对非齐次偏微分方程的求解齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题.docx

对非齐次偏微分方程的求解 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题对非齐次偏微分方程的求解 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题 冲量定理法 傅立叶级数法 齐次边界条件下非齐次场位方程的混合问题 方程和边界条件同时齐次化 非齐次方程的求解思路 用分解原理得出对应的齐次问题 解出齐次问题 求出任意非齐次特解 叠加成非齐次解 方法一 冲量定理法 前提条件：除了方程为非齐次的外，其它定解条件都是齐次的(初始条件均取零值)。 基本思路：利用叠加原理将受迫振动的问题转化为自由振动问题的叠加. ìutt-a2uxx=f(x,t)ïï íux=0=0,ux=l=0ïïîut=0=f(x),utt=0=y(x)试设 u=u1+u2 2ì¶2u12¶u1,ï2=a2¶xï¶t¶u1(x,0)íu(x,0)=j(x),=y(x),ï1¶tïîu1(0,t)=0,u1(l,t)=02ì¶2u22¶u2=f(x,t),ï2-a2¶xï¶t， í¶u2(x,0)u(x,0)=0,=0,ï2¶tïîu2(0,t)=0,u2(l,t)=0. 物理意义： 在时间 0 t 内，可以把非齐次项看成许多前后相继的“瞬时”力引起的物理过程的线性叠加。 1 2ì¶2w2¶w,t>tï2=a2¶xï¶tíw=0,wtt=t=f(x,t)dt,ït=tïwîx=0=0,wx=l=02ì¶2v2¶v,t>tï2=a2¶xï¶tív=0,vtt=t=f(x,t),ït=tïv=0,v=0x=lîx=0相应的，我们也可以把位移u(x,t)也表示为 u2(x,t)=òv(x,t;t)dt， 0t则v(x,t;t)dt就应当是瞬时力所产生的位移.更进一步说，v(x,t,t)就是定解问题 2ì¶2w2¶w,t>tï2=a2¶xï¶tíw=0,wtt=t=f(x,t)dt,ït=tïwîx=0=0,wx=l=02ì¶2v2¶v,t>tï2=a2¶xï¶t ív=0,vtt=t=f(x,t),ït=tïv=0,v=0x=lîx=0的解.非齐次项只存在于t时刻，其全部效果只是使得弦在t时刻获得一个瞬时速度. 那么由偏微分方程的积分 òt推导出 t+0-02t+0¶vt+0¶2v2dt-aòdt=òf(x,t)d(t-t)dt t-0¶x2t-0¶t2¶v(x,t,t)¶tt=t+0=f(x,t) 令 t1=t-t 则定解问题就可以写成这种形式 2ì¶2v2¶v,t>tï2=a2¶t¶xï1 ív=0,vt1=f(x,t),t1=0ït1=0ïîvx=0=0,vx=l=0在运算过程中，十分需要注意的是，瞬时力的重复计算，不能把瞬时力既算入定解方程的其次项内，又算入初速度内！ 总结一下，在上面的过程中，冲量定理就把求解非齐次方程、齐次边界条件以及齐次初条件的定解问题转化成了对齐次方程、齐次边界条件的定解问题的2 求解，最后将其叠加 ¥vtænpaönpn(x,1)=ån=1çèBn(t)sinlt1÷øsinlx ¥vx,t)=åæçBnpaönpn(n(t)sin(t-t)sinx n=1èl÷øl其中 Bn(t)=2lnpaò0f(x,t)sinnplx dx ut¥tnpa2(x,t)=ò0v(x,t;t)dt=åò0Bn(t)sinl(t-t)sinnplxdtn=1¥u1(x,t)=å(Cnpalt+Dnpal)sinnpncosnsintlx(n=1,2,3,L) n=1u=u1+u2 例题1 求定解问题 ¶2u2¶t2-a2¶u¶x2=A0sinwt， 0<x<l， t>0， ux=0=0， ux=l=0， t³0， ut=0=0， ¶u¶tt=0=0， 0£x£l, 其中，a、A0、w均为已知常数 解：用冲量定理法进行求解，此时的v(x,t;t)应当满足定解问题¶2v2¶t2=a2¶v¶x2， 0<x<l， t>t， vx=0=0， vx=l=0， t³t， vt=t=0， ¶v¶tt=t=A0sinwt， 0£x£l， 即可得出定解问题的一般解 ¥v(x,t;t)=åéêCnpt-t)+Dnpùnpnsina(ncosa(t-t)n=1ëllúûsinlx 3 根据题意条件可得 Dn=0， Cn=2npaA0sinwtòsin0l2A0lnpéxdx=1-(-1)nù2ëûsinwt