学前教育专业数学习题.docx

学前教育专业数学习题一、选择题 1、下列集合关系成立的是 (AB)ÈB=AÈB (AB)ÈB=A (BA)ÈAÍA (BA)ÍA 2、若EÌRn是开集，则 E¢ÌE E的内部=E E=E E¢=E 3、设P是康托集，则 P是可数集 P是开集 mP=0 mP=1 4、设E是R1中的可测集，j(x)是E上的简单函数，则 j(x)是E上的连续函数 j(x)是E上的单调函数 j(x)在E上一定不L可积 j(x)是E上的可测函数 5、设E是Rn中的可测集，f(x)为E上的可测函数，若òf(x)dx=0，则 E在E上，f(z)不一定恒为零 在E上，f(z)³0 在E上，f(z)º0 在E上，f(z)¹0 1、下列集合关系成立的是 AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC) (AB)ÇA=Æ (BA)ÇA¹Æ (BA)ÍA 2、若EÌRn是闭集，则 E的内部=E E=E EÌE¢ E¢=E 3、设Q是有理数集，则 mQ>0 Q是闭集 mQ=0 Q是不可数集 4、设f(x)为R1上的连续函数，a为任意实数，则 R1xf(x)£a是开集 R1xf(x)³a是开集 R1xf(x)>a是闭集 R1xf(x)>a是开集 5、 设E是Rn中的可测集，f(x)，g(x)都是E上的可测函数，若 òEf(x)-g(x)dx=0， 则 f(z)=g(x)a.e.于E 在E上，f(z)=g(x) 在E上，f(z)¹g(x) 在E上，f(z)£g(x) 1、下列集合关系成立的是 A(AÇB)=AB A(AÇB)¹AB (BÇA)ÈA=AÈB (BA)ÇA¹Æ 2、若EÌRn是孤立点集，则 E¢ÉE E¢=Æ E的内部¹Æ E¢=E 3、设W是0,1上的无理数集，则 W是可数集 W是开集 W是不可数集 mW=0 4、设f(x)是R1上的单调函数，则 f(x)在R1上连续 f(x)在R1中的不连续点有不可数个 f(x)在R1上一定不L可积 f(x)是R1上的可测函数 5、设E是Rn中的可测集，f(x)为E上的可测函数，若òf(x)dx=0，则 2E，f(z)在E上几乎处处为零 在E上，f(z)º0 在E上，f(z)¹0 mExf(x)=0=0 1设E是0,1中的无理点全体，则E是.考核对典型集合掌握的情况 可数集 有限集 不可数集 零测集 2下面集合关系成立的是. 考核对集合的基本运算掌握的情况 (AB)ÈB=AÈB (AB)ÈB=A (BA)ÈAÌA BAÌA 3若EÌR2至少有一个内点，则有. 考核对典型集合外测度掌握的情况 m*E=0 m*E>0 mE=0mE<0 4设EÌR2是开集，则.考核开集闭集的基本特征 E¢ÌE E0=E E=E E¢=E 5设EÌa,b是可测集，则E的特征函数XE(x)是a,b上的. 考核对集合的特征函数的认识 简单函数 常函数 连续函数单调函数 ì1,xÎQ6设QÌ0,1是有理数集，D(x)=í,则D(x)是0,1上的.考核目标同上0,xÏQî题 连续函数单调函数简单函数定积分存在的函数 7设f(x)在可测集E上勒贝格可积，则. 考核勒贝格积分的定义 f(x)和f(x)有且仅有一个在E上勒贝格可积；f(x)和f(x)都在E上勒+-+-贝格可积 +-f(x)和f(x)都在E上不勒贝格可积；f(x)=f(x)+f(x)在E上不勒+-贝格可积 8设W是0,1上的无理数集，c表示连续基数，则. 考核对典型集合基数和测度掌握的情况 W>c W<c mW=0 mW=1 9设f(x)是a,b上的单调函数，则f(x)是a,b上的. 考核基本的有界变差函数和绝对连续函数 连续函数 绝对连续函数 可导函数 有界变差函数 10设f(x)在a,b上绝对连续，则f(x)在a,b上.考核绝对连续函数的关系的基本性质 有界变差 可导 单调 连续可微 三、填空题 1、设X为全集，A，B为X的两个子集，则AB=AÇBC 。 