导数2单调性.docx

导数2单调性导数单调性 例1、函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10，求实数a、b。 简析：答案是a=-4,b=11，而学生往往会多出一解a=3,b=-3。f¢(x)>0不是函数单调递增的充要条件。 用导数法确定函数的单调性的步骤是： 先求出定义域，再求出函数的导函数f'(x)； 求解不等式f'(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间； 求解不等式f'(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间 也可以利用数轴，采用“穿轴法”确定函数y=f(x)的单调区间： 确定y=f(x)的定义域(a,b)； 求y=f(x)的导数f'(x)； 求出f'(x)=0在(a,b)内的所有实根，再把函数y=f(x)的间断点和各实数根按照从小到大的顺序排列起来； 在数轴上把y=f(x)的定义域分成若干个小区间； 利用“穿轴法”观察f'(x)在各小区间上的符号，从而判定f(x)在各个小区间上的增减性 rrrr2例2、已知向量a=(x,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a×b在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围 分析：已知f(x)在区间(-1,1)上单调递增，则f'(x)在此区间上一定有f'(x)³0恒成立，因此只需要用分离参数法转化为最值问题即可 解：依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t， 则f'(x)=-3x+2x+t. 2若f(x)在(-1,1)上是增函数，则f'(x)³0在(-1,1)上恒成立 2即t³3x-2x在区间(-1,1)上恒成立 令函数g(x)=3x-2x， 2由于g(x)的图象的对称轴为x=1，开口向上的抛物线，故使t³3x2-2x在区间3(-1,1)上恒成立，只须t³gmax(x)=g(-1)=5 而当t³5时，f'(x)在(-1,1)上满足f'(x)>0，即f(x)在(-1,1)上是增函数 故t的取值范围是t³5 例3、已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x， 如a=b=-3，求f(x)的单调区间； 若f(x)在(-¥,a),(2,b)单调增加，在(a,2),(b,+¥)单调减少，证明b-a>6. 分析：第问函数f(x)在a、2、b的左右两侧单调性相反，因此可以由f'(2)=0得到参数a,b的关系，从而进行消元；再由f'(a)=f'(b)=0得到a,b是方程f'(x)=0的根，求出b-a的代数式，证明结论 解：当a=b=-3时，f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x， 故f'(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x =-e-x(x3-9x) =-x(x-3)(x+3)e-x. 当x<-3或0<x<3时，f'(x)>0； 当-3<x<0或x>3时，f'(x)<0 从而f(x)在(-¥,-3),(0,3)上单调递增，在(-3,0),(3,+¥)单调递减 (2)f'(x)=-(x+3x+ax+b)e332-x+(3x2+6x+a)e-x=-e-xx3+(a-6)x+b-a. 由条件得：f'(2)=0，即2+2(a-6)+b-a=0，故b=4-a，从而 f'(x)=-e-xx3+(a-6)x+4-2a. 因为f'(a)=f'(b)=0， 所以x+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-a)(x-b)=(x-2)(x-(a+b)x+ab). 将右边展开，与左边比较系数得，a+b=-2,ab=a-2 32故b-a=(b+a)2-4ab=12-4a 又(b-2)(a-2)<0，即ab-2(a+b)+4<0由此可得a<-6 于是b-a>6. x2例4、已知函数f(x)=ln(1+x)- 1+x2求函数f(x)的单调区间； n+a£e对任意的nÎN*都成立若不等式(1+)，求1na的最大值 分析：第求单调区间可以利用解不等式f'(x)>0或f'(x)<0解决第问是恒成立问题中的参数范围问题，通过分离参数，转化为最值问题求解 解：函数f(x)的定义域是(-1,+¥)， 2ln(1+x)x2+2x2(1+x)ln(1+x)-x2-2x. f¢(x)=-=1+x(1+x)2(1+x)2设g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x，则g¢(x)=2ln(1+x)-2x 令h(x)=2ln(1+x)-2x，则h¢(x)=2-2x-2= 1+x1+x当-1<x<0时，h¢(x)>0，h(x)在(-1,0)上为增函数， 当x>0时，h¢(x)<0，h(x)在(0,+¥)上为减函数 所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0，所以g¢(x)<0(x¹0)， 函数g(x)在(-1,+¥)上为减函数 于是当-1<x<0时，g(x)>g(0)=0，当x>0时，g(x)<g(0)=0 所以，当-1<x<0时，f¢(x)>0,f(x)在(-1,0)上为增函数. 