原本第七、八、九卷,第七、八、九卷讲数论，即讲述关于整数和整数之比的性质，是原本中纯粹讨论算术的唯一篇章。命题1有相异二数，从大数连续减去小数，直到余数小于小数。又从小数连续减去余数，直到小于余数。一直做类似运算，如果余数总是量不尽前面一个数，直到最后的余数是单位，则二数互素。命题2求不互素数的最大公约数。命题19四数成比例，则第一、四两数乘积等于第二、三两数乘积，反之亦然。,几何原本第七、八、九卷,命题35：给出了关于完全数的一个著名定理：若几何级数（从1开始）一些项之和 是质数，那么这个和同最末一项的乘积是完全数，即,相当于说：若是 素数，则 是完全数。,注：如果一个数等于其真因子的和，称为完全数。如：6=1+2+3,几何原本第十卷,第十卷是讨论不可公度量，篇幅最大，但仅涉及了可表为 的无理数。命题29求二平方数，使其和也是平方数。,几何原本第十一卷,第十一卷论述讲立体几何的内容。命题3二平面相交成直线。命题4一直线与另二直线相交成直角，则此直线垂直于另二直线所在平面。命题16二直线为平行平面所截，所截得的线段成比例。命题32等高平行六面体的比等于底的比。,几何原本第十二卷,第十二卷主要论述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体积定理。并用穷竭法加以证明。命题5等高三棱锥之比等于它们底之比。命题7三棱柱可以分成三个彼此相等的三棱锥。命题10圆锥是同底等高圆柱的三分之一。,几何原本第十三卷,第十三卷主要论述正多面体的体积理论，并用穷竭法加以证明。命题8圆内接正多边形一边上的正方形等于同圆正六边形边上正方形与内接正十边形边上正方形之和。命题12圆内接正三角形边上的正方形等于圆半径上正方形的三倍。,比例的定义：设 A,B,C,D是任意四个量,其中A和B同类(即均为线段、角或面积等),C和D同类.如果对于任何两个正整数 m 和n,关系m A n B是否成立,相应地取决于关系m C n D是否成立,则称A与B 之比等于C与D 之比,即四量 A,B,C,D成比例.,比例论举例 定理:如果两个三角形的高相等,则它们的面积之比等于两底长之比,总评,几何原本在人类文明史上，有着无与伦比的意义。它使人们认识到了数学是什么，证明又是什么。成千上万的人，通过学习几何原本，受到了严格的数学训练并步入科学的殿堂。它是数学史上的瑰宝。,2.2.2 阿基米德的数学成就,阿基米德阿基米德（Archimedes，公元前287前212）生于西西里岛叙拉古（Syracus）。曾在亚历山大城跟从欧几里得的学生学习。后人称赞他与牛顿、高斯并为数学界三杰。,阿基米德,古希腊哲学家、数学家、物理学家。出生于西西里岛的叙拉古。阿基米德到过亚历山大里亚，据说他住在亚历山大里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机。后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称。阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。,这些著作的特点，是用严格的数学方法，对力学和物理学问题作详细的研究，从而开应用数学之先河。,阿基米德,阿基米德【Archimedes】（约前287年前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，静力学和流体静力学的奠基人。出生于西西里岛的叙拉古。从小就善于思考，喜欢辩论。早年游历过古埃及，曾在亚历山大城学习。据说他住在亚历山大里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机，今天在埃及仍旧使用着。第二次布匿战争时期，罗马大军围攻叙拉古，最后阿基米德不幸死在罗马士兵之手。他一生献身科学，忠于祖国，受到人们的尊敬和赞扬。,阿基米德,阿基米德的父亲是天文学家和数学家，所以阿基米德从小受家庭影响，十分喜爱数学。大概在他九岁时，父亲送他到埃及的亚历山大大城念书。亚历山大城是当时世界的知识、文化中心，学者云集，阿基米德在这里跟随许多著名的数学家学习，包括有名的几何学大师欧几里德，在此奠定了他日后从事科学研究的基础。,浮力原理的发现,关于浮力原理，有这样一个传说：相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠，做好后，国王疑心工匠在金冠中掺了假，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重。工匠到底有没有捣鬼呢？既想检验真假,又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑。后来，国王请阿基米德来检验。最初，阿基米德也是冥思苦想而不得要领。一天，他在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起。