l(np)a所以，综上可得 u(x,t)=òv(x,t;t)dt 0t4A0l¥12n+12n+1 =2åsinpx·sinwtsinpa(t-t)dt ò0pan=0(2n+1)2llt4A0l2 =2pa112n+1sinpx å222(2n+1)ln=0(2n+1)pa-(wl)¥ ´ê(2n+1)pasinwt-(wl)sinéë2n+1ùpatú lû 方法二： 傅立叶级数法 前提条件：齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题，必须是齐次的边界条件 中心思想：首先要想办法找到一组本证函数Xn(x),n=1,2,3,L，如果这组函数是完备的，那么就可以将u(x,t)以及原非齐次方程的非齐次项f(x,t)，都按照本征函数展开 简单选法：对本征函数的选法最简单的是，选择Xn(x),n=1,2,3,L为相应齐次定解问题的本征函数，即要满足由齐次偏微分方程和齐次边界条件. 分离变量法得出的结果提示:把所求的解本身展开为傅里叶级数 u(x,t)=åTn(t)Xn(x) n基本函数族 Xn(x) 为该定解问题的齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数 注意：傅里叶系数Tn(t)不是常数，是时间 t 的函数。 4 =V设 u(x,t)(x,)+t (W),xt2ì¶2W2¶Wï¶t2=a¶x2ïï íW(0,t)=W(l,t)=0,ï¶W(x,0)ïW(x,0)=j(x),=y(x)¶tïî2ì¶2V2¶Vï¶t2=a¶x2+f(x,t),0<x<l,t>0,ïït>0,íV(0,t)=V(l,t)=0,ï¶V(x,0)ïV(x,0)=0,0£x£l,¶tïîW(x,t)的解可以直接由分离变量法求得 W(x,t)=å(Cncosn=1¥npanpanpt+Dnsint)sinx(n=1,2,3,L) lll由于Vn(t)是一元函数，满足常微分方程，比求偏微分方程简单，因此只需设法求出Vn(t)即可. 2ì¶2V2¶Vï¶t2=a¶x2+f(x,t),0<x<l,t>0,ïït>0,íV(0,t)=V(l,t)=0,ï¶V(x,0)ïV(x,0)=0,0£x£l,¶tïî解： 相应的齐次问题的固有函数 Xn(x)=sin¥npx lnpx l设 V=åvn(t)sinn=13代入定解问题中 ¥é2n2p2npnp¢¢v(t)sinx=-av(t)sinåånnêll2ln=1n=1ë¥ùxú+f(x,t) ûù¥npxú+åfn(t)sinx lûn=1é2n2p2npv(t)sin =åê-anl2ln=1ë¥f(x,t)=åfn(t)sinn=1¥npx l2lnpfn(t)=òf(x,t)sinxdx l0l再根据本征函数的正交性，就可以得到Vn(t)所满足的常微分方程 5 v2n¢(t)+an2p2¢l2vn(t)-fn(t)=0 将代入初始条件 ¥V(x,0)=åvnp¶V(x,0)¥npn(0)sinx=0 =n=1l¶tåv¢n(0)sinx=0 n=1l根据本征函数的正交性，得 vn(0)=0 v¢n(0)=0 运用求解非齐次常微分方程的常数变易法解出vn(t). 例题1 求下列定解问题 ì2ï¶u=a2¶u+sinwt0<x<l,t>0ï¶t¶x2ïí¶u(0,t)=¶u(l,t)=0,t>0 ï¶x¶xïïu(x,0)=0,0£x£lî解：先解对应的齐次问题 ìï¶u2=a2¶u0<x<l,t>ï¶t¶x20ïí¶u(0,t)=¶u(l,t)ï¶x¶x=0,t>0ïïu(x,0)=0,0£x£lî设 u(x,t)=X(x)T(t) 代入 T¢X=a2TX¢¢ 令 T¢a2T=X¢¢X=-l X¢¢+lX=0， T¢+a2lT=0 代入边界条件 ìíX¢¢+lX=00<x<lîX(0)=0,X(l)=0 6 当 l=-b2<0 X=Aebx+Be-bx A=B=0 X=0 当 l=0 X=Ax+B X=B0 当 l=b2>0 X=Asinbx+Bcosbx 2l2ænpön=bn=çèl÷ø,n=1,2,3,L Xn=Bncosnplx,n=1,2,3,L ìï¶u22¶u+sinwt0<x<ï¶t=a¶x2l,t>0ïí¶u(0,t)=¶u(l,t)=0,t ï¶x¶x>0ïïu(x,0)=0,0£x£lîXpn=Bncosnlx,n=0,1,2,3,L ¥u=åv)cosnpn(tn=0lx å¥é22v¢(t)+a2npv(t)ùcosnpx=sinwtn=0êënl2núûl ¥u(x,0)=åvnpn(0)coslx=0 n=0vn(0)=0 当 n=0 v¢0(t)=sinwt v0(t)=-1wcoswt+C v0(t)=1w(1-coswt) 当 n¹0 7 n2p2¢(t)+avnvn(t)=0 l22vn(t)=Ce-a2n2p2l2tvn(t)=0 得 u= 1w(1-coswt) 方法三：方程和边界条件同时齐次化 基本思路：根据叠加原理，非齐次方程的通解可分解为齐次方程的解与非齐次方程的特解之和。 