当x>0时，f¢(x)<0，f(x)在(0,+¥)上为减函数 故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间为(0,+¥) n+a£e等价于不等式(n+a)ln(1+)£1 不等式(1+)1n1n由1+1>1知，n11ln(1+)n>0，a£11ln(1+)n-n. 不妨令111=x，xÎ(0,1，则设G(x)=-,xÎ(0,1 nln(1+x)x11(1+x)ln2(1+x)-x2则G¢(x)=- +=2(1+x)ln2(1+x)x2x(1+x)ln2(1+x)x2£0,即(1+x)ln2(1+x)-x2£0. 由知，ln(1+x)-1+x2所以G¢(x)<0,xÎ(0,1,于是G(x)在(0,1上为减函数. 故函数G(x)在(0,1上的最小值为G(1)=所以a的最大值为1-1 ln21-1 ln2例5、已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P,且在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0. 求函数y=f(x)的解析式；求函数y=f(x)的单调区间. 解：由f(x)的图象经过P，知d=2， 所以f(x)=x+bx+cx+2, 32f¢(x)=3x2+2bx+c. 由在M(-1,f(-1)处的切线方程是6x-y+7=0，知 -6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,f¢(-1)=6. ì3-2b+c=6,ì2b-c=3,í即í解得b=c=-3. î-1+b-c+2=1.îb-c=0,故所求的解析式是 f(x)=x-3x-3x+2. f¢(x)=3x-6x-3.232令3x2-6x-3=0,即x2-2x-1=0. 解得 x1=1-2,x2=1+2. 当x<1-2,或x>1+2时,f¢(x)>0; 当1-2<x<1+2时,f¢(x)<0. 故f(x)=x3-3x2-3x+2在(-¥,1-2)内是增函数， 在(1-2,1+2)内是减函数，在(1+2,+¥)内是增函数. 例6、设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。 解：f¢(x)=3ax2+1 若a>0，f¢(x)>0对xÎ(-¥,+¥)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾 若a=0，f¢(x)=1>0 xÎ(-¥,+¥)，f(x)也只有一个单调区间，矛盾 若a<0 f¢(x)=3a(x+13|a|)×(x-13|a|13|a|)和()，此时f(x)恰有三个单调区间 13|a| a<0且单调减区间为(-¥,-,+¥)，单调增区间为(-13|a|,13|a|) 小结 1当f'(x)>0时，f(x)是增函数；当f'(x)<0时，f(x)是减函数用导数法研究函数的单调性比用定义法更加简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想因此，必须重视对数学思想方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思想、简化解题过程的目的 2利用导数求函数的单调区间，一般要先确定定义域，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，求出函数的单调区间同时还要注意的是，在单调区间的划分时，应去掉定义区间内的不连续点和不可导点 3f'(x)>0或f'(x)<0仅是f(x)在某区间上为增函数或减函数的充分条件在某区间内可导函数单调递增的充要条件是f'(x)³0在该区间上恒成立 4本专题易错点主要有： 函数的单调区间是定义域的子集，因此求解关于函数单调区间问题时，应先求函数的定义域； 求函数的单调区间实际上是不等式f'(x)>0对应的解集；但如果问题是已知函数在区间(a,b)上单调递增时，问题的实质是解决不等式f'(x)³0恒成立问题 练习 1、已知函数f(x)=x3+ax2-x+c，且a=f' 求a的值； 求函数f(x)的单调区间； 设函数g(x)=f(x)-x3×ex，若函数g(x)在xÎ-3,2上单调递增，求实数c的取值范围 