他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重。他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿上就跑了出去，大声喊着“我知道了”.,他经过了进一步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度不相同，所以证明了王冠里掺进了其他金属。这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王，阿基米德从中发现了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中所获得的浮力，等于他所排出液体的重量。一直到现代，人们还在利用这个原理计算物体比重和测定船舶载重量等。,中国也有一个类似的故事，你知道吗?,曹冲称象,曹冲生五六岁，智意所及，有若成人之智。时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：“置象于船上，刻其水痕所至。称物以载之，则校可知矣。”太祖悦，即施行焉。,给我一个支点，我可以撬动地球,当时的欧洲，在工程和日常生活中，经常使用一些简单机械，譬如：螺丝、滑车、杠杆、齿轮等，阿基米德花了许多时间去研究，发现了“杠杆原理”和“力矩”的观念。对于经常使用工具制作机械的阿基米德而言，将理论运用到实际的生活上是轻而易举的。他自己曾说：“给我一个支点和一根足够长的杠杆，我就能撬动整个地球。”,刚好国王又遇到了一个棘手的问题：国王替埃及托勒密王造了一艘船，因为太大太重，船无法放进海里，国王就对阿基米德说：“你连地球都举得起来，把一艘船放进海里应该没问题吧？”于是阿基米德立刻巧妙地组合各种机械，造出一架机具，在一切准备妥当后，将牵引机具的绳子交给国王，国王轻轻一拉，大船果然移动下水，国王不得不为阿基米德的天才所折服。从这个历史记载的故事里我们可以明显的知道，阿基米德极可能是当时全世界对于机械的原理与运用，了解最透彻的人。,当代数学大师,阿基米德同时还是数学家和天文学家。在数学方面，他利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家依据这样的“逼近法”加以发展成近代的“微积分”。他研究出螺旋形曲线的性质，现今的“阿基米德螺线”曲线，就是为纪念他而命名。另外他在恒河沙数一书中，他创造了一套记大数的方法，简化了记数的方式。,阿基米德,罗马帝国派马塞拉斯将军领军从海路和陆路同时进攻叙拉古，阿基米德眼见国土危急，护国的责任感促使他奋起抗敌，于是他绞尽脑汁，日以继夜的发明御敌武器。,根据记载，阿基米德召集城中百姓手持镜子排成扇形，将阳光聚焦到罗马军舰上，烧毁敌人船只（不过，电视节目流言终结者曾经针对这个传说做过实验，结果认为这实际上几乎不可能成功）；他还利用杠杆原理制造出一批投石机，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪。这些武器弄的罗马军队惊慌失措、人人害怕，连大将军马塞拉斯都苦笑的承认：“这是一场罗马舰队与阿基米德一人的战争”、“阿基米德是神话中的百手巨人”。,个人著述,阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。他的著作集中探讨了求积问题，主要是曲边图形的面积和曲面立方体的体积，其体例深受欧几里德几何原本的影响，先是设立若干定义和假设，再依次证明，作为数学家，他写出了论球和圆柱、圆的度量、抛物线求积、论螺线、论锥体和球体、沙的计算数学著作。作为力学家，他着有论图形的平衡、论浮体、论杠杆、原理等力学著作。,（1）著作简介,抛物线求积法：研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。,球与圆柱：熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的。在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理”。,圆的度量:利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率为：，这是数学史上最早的、明确指出误差限度的值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。,浮体：是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。,论锥型体与球型体：讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。,平面的平衡：是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。,论螺线：是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。