2、设EÌRn，如果E满足E¢ÌE，则E是 闭 集。 3、若开区间(a,b)是直线上开集G的一个构成区间，则(a,b)满足(a,b)ÌG、aÏG,bÏG。 。 ³ a4、设A是无限集，则A的基数A 5、设E1，E2为可测集，mE2<+¥，则m(E1E2)³mE1-mE2。 6、设f(x)是定义在可测集E上的实函数，若对任意实数a，都有Exf(x)>a 是 可测集 ，则称f(x)是可测集E上的可测函数。 7、设x0是EÌR1的内点，则mE>*0。 8、设函数列fn(x)为可测集E上的可测函数列，且fn(x)Þf(x)(xÎE)，则由黎斯定理可得，存在fn(x)的子列fn(x)，使得fn(x)®kka.e.f(x)(xÎE)。 9、设f(x)是E上的可测函数，则f(x)在E上的L积分不一定存在，且f(x)在E上 不一定 L可积。 10、若f(x)是a,b上的绝对连续函数，则f(x)一定 是 a,b上的有界变差函数。 1、 设A，B是两个集合，则AÈB=(BA)ÈA 2、设EÌRn，如果E满足intE=E，则E是 开 集。 3、设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b)ÌG和 aÏG,bÏG，则 (a,b)必为G的 构成 区间。 4、设A是偶数集，则则A的基数A 。 = a5、设E1，E2为可数集，E2ÌE1且mE2<+¥，则m(E1E2)=mE1-mE2。 6、设f(x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a，都有Exa<f(x)<bb是 可测集 。 7、若EÌR1是可数集，则mE*=0。 8、设函数列fn(x)为可测集E上的可测函数列，f(x)是E上的可测函数，如果fn(x)®f(x)(xÎE)，则fn(x)Þf(x)(xÎE) 不一定成立 。 9、设f(x)是E上的非负可测函数，则f(x)在E上的L积分的值 一定存在 。 10、若f(x)是a,b上的有界变差函数，则f(x)必可表示成两个 递增函数的差 。 1、设X为全集，A，B为X的两个子集，则AÇBa.e.=A(AB) 2、设EÌRn，如果E满足E¢=E，则E是 完全 集。 3、若开区间(a,b)和(c,d)是直线上开集G的两个不同的构成区间，则(a,b)Ç(c,d)=Æ。 4、设A是无限集，B是至多可数集，则AÈB的基数AÈB 5、设E1，E2为可测集，mE2=0，则m(E1E2)= A。 =mE1。 6、设f(x)是定义在可测集E上的有限实函数，若对任意实数a<b，都有Exa<f(x)£b是可测集，则f(x)是可测集E上的 可测函数 。 7、设EÌR1是孤立点集，则mE=0。 8、设函数列fn(x)为可测集E上的可测函数列，且fn(x)Þf(x)(xÎE)，则*fn(x)®a.e. 不一定成立 。 f(x)(xÎE)9、设f(x)是E上的可测函数，则f(x)在E上的L可积的充要条件是f(x)在E上 勒贝格可积 。 10、若f(x)是a,b上的有界变差函数或绝对连续函数，则f(x)a,b上的导数 几乎处处存在 。 1设A，B为X的两个子集，则AB 等于 AÇBC 考核集合之间的基本关系 2设A，B为两个集合，则AÈB 等于 (BAÈ) A考核目标同上 3设EÌRn，如果E满足E¢ÌE，则E是 闭 集考核开集、闭集的定义 4设EÌRn，如果E中的每一点都是内点，则E是 开 集考核开集、闭集的定义 5若开区间(a,b)是直线上开集G的一个构成区间，则(a,b)满足(a,b)ÌG且 a,bÏG考核开集的构成区间的定义和特点 6设E是R上的开集,若开区间(a,b)满足(a,b)ÌE且a,bÏE,则称(a,b)是开集E的 构成 区间考核开集的构成区间的定义和特点 7设A是无限集，则A的基数A 大于或等于 a考核可数集的性质 8设A是偶数集，则A的基数A 等于 a考核可数集的性质 9设E1，E2为可测集，mE2<+¥，则m(E1E2) 大于或等于 mE1-mE2考核测度的性质，单调性和次可加性 10设A，B为可测集，则m(AÈB) 小于或等于 mA+mB考核测度的性质，次可加性 11设f(x)是定义在可测集E上的实函数，若对任意实数a，都有Exf(x)>a是 可测1集 ，则称f(x)是可测集E上的可测函数. 