解：由f(x)=x3+ax2-x+c，得f'(x)=3x2+2ax-1 当x=23222222时，得a=f'=3´+2f'´-1， 33333解之，得a=-1 4分 因为f(x)=x3-x2-x+c 从而f'(x)=3x-2x-1=3(x+)(x-1)，列表如下： 213x f '(x) f(x) 1(-¥ , -) 3 1- 30 有极大值 1(- , 1) 3 1 0 有极小值 (1 , +¥) 所以f(x)的单调递增区间是(-¥,-)和(1,+¥)； 131f(x)的单调递减区间是(-,1) 9分 3函数g(x)=(f(x)-x)×e=(-x-x+c)×e， 有g若曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间； 若对于"xÎ(0,+¥)都有f(x)>2(a-1)成立，试求a的取值范围； 记g(x)=f(x)+x-b (bÎR).当a=1时，函数g(x)在区间e-1, e上有两个零点，求实数b的取值范围. 解: (I) 直线y=x+2的斜率为1. 函数f(x)的定义域为(0,+¥)， 2a2a¢+f(1)=-+=-1，所以a=1. 所以，22xx112x-2所以f(x)=+lnx-2. f¢(x)=. xx2因为f¢(x)=-由f¢(x)>0解得x>2；由f¢(x)<0解得0<x<2. 所以f(x)的单调增区间是(2,+¥),单调减区间是(0,2). 4分 (II) f¢(x)=-2aax-2+=， 2xxx222由f¢(x)>0解得x>；由f¢(x)<0解得0<x<. aa22所以f(x)在区间(, +¥)上单调递增，在区间(0, )上单调递减. aa22所以当x=时，函数f(x)取得最小值，ymin=f. aa因为对于"xÎ(0,+¥)都有f(x)>2(a-1)成立， 所以f>2(a-1)即可. 2a2222+aln-2>2(a-1). 由aln>a解得0<a<. 2aeaa2所以a的取值范围是(0, ). 8分 e则2x2+x-2(III)依题得g(x)=+lnx+x-2-b，则g¢(x)=. 2xx由g¢(x)>0解得x>1；由g¢(x)<0解得0<x<1. 所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, +¥)为增函数. ìg(e-1)0,ï-1又因为函数g(x)在区间e, e上有两个零点，所以íg(e)0, ïg(1)<0. î解得1<b2+e-1. e2+e-1. 13分 e所以b的取值范围是(1, 3、已知函数f(x)=1312x+ax+x+b(a³0)，f'(x)为函数f(x)的导函数 32设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是y=3x-3，求a,b的值； 若函数g(x)=e-ax×f'(x)，求函数g(x)的单调区间 解：f(x)=1312x+ax+x+b(a³0)， 32f'(x)=x2+ax+1 1分 f(x)在(1,0)处切线方程为y=3x-3， ìf'(1)=3í， 3分 f(1)=0îa=1，b=-11 5分 6f'(x)x2+ax+1(xÎR) g(x)=ax=eeax(2x+a)eax-a(x2+ax+1)eaxg'(x)=-xax+(a2-2)e-ax7分 ax2(e)当a=0时，g'(x)=2x， x g'(x) g(x) (-¥,0) - 0 0 极小值 (0,+¥) + g(x)的单调递增区间为(0,+¥)，单调递减区间为(-¥,0)9分 当a>0时，令g'(x)=0，得x=0或x=当2-a 10分 a2-a>0，即0<a<2时， ax g'(x) g(x) (-¥,0) - 0 2-a2(0,) a+ 2-a2 a0 极大值 2-a2(,+¥) a- 0 极小值 2-a22-a2)，单调递减区间为(-¥,0)，(,+¥)； g(x)的单调递增区间为(0,aa当2-a=0，即a=2时，g'(x)=-2x2e-2x£0， a 故g(x)在(-¥,+¥)单调递减； 12分 当x g'(x) g(x) 2-a<0，即a>2时， a22(-¥,-a) -a aa- 0 极小值 2(-a,0) a+ 0 0 极大值 (0,+¥) - 2-a22-a2)上单调递 13,0)上单调递增，在(0,+¥)，(-¥,g(x)在(aa分 综上所述，当a=0时，g(x)的单调递增区间为(0,+¥)，单调递减区间为(-¥,0)； 2-a2)，单调递减区间为(-¥,0)，当0<a<2时，g(x)的单调递增区间为(0, a当a=2时，g(x)的单调递减区间为(-¥,+¥)； 2-a2,0)，单调递减区间为(0,+¥)，当a>2时，g(x)的单调递增区间为(a2-a2(-¥,) a4、已知函数f(x)=x-alnx，g(x)=-若a=1，求函数f(x)的极值； 1+a, (aÎR). x设函数h(x)=f(x)-g(x)，求函数h(x)的单调区间； ()若在1,e上存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)成立，求a的取值范围. 