,砂粒计算：是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。,力学方面,成就最突出,力学创始人，被誉为“力学之父”。阿基米德在物理学方面的工作主要有两项，一是关于平衡问题的研究，杠杆原理即属于此。另一项是关于浮力问题的研究，中学物理所学的浮力定律属于此类。,论杠杆,杠杆原理告诉人们，动力臂越长，阻力臂越短，就能以较小的力量撬起更重的物体。也就是说用力点离支点越近，阻力点离支点越远，就越费力；反之，用力点离支点越远，阻力点离支点越近，就越省力。,阿基米德把观察和数学推理、理论研究和实际应用相结合，建立了流体静力学的基本原理,即阿基米德原理：物体在液体中所受的浮力的大小等于物体排开的液体体积的重量。,论证了杠杆平衡的条件，给出了严密的公理陈述及若干定理的证明，即今天的杠杆原理，为静力学奠定了基础，提出了精确地确定物体重心的方法，指出在物体的中心处支起来，就能使物体保持平衡。对此,阿基米德有句名言：“给我一个支点，我能撬动整个地球。”,原理,即阿基米德定律。浸在液体（或气体）里的物体受到向上的浮力作用，浮力的大小等于被该物体排开的液体的重力。适用范围：液体、气体，其公式可记为F浮=G排=液gV排（浮力的有关因素:浮力只与液,V排有关,与物(G物),h深无关,与V物无直接关系）。,现已公认海伦公式是阿基米得发现的，但这个名称已成为习惯用法。海伦公式:三角形三边为a,b,c.其面积S=根号(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)其中p=(a+b+c)/2。海伦公式(Herons formula)，又译希伦公式、海龙公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据 Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。,阿基米德在这些著作中渗透的数学思想,1“平衡法”中心思想 要计算一个未知量（图形的体积或面积），先将它分成许多微小的量（如面分成线段，体积分成薄片等），再用另一组微小的单元来进行比较.但通常是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小的量获得平衡，而后者的总和比较容易计算.这实际上就是近代积分的基本思想.而阿基米德可以当之无愧地被称为“积分学的先驱”.,平衡法求球的体积,球：,圆柱：,2R(球体积圆锥体积)4R圆柱体积,圆锥：,2R(球体积,球体积,（1）用平衡法求球的体积,将球、圆锥、圆柱均完全分割成厚度为x的薄片，并将所有球与圆锥的薄片都挂到P点，圆柱薄片都留在原处。左力矩和=（球体积+锥体积）2R 右力矩和=柱体积R（球体积+锥体积）2R=4柱体积R球体积=2柱体积锥体积,（2）抛物弓形求积,P56,平衡法求抛物线弓形的面积,（2）抛物弓形求积,任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四,抛物弓形求积命题21已知抛物线弓形，PR是底，Q是顶点，Q1是PQ为底的另一抛物线弓形顶点，那么PQR=8PQQ1命题24抛物线弓形面积是其内接三角形的三分之四倍。,2穷竭法,穷竭法就是指某个图形（如圆）被另一个图形（如内接多边形）所逐步“穷竭”，即填满.在圆的度量中，阿基米德用穷竭法求出了圆周长和面积公式.他从圆的内接正三角形开始，变数逐步加倍，计算到正96边形时得到了圆周率的近似值为，还证明了与球的表面积和体积相关的重要结果.,数学分析中有哪些这方面的例子呢？,设圆面积为A，三角形的面积为T，证明AT和AT都不可能，所以A=T.,圆的度量:利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率为：，这是数学史上最早的、明确指出误差限度的值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。,阿基米德将欧几里德提出的趋近观念作了有效的运用，他提出圆内接多边形和相似圆外切多边形，当边数足够大时，两多边形的周长便一个由上，一个由下的趋近于圆周长。他先用六边形，以后逐次加倍边数，到了九十六边形，求出的估计值介于3.14163和3.14286之间。,阿基米德螺线,阿基米德论螺线中定义了“阿基米德螺线”：当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为:r=a。这种螺线的每条臂的距离永远相等于2a。,通俗的说，阿基米德螺线就是既作匀速转动又作匀速直线运动而形成的轨迹。,举一个形象一点的例子：时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹就是阿基米德螺线（如图3）。