曲线系方程及应用.docx

曲线系方程及应用高中数学竞赛一试内容讲座 曲线系方程及应用 一曲线系方程 直线系：lf1(x,y)+mf2(x,y)=0； ì相交圆系：lf1(x,y)+mf2(x,y)=0ï圆系í 22ï：(x-x0)+(y-y0)+l(Ax+By+C)=0î与直线切于一点的圆系二元二次曲线C：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线的类型： ì椭圆型ïï í双曲线型 ïïî抛物线型圆锥曲线系 定理一：给定五点，其中三点在直线l上，另外两点不在l上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线 定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线 推论一：若圆锥曲线C1:f1(x,y)=0与C2:f2(x,y)=0有四个不同交点，则过两 曲线交点的曲线方程为：lf1(x,y)+mf2(x,y)=0 推论二：若直线l1(x,y)=A1x+B1y+C1=0及l2(x,y)=A2x+B2y+C2=0与圆 锥曲线C：f(x,y)=0有四个不同交点，则过这四个交点的曲线系方程 为：lf(x,y)+ml1(x,y)l2(x,y)=0 推论三：若四直线l1:l1(x,y)=0及l2:l2(x,y)=0与l3:l3(x,y)=0及 l4:l4(x,y)=0有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为： ll1(x,y)l2(x,y)+ml3(x,y)l4(x,y)=0 1 高中数学竞赛一试内容讲座 推论四：Pi(i=1,2,3)为不共线三点，直线PiPi+1(i=1,2,3,P4=P1)的方程为： li(x,y)=Aix+Biy+Ci=0则曲线系为： l1l1(x,y)l2(x,y)+l2l2(x,y)l3(x,y)+l3l3(x,y)l1(x,y)=0 二曲线系方程的应用 例 求一条经过五点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(- 例 四条直线l1:x+3y-25=0,l2:kx-y-6=0,l3:x+5y=0,l4:y=0围成一个四边形，问k取何值时，此四边形有一个外接圆，并求出此外接圆的方程 例 已知AB，CD是椭圆D四点共圆 2 11,)的圆锥曲线 22xa22+yb22=1的两条倾斜角互补的两条弦，求证：A，B，C，高中数学竞赛一试内容讲座 例 已知三角形三边所在直线方程为x=0,y=0,x+y-1=0，求经过这个三角形的三个顶点，且过(3,1)点的抛物线方程 例求过点A(1,-2),B(9,-6),且与直线x-2y+4=0切于点C(4,4)的抛物线方程 例过已知二次曲线的弦的中点任意作两条弦，求证：过， 的任意二次曲线被直线所截得的线段均为点所平分 例已知四边形ABCD的边AB，CD相交于O，过O点任作一直线l交AC于E，交BD于F，过A，B，C，D任作一圆锥曲线S与l相交于G，H，求证： 3 1OC+1OH=1OE+1OF 高中数学竞赛一试内容讲座 例若二次曲线的内接六边形的三组对边都不平行，求证：三组对边所在直线的交点共线 二练习 已知椭圆x2+2y2-4=0与两条直线x+y-1=0,2x+y+1=0有四个交点，求过这个交点的二次曲线的方程 求过点O(0,0),A(1,1),B(-1,1),C(2,0),D(3,-2)五点的二次曲线方程 在中，弦的中点，过任作两条弦，分别交于，求证： 三个圆两两相交，证明：三条公共弦所在直线平行或交于一点 4