数学分析第91节定积分概念课件.ppt

第9.1节 定积分概念(Conceptions of definite Integrals),问题的提出定积分的定义定积分的几何意义,实例1 曲边梯形的面积问题(Area Problem),一、问题的提出（Introduction),要解决两个问题:一个是给出面积的定义;一个是找出计算面积的方法.微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算.,曲边梯形：,用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,解决问题的基本思路：局部以“直”代“曲”，即,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,(i)分割,(ii)作积,(iii)求和,曲边梯形面积的近似值为,(iv)取极限,积分和或黎曼和,分割的模,实例2 变速直线运动的路程问题,把整段时间分割成若干小段；每小段上速度看作不变，求出各小段的路程近似值；相加得到路程的近似值；最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,对于匀速运动：路程=速度时间,解决该问题的思路：局部以“匀速”代替“非匀速”,(i)分割,(iii)求和,(iv)取极限,(ii)作积,并称 J 为 f 在 a,b上的,及任意,定积分,记作,二、定积分的定义(Definition of Definite Integral),定义,积分上限,积分下限,黎曼和,a,b积分区间,注意(i),(ii),(iii),(iv),曲边梯形的面积,变速直线运动的路程,中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求,f(x)在每个小区间 xi1,xi 上变化不大,这相当于,要求 f(x)有某种程度上的连续性.,(v),a,b上的一致连续性,可证f(x)在a,b上可积.,以后将知道f(x)在a,b 上连续时,利用f(x)在,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,三、定积分的几何意义,例1 利用定义计算定积分,解,为方便起见,则,于是,解,例2,面积值为圆的面积的,解,证,利用对数的性质,得,极限运算与对数运算换序,得,故,解答,原式,思考题,将和式极限表示成定积分.,小结,.定积分的实质：和式的极限,.定积分的思想方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关,4.,中，积分上限是 积分下限是 积分区间是,2.,及x轴所围成的曲边梯形 的面积，用定积分表示为,与直线,由曲线,举例,2,-2,-2,2,0,A,3.定积分,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,返回,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,