解：f(x)的定义域为(0,+¥)， 1分 当a=1时，f(x)=x-lnx，f¢(x)=1-分 1x-1= ， 2xx3分 所以f(x)在x=1处取得极小值x f¢(x) f(x) (0,1) 1 0 极小 (1,+¥) + 1. 4分 h(x)=x+1+a-alnx， x1+aax2-ax-(1+a)(x+1)x-(1+a)6分 h¢(x)=1-2-=xxx2x2 当a+1>0时，即a>-1时，在(0,1+a)上h¢(x)<0，在(1+a,+¥)上h¢(x)>0， 所以h(x)在(0,1+a)上单调递减，在(1+a,+¥)上单调递增； 7分 当1+a£0，即a£-1时，在(0,+¥)上h¢(x)>0， 所以，函数h(x)在(0,+¥)上单调递增. 8分 在1,e上存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)成立，即 在1,e上存在一点x0，使得h(x0)<0，即 1+a-alnx在1,e上的最小值小于零. 9分 x由可知 函数h(x)=x+即1+a³e，即a³e-1时， h(x)在1,e上单调递减， 1+ae2+1所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)=e+， -a<0可得a>ee-1e2+1e2+1因为； 10分 >e-1，所以a>e-1e-1当1+a£1，即a£0时， h(x)在1,e上单调递增， 所以h(x)最小值为h(1)，由h(1)=1+1+a<0可得a<-2； 11分 当1<1+a<e，即0<a<e-1时， 可得h(x)最小值为h(1+a)， 因为0<ln(1+a)<1，所以，0<aln(1+a)<a 故h(1+a)=2+a-aln(1+a)>2 此时，h(1+a)<0不成立. 12分 e2+1综上讨论可得所求a的范围是：a>或a<-2. 13分 e-15、已知函数f(x)=aln(x+1)+12x-ax+1(a>0) 2求函数y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程； 求函数y=f(x)的单调区间和极值 解：f(0)=1, f/(x)=ax(x-a+1)+x-a=, 2分 x+1x+1f/(0)=0 所以函数y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=14分 函数的定义域为(-1,+¥) 令f¢(x)=0,得解得：x=0,当a>1时, 列表： x(x-a+1)=0 x+1x=a-1 5分 x f/(x) f(x) (-1,0) + 0 0 极大 (0,a-1) - a-1 0 极小 (a-1,+¥) + 可知f(x)的单调减区间是(0,a-1)，增区间是(-1,0)和(a-1,+¥)； 极大值为f(0)=1,极小值为13f(a-1)=alna-a2+ 8分 22当0<a<1时, 列表： x f/(x) f(x) (-1,a-1) + a-1 0 极大 (a-1,0) - 0 0 极小 (0,+¥) + 可知f(x)的单调减区间是(a-1,0)，增区间是(-1,a-1)和(0,+¥)； 极大值为f(a-1)=alna-当a=1时, f¢(x)³0 可知函数f(x)在(-1,+¥)上单增, 无极值 13分 6、已知函数f(x)=kx-123a+,极小值为f(0)=1 11分 22k-2lnx. x若f¢(2)=0，求函数y=f(x)的解析式； 若函数f(x)在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围. k2kx2-2x+k解： f¢(x)=k+2-=， 2分 2xxx由f¢(2)=0，得k=函数f(x)=4. 544x-2lnx. 4分 55x函数y=f(x)的定义域为函数(0,+¥) 5分 要使函数函数y=f(x)在其定义域内为单调增函数，只需函数f¢(x)³0在区间(0,+¥)恒成立.即kx2-2x+k³0在区间(0,+¥)恒成立. 2x在区间(0,+¥)恒成立. 9分 x2+12x令g(x)=2，xÎ(0,+¥)， x+1即k³g(x)=2x=2x+121x+xax£1，当且仅当x=1时取等号， k³1.13分 ax7、已知函数f(x)=e×(+a+1)，其中a³-1. 