考核可测函数的定义 12设f(x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a，b(a<b)，有Exa<fxb<是 可测 集. 考核可测函数的基本性质 13设EÌR1是可数集，则m*E 等于 0.考核典型集合的测度和外测度 14设PÌ0,1是康托集，则mP 等于 0.考核典型集合的测度和外测度 15设函数列fn(x)为可测集E上的可测函数列，且fn(x)在E上依测度收敛于f(x)，则存在fn(x)的子列fn(x)，使得fn(x)在E上 几乎处处收敛于 f(x). 考核函数列kk收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的黎斯定理 16设mE<+¥,fn(x)是E上的可测函数列，f(x)是E上的实函数,若fn(x)在E上几乎处处收敛于f(x)，则fn(x)在E上 依测度 收敛于f(x).考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的勒贝格定理 17设f(x)在a,b上黎曼可积，则f(x)在a,b上勒贝格可积，且它们的积分值 相等 考核黎曼积分与勒贝格积分的关系 18设f(x),g(x)都在a,b上勒贝格可积，且几乎处处相等,则它们在a,b上勒贝格积分 值 相等 考核勒贝格积分的基本性质 19若f(x)是a,b上的绝对连续函数，则f(x) 是 a,b上的有界变差函数考核有界变差函数和绝对连续函数的关系 20若f(x)是a,b上的有界变差函数，则f(x)可以表示成两个单调函数的 和或差 考核有界变差函数和单调函数的关系，即约当分解定理 四、判断题 1、可列个闭集的并集仍为闭集。 2、任何无限集均含有一个可数子集。 3、设E是可测集，则一定存在Gd型集G，使得EÌG，且m(GE)=0。 4、设E是零测集，f(z)是E上的实函数，则f(x)不一定是E上的可测函数。 5、设f(z)是可测集E上的非负可测函数，则f(x)必在E上L可积。 1、可列个开集的交集仍为开集。 2、任何无限集均都是可数集。 3、设E是可测集，则一定存在Fs型集F，使得FÌE，且m(EF)=0。 4、设E是可测集，则f(z)是E上的可测函数Û对任意实数a，都有Exf(x)³a是可测集。 5、设f(z)是可测集E上的可测函数，则òf(x)dx一定存在。 E1、可列个Fs型集的并集仍为Fs型集。 2、无限集中一定存在具有最大基数的无限集。 3、设E是可测集，则一定存在开集G，使得EÌG，且m(GE)=0。 4、设E1和E2都是可测集，f(z)是E1和E2上的可测函数，则f(x)不一定是E1ÈE2上的可测函数。 +-5、设f(z)是可测集E上的可测函数，且òf(x)dx存在，则f(x)和f(x)至E少有在E上L可积。 1无限个闭集的并集仍为闭集考核开集、闭集的性质 答：不对，因为闭集只对有限的并集运算封闭。 2无限个开集的交集仍为开集考核开集、闭集的性质 答：不对，因为开集只对有限的交集运算封闭。 3无限集均含有一个可数子集考核可数集的性质 答：对，因为这是可数集与无限集的关系。 4无限集都是可数集考核无限集的分类 答：不对，因为无限集还包括不可数集。 5设E是可测集，则一定存在Gd型集G，使得EÌG，且m(GE)=0考核可测集与Gd型集或Fs型集的关系 答：对，因为这是可测集与Gd型集的关系。 