,阿基米德螺线的简单画法,有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线在拉紧状态，然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，就得到了阿基米德螺线。,阿基米德螺线在实际生活中的应用,为解决用尼罗河水灌溉土地的难题，阿基米德发明了圆筒状的螺旋扬水器，后人称它为“阿基米德螺旋”。阿基米德螺旋是一个装在木制圆筒里的巨大螺旋状物（在一个圆柱体上螺旋状地绕上中空的管子），把它倾斜放置，下端浸入水中，随着圆柱体的旋转，水便沿螺旋管被提升上来，从上端流出。这样，就可以把水从一个水平面提升到另一个水平面，对田地进行灌溉。“阿基米德螺旋”扬水机至今仍在埃及等地使用,自然界中的多种多样的螺线,在植物中，有紫藤、茑萝、牵牛花等缠绕的茎形成的曲线，烟草螺旋状排列的叶片，丝瓜、葫芦的触须，向日葵籽在盘中排列形成的曲线；甚至构成生命的主要物质蛋白质、核酸及多糖等生物大分子也都存在螺旋结构，如人类遗传基因(DNA)中的双螺旋结构。,凤螺科中的沟纹笛螺，明螺科中的明螺，又如塔螺科的爪哇拟塔螺、奇异宽肩螺、笋螺科的拟笋螺等大多数螺类，它们的外壳曲线都呈现出各种螺旋状。,原因,由于在柱面内过柱面上两点的各种曲线中螺线长度最短，对于茑萝、紫藤、牵牛花等攀缘植物而言，如何用最少的材料、最低的能耗，使其茎或藤延伸到光照充足的地方是至关重要的。而在各种曲线中，螺线就起到省材、节约能量消耗的作用，在相同的空间中使其叶子获取较多的阳光，这对植物光合作用尤为重要.,螺旋线对于生活在水中的大多数螺类软体动物也是十分有意义的。观察螺类在水中的运动方式，通常是背负着外壳前进，壳体直径粗大的部分在前，螺尖在后。当水流方向与运动方向相反时，水流沿着壳体螺线由直径大的部分旋转到直径小的部分直到螺尖。水速将大大减小，这样位于壳体后水的静压力将大于壳体前端的静压力。在前后压力差的作用下，壳体将会自动向前运动。这样一来，来自水流的阻力经锥状螺线的转化变为前进的动力。除此而外，分布在螺类外壳上的螺线像一条肋筋，大大增加了壳体的强度，也分散了作用在壳体上的水压。,天文学方面,阿基米德在天文学方面也有出色的成就。除了前面提到的星球仪，他还认为地球是圆球状的，并围绕着太阳旋转，这一观点比哥白尼的“日心地动说”要早一千八百年。限于当时的条件，他并没有就这个问题做深入系统的研究。但早在公元前三世纪就提出这样的见解，是很了不起的。,科学成就,重视实践 阿基米德既重视科学的严密性、准确性，要求对每一个问题都进行合乎逻辑的证明；又非常重视科学知识的实际应用。他非常重视试验，亲自动手制作各种仪器和机械。他一生设计、制造了许多机构和机器，除了杠杆系统外，值得一提的还有举重滑轮、灌地机、扬水机以及军事上用的抛石机等。被称作“阿基米德螺旋”的扬水机至今仍在埃及等地使用。,圆柱容球,阿基米德算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍。而他又导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，这个定理就刻在他的墓碑上。,论球和圆柱命题34球体积等于以球的大圆为底、球半径为高的 圆锥体体积的4倍。,阿基米德之死,据说罗马兵入城时,统帅马塞拉斯出于敬佩阿基米德的才能,曾下令不准伤害这位贤能。而阿基米德似乎并不知道城池已破,又重新沉迷于数学的深思之中。一个罗马士兵突然出现在他面前,命令他到马塞拉斯那里去,遭到阿基米德的严词拒绝,于是阿基米德不幸死在了这个士兵的刀剑之下。,阿基米德之死,另一种说法是:罗马士兵闯入阿基米德的住宅,看见一位他在地上埋头作几何图形，可阿基米德却对他的到来没有反应，士兵拿刀子在他眼前晃了晃，阿基米德才反应过来。只见他没有逃，而是对士兵说 你们等一等再杀我，我不能给世人留下不完整的公式！还没等他说完，士兵就杀了他。他是带着遗憾死去的。马塞拉斯对于阿基米德的死深感悲痛。他将杀死阿基米德的士兵当作杀人犯予以处决,并为阿基米德修了一座陵墓,在墓碑上根据阿基米德生前的遗愿,刻上了圆柱容球这一几何图形。,总评,阿基米德的几何著作是希腊数学的顶峰。他把欧几里得严格的推理方法与柏拉图鲜艳的丰富想象和谐地结合在一起，达到了至善至美的境界，从而“使得往后由开普勒、卡瓦列利、费马、牛顿、莱布尼茨等人继续培育起来的微积分日趋完美”。阿基米德是数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称。,个人影响,美国的E.T.贝尔在数学人物上是这样评价阿基米德的：“任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两个通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。”阿基米德是数学家与力学家的伟大学者，他的几何著作是希腊数学的顶峰，因此被作为“阿尔法”，即一级数学家。他的作品始终融合数学和物理，因此阿基米德被称为“物理学之父”。,谢 谢！,