当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程； 求f(x)的单调区间. xx解：当a=1时，f(x)=e×(+2)，f¢(x)=e×(+2-1x1x1)2分 2x由于f(1)=3e，f¢(1)=2e， 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是2ex-y+e=0 4分 解：f¢(x)=aeax(x+1)(a+1)x-1，x¹0 6分 2x 当a=-1时，令f¢(x)=0，解得 x=-1 f(x)的单调递减区间为(-¥,-1)；单调递增区间为(-1,0)，(0,+¥)8分 当a¹-1时，令f¢(x)=0，解得 x=-1，或x=1 a+11,+¥)；单调递增区a+1 当-1<a<0时，f(x)的单调递减区间为(-¥,-1)，(间为(-1,0)，(0,1) 10分 a+1 当a=0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间11分 当a>0时，f(x)的单调递减区间为(-1,0)，(0,1)；单调递增区间为a+11,+¥) 13分 a+11-kx28、已知函数f(x)=e(x+x-)(k<0). k(-¥,-1)，(求f(x)的单调区间； 是否存在实数k，使得函数f(x)的极大值等于3e？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 解：f(x)的定义域为R. -2 f'(x)=-ke-kx1(x2+x-)+e-kx(2x+1)=e-kx-kx2+(2-k)x+2， k即 f'(x)=-e-kx(kx-2)(x+1)(k<0). 2分 令f'(x)=0，解得：x=-1或x=2. k当k=-2时，f'(x)=2e2x(x+1)2³0，故f(x)的单调递增区间是(-?, ). 3分 当-2<k<0时， f(x)，f'(x)随x的变化情况如下： x f'(x) f(x) 2(-¥,) k2 k0 极大值 2(,-1) k- -1 0 极小值 (-1,+¥) + + 2k 2k所以，函数f(x)的单调递增区间是(-¥,)和(-1,+¥)，单调递减区间是(,-1). 5分 当k<-2时， f(x)，f'(x)随x的变化情况如下： x f'(x) f(x) (-¥,-1) -1 0 极大值 2(-1,) k- 2 k0 极小值 2(,+¥) k+ + 2k 2k所以，函数f(x)的单调递增区间是(-¥,-1)和(,+¥)，单调递减区间是(-1,). 7分 -2当k=-1时，f(x)的极大值等于3e. 理由如下： 当k=-2时，f(x)无极大值. 当-2<k<0时，f(x)的极大值为f=e(2k-241+)， k2k8分 令e(-241414-2+)=3e+=3,k=k=-1，即 解得 或. 22kk3kk 9分 ek 当k<-2时，f(x)的极大值为f(-1)=-. k10分 因为 e<e，0<-k-211<， k2ek1-2<e. 所以 -k2因为 1-2e<3e-2， 2-2所以 f(x)的极大值不可能等于3e. 12分 综上所述，当k=-1时，f(x)的极大值等于3e. 13分 -2eax,aÎR. 9、设函数f(x)=2x+1 当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程； 求函数f(x)单调区间. eaxeax(ax2-2x+a),所以f¢(x)=解：因为f(x)=2. 22x+1(x+1)ex(x2-2x+1)ex 当a=1时, f(x)=2,f¢(x)=, 22x+1(x+1) 所以f(0)=1, f¢(0)=1. 所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为x-y+1=0. 4分 eax(ax2-2x+a)eax=2(ax2-2x+a)， 5分 因为f¢(x)=222(x+1)(x+1) 当a=0时,由f¢(x)>0得x<0；由f¢(x)<0得x>0. 所以函数f(x)在区间(-¥,0)单调递增, 在区间(0,+¥)单调递减. 6分 22 当a¹0时, 设g(x)=ax-2x+a，方程g(x)=ax-2x+a=0的判别式 D=4-4a2=4(1-a)(1+a), 7分 当0<a<1时，此时D>0. 1-1-a21+1-a2 由f¢(x)>0得x<,或x>； aa1-1-a21+1-a2<x< 由f¢(x)<0得. aa1-1-a21+1-a2)和(,+¥), 所以函数f(x)单调递增区间是(-¥,aa 1-1-a21+1-a2,). 9分 单调递减区间(aa 当a³1时，此时D£0.所以f¢(x)³0， 所以函数f(x)单调递增区间是(-¥,+¥). 10分 当-1<a<0时，此时D>0. 1+1-a21-1-a2<x< 由f¢(x)>0得； aa1+1-a21-1-a2 由f¢(x)<0得x<,或x>. aa1+1-a21-1-a2)和(,+¥), 所以当-1<a<0时,函数f(x)单调递减区间是(-¥,aa 1+1-a21-1-a2,). 12分 单调递增区间(aa 当a£-1时, 此时D£0，f¢(x)£0，所以函数f(x)单调递减区间是(-¥,+¥). 13分