将偏微分方程和边界条件同时齐次化。 u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)， 关键注意点：在处理非齐次方程变齐次化的同时，保证原有方程的齐次边界条件不变。解方程求得的特解v(x,t).满足适用于形式比较简单的方程f(x,t) 解：通常，首先求出原非齐次方程的一个特解v(x,t) 2¶2u2¶u-a=f(x,t). 22¶t¶x试设 u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)， 则w(x,t)便是对应齐次偏微分方程的解, 2¶2w2¶w=0 即 2-a2¶t¶x为便于用分离变量法求解，让 w(x,t)满足下列条件 w(x,t)x=0=0, w(x,t)x=l=0. 所以，我们要寻求的特解v(x,t)还应满足齐次边界条件, v(x,t)x=0=0, v(x,t)x=l=0。 一旦求得了这样的特解，就可以求出w(x,t)的一般解 8 w¥(x,t)=å(Cnpnpnnsinn=1lat+Dcoslat)sinpnlx， 所以 ¥u(x,t)=v(x,t)+å(Cnpnpnsinn=1lat+Dnpncoslat)sinlx， 代入初始条件， å¥Dnpnsinnlx=-v(x,t)t=0， =1利用本证函数的正交归一性，定出叠加系数 C2l¶v(x,t)n=-npaò0¶tx=0sinnplxdx， D2lnpn=-lò0v(x,0)sinlxdx. 这种解法便是方程和边界条件同时齐次化. 下面通过例题1来应用一下这种求解非齐次偏微分方程的方法 例题3 求定解问题 ¶2u22¶u¶t2=Psinwt+a¶x2， 0<x<l， t>0， ux=0=0， ux=l=0， t³0， u=0， ¶ut=0¶tt=0=0， 0£x£l， 其中a，A0及w均为已知常数. 解：设 u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)， 根据题意，将齐次化函数v(x,t)化为 v(x,t)=f(x)sinwt. 使得v(x,t)满足非齐次方程及齐次边界条件， ¶2v2¶t2=Psinwt+a2¶v¶x2， 0<x<l t>0， 9 vx=0=0， vx=l=0， t³0， 也就是选择f(x)，使得 -w2f(x)-a2f''(x)=P， f(0)=0， f(l)=0 . 则这个非齐次常微分方程的通解为 f(x)=-Pw2+Msinwax+Ncoswax. 代入齐次边界条件可以得出 N=Pw2， M=Pwlw2tan2a. 于是 f(x)=-Péæw2êëçè1-coswaxö÷ø-tanwlw2asinaxùúû élù=-Pêcos(w(x-)a)w1-úêcos(wl22ê)ú. ë2aúû这样就能导出w(x,t)所满足的定解问题， ¶2w2¶t2=a2¶w¶x2， 0<x<l， t>0， wx=0=0, wx=l=0， t³0 w=0， ¶wt=0¶tt=0=-wf(x)， 0£x£l， 它的一般解为 w¥(x,t)=åêéCnpnsinlat+Dnpùnpncosn=1ëlatúûsinlx，利用上面的初始条件就可以定出 Dn=0， Cwln=-2npaò0f(x)sinnplxdx 10 可以看出，只有当n=0时，Cn才不为0，即 4Pwl3w(x,t)=-2 paéù112n+12n+1·sinpxsinpatåê(2n+1)2(2n+1)pa2-(wl)2ú lln=0ëû¥和 lPécosw(x-2)aù4Pwl3úsinwt-2 u(x,t)=-2ê1-wêcos(wl2a)úpaëûéù112n+12n+1·sinpxsinpatåê(2n+1)2(2n+1)pa2-(wl)2ú lln=0ëû¥特殊情形：强迫力的角频率w正好是弦的某些固有频率，w=(2k+1)pa，lk为某个确定的非负整数时，弦在强迫力的作用下会发生共振现象。 11