6设E是可测集，则一定存在Fs型集F，使得FÌE，且m(EF)=0考核可测集与Gd型集或Fs型集的关系 答：对，因为这是可数集与Fs型集的关系。 7设E是测度为零的集，f(z)是E上的实函数，则f(x)不一定是E上的可测函数考核可测函数的基本性质 答：不对，因为零测集上的任何实函数都是可测函数。 8设E是可测集，f(z)是E上几乎处处为零的实函数，则f(x)在E上可测考核可测函数的基本性质 答：对，因为常函数0是可测函数，由可测函数的性质可得f(x)在E上可测。 9设f(z)是可测集E上的非负可测函数，则f(x)必在E上勒贝格可积考核勒贝格积分的定义 答：不对，因为可测集E上的非负可测函数只能保证有勒贝格积分，不一定能保证勒贝格可积。 10设f(z)是可测集E上的可测函数，则òEf(x)dx一定存在考核勒贝格积分的定义 答：不对，因为可测集E上的可测函数，不一定能定义勒贝格积分，因此不一定能保证òEf(x)dx存在。 五、简答题 1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？ 答：不一定为开集。例如 取R1上一列开集为(-1-而Ç(-1-n=1¥11,1+)，n=1,2,3,nn11,1+)=-1,1是闭集，不是开集。 nn2、可测集E上的可测函数与简单函数有何关系？ 答：简单函数是可测函数； 可测函数不一定是简单函数； 可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。 3、a,b上的有界变差函数与单调函数有何关系？ 答：单调函数是有界变差函数； 有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。 1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？ 答：不一定为闭集。例如 取R1上一列闭集为-1+而È-1+n=1¥11,1-，n=1,2,3,nn11,1-=(-1,1)是开集，不是闭集。 nn2、可测集E上的可测函数与连续函数有何关系？ 答：连续函数是可测函数； 可测函数不一定连续； 可测函数在E上是“基本上”连续的。 3、a,b上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？ 答：绝对连续函数是有界变差函数； 有界变差函数不一定是绝对连续函数。 1、简述无穷多个零测集的并集是否必为零测集？ 答：不一定为零测集。例如 R=1xÎR1x，显然x为单元素集，为零测集，R1不是零测集。 2、R1上的可测集与Borel集的关系？ 答：Borel集是可测集； 可测集不一定是Borel集； 可测集一定可以表示成一个Borel集与零测集的差或并。 3、可测集EÌR1上的可测函数与连续函数有何关系？ 答：可测集E上的连续函数一定是可测函数； 可测集E上的可测函数不一定是连续函数； 对E上的一个可测函数，任取e>0，在可测集E中去掉一个测度小于e的可测子集后，可使此可测函数成为连续函数。 1简述无穷多个开集的交集是否必为开集？考核开集、闭集的运算性质 要点：首先，回答结论：不一定为开集 其次，举出交集为开集的例子和交集不是开集的例子。 2简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？考核开集、闭集的运算性质 要点：首先，回答结论：不一定为闭集 其次，举出并集为闭集的例子和并集不是闭集的例子。 3可测集E上的可测函数与简单函数有何关系？考核可测函数与简单函数的关系 要点：1、简单函数是可测函数；2、可测函数不一定是简单函数；3、可测函数一定可表示成一列简单函数的极限。 4可测集E上的可测函数与连续函数有何关系？考核可测函数与简单函数的关系 要点：1、连续函数是可测函数；2、可测函数不一定是连续函数；